В математике, в частности теории чисел, символы Дирихле - это определенные арифметические функции, которые возникают из полностью мультипликативных символов на единицах из . Символы Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями с множеством интересных аналитических свойств.
Если является символом Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется как
, где s - комплексное число с действительной частью >1. Посредством аналитического продолжения эта функция может быть расширена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и занимают видное место в обобщенной гипотезе Римана.
Символы Дирихле названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле. Позже они были обобщены Эрихом Гекке на персонажей Гекке (также известных как Grössencharacter).
Мы говорим, что функция от целых чисел до комплексных чисел является символом Дирихле, если он обладает следующими свойствами:
Из этого определения, можно вывести несколько других свойств. По свойству 3 χ (1) = χ (1 × 1) = χ (1) χ (1). Поскольку gcd (1, k) = 1, свойство 2 говорит, что χ (1) ≠ 0, поэтому
Свойства 3 и 4 показывают, что каждый характер Дирихле χ полностью мультипликативен..
Свойство 1 говорит, что символ периодичен с периодом k; мы говорим, что является символом модуля k. Это эквивалентно тому, что
Если gcd (a, k) = 1, теорема Эйлера говорит, что a ≡ 1 (mod k) (где φ (k) - это общая функция ). Следовательно, по свойствам 5 и 4 χ (a) = χ (1) = 1, а по 3 χ (a) = χ (a). Итак,
Уникальный символ периода 1 называется тривиальным символом . Обратите внимание, что любой символ обращается в ноль в 0, кроме тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.
Символ называется принципалом, если он принимает значение 1 для аргументов, взаимно простых с его модулем, а в противном случае - 0. Символ называется real, если он принимает реальные значения. только. Неверный символ называется сложным .
. Знак символа зависит от его значения в -1. В частности, считается нечетным, если и даже, если .
Символы Дирихле можно рассматривать с точки зрения группы символов из группы элементов кольца кольца Z/kZ, как символы расширенного класса остатка.
Учитывая целое число k, каждый определяет класс остатка целого числа n как набор всех целых чисел, конгруэнтных n по модулю k: То есть класс остатка - это смежный класс числа n в кольце частных Z/kZ.
Набор единиц по модулю k образует абелева группа порядка , где групповое умножение задается как и снова обозначает Фи-функция Эйлера. Идентификатором в этой группе является класс остатка и обратный к - класс остатка , где , т. е. . Например, для k = 6 набор единиц равен , поскольку 0, 2, 3 и 4 не являются взаимно простыми с 6.
Группа символов (Z / k) состоит из символов класса остатка. Символ θ класса остатка на (Z / k) является примитивным, если не существует надлежащего делителя d для k, такого что θ множится как отображение (Z / k) → (Z / d) → C, где первая стрелка - естественная карта "модификация d".
Определение символа Дирихле по модулю k гарантирует, что он ограничивается символом единичной группы по модулю k: гомоморфизм группы from (Z/kZ) к ненулевым комплексным числам
со значениями, которые обязательно являются корнями из единицы, поскольку единицы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, учитывая гомоморфизм группы на единичной группе по модулю k, мы можем поднять до полностью мультипликативного для целых чисел, взаимно простых с k, а затем расширили эту функцию на все целые числа, определив ее равной 0 для целых чисел, имеющих нетривиальный множитель, общий с k. Результирующая функция будет тогда символом Дирихле.
главный символ по модулю k имеет свойства
Связанный символ мультипликативной группы (Z/kZ) - это главный символ, который всегда принимает значение 1.
Когда k равно 1, главный символ по модулю k равен 1 для всех целых чисел. Если k больше 1, главный символ по модулю k обращается в нуль для целых чисел, имеющих нетривиальный общий делитель с k, и равен 1 для других целых чисел.
Имеются символы Дирихле φ (n) по модулю n.
Существует несколько способов определения символов Дирихле, основанных на других свойствах, которым удовлетворяют эти функции.
Символ Дирихле является полностью мультипликативной функцией , который удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению : то есть, если
для всех положительных целых чисел , где не все равны нулю, а различны, тогда - символ Дирихле.
Символ Дирихле является полностью мультипликативной функцией удовлетворяет следующим трем свойствам: а) принимает только конечное число значений; б) обращается в нуль только при конечном числе простых чисел; c) существует , для которого остаток
равномерно ограничен, так как . Это эквивалентное определение символов Дирихле было предположено Чудаковым в 1956 году и доказано в 2017 году Клурманом и Мангерелем.
Приведенные ниже таблицы помогают проиллюстрировать природу символа Дирихле. Они представляют все символы от модуля 1 до модуля 12. Символы χ 0 являются основными персонажами.
Имеется символ по модулю 1:
χ \ n | 0 |
1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (0), поскольку 0 порождает группу единиц по модулю 1.
Это банальный персонаж.
L-ряд Дирихле для - это дзета-функция Римана
Имеется символ по модулю 2:
χ \ n | 0 | 1 |
0 | 1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (1), поскольку 1 порождает группу единиц по модулю 2.
L-ряд Дирихле для - лямбда-функция Дирихле (тесно связанная с эта-функцией Дирихле )
Есть символов по модулю 3:
χ \ n | 0 | 1 | 2 |
0 | 1 | 1 | |
0 | 1 | −1 |
Обратите внимание, что χ - это полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 3.
Имеется символы по модулю 4:
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 |
0 | 1 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 порождает группу единиц по модулю 4.
Дирихле L- ряд для - лямбда-функция Дирихле (тесно связанная с эта функция )
где - дзета-функция Римана. L-ряд для - это бета-функция Дирихле
Есть символов по модулю 5. В таблице ниже i - это мнимая единица.
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | i | −i | −1 | |
0 | 1 | −1 | −1 | 1 | |
0 | 1 | - i | i | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2) и χ (3), поскольку 2 и 3 порождают группу единиц по модулю 5.
Имеется символов по модулю 6:
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (5) поскольку 5 генерирует группу единиц по модулю 6.
Имеется символов по модулю 7. В t Как показано ниже,
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | ω | ω | −ω | -со | -1 | |
0 | 1 | −ω | ω | ω | −ω | 1 | |
0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | |
0 | 1 | ω | −ω | −ω | ω | 1 | |
0 | 1 | −ω | −ω | ω | ω | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 генерирует группу единиц по модулю 7.
Имеется символов по модулю 8.
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | |
0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | |
0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3) и χ (5), поскольку 3 и 5 генерируют группу единиц по модулю 8.
Имеется символов по модулю 9. В таблице ниже
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
0 | 1 | ω | 0 | ω | −ω | 0 | -со | -1 | |
0 | 1 | ω | 0 | −ω | −ω | 0 | ω | 1 | |
0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | |
0 | 1 | −ω | 0 | ω | ω | 0 | −ω | 1 | |
0 | 1 | −ω | 0 | −ω | ω | 0 | ω | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 9.
Есть символов по модулю 10. В таблице ниже i - это мнимая единица.
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | i | 0 | 0 | 0 | −i | 0 | - 1 | |
0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | −i | 0 | 0 | 0 | i | 0 | −1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 генерирует группу единиц по модулю 10.
Имеется символов по модулю 11. В таблице ниже,
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | ω | −ω | ω | ω | −ω | −ω | ω | -со | -1 | |
0 | 1 | ω | −ω | ω | −ω | −ω | ω | −ω | ω | 1 | |
0 | 1 | ω | ω | −ω | ω | −ω | ω | −ω | −ω | −1 | |
0 | 1 | ω | ω | −ω | −ω | −ω | −ω | ω | ω | 1 | |
0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | -1 | |
0 | 1 | −ω | −ω | ω | ω | ω | ω | −ω | −ω | 1 | |
0 | 1 | −ω | −ω | ω | −ω | ω | −ω | ω | ω | −1 | |
0 | 1 | −ω | ω | -ш | ω | ω | -со | ω | −ω | 1 | |
0 | 1 | −ω | ω | −ω | -ш | ω | ω | −ω | ω | -1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 11.
Имеется символов по модулю 12.
χ \ n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | −1 | |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (5) и χ (7), поскольку 5 и 7 порождают группу единиц по модулю 12.
Если p нечетное простое число, то функция
В более общем случае, если m является положительным нечетным числом, функция
Это примеры реальных символов. В общем, все реальные символы возникают из символа Кронекера.
Остатки по модулю N приводят к остаткам по модулю M для любого множителя M из N, отбрасывая некоторую информацию. Эффект на символы Дирихле идет в противоположном направлении: если χ является символом по модулю M, он индуцирует символ χ * mod N для любого кратного N из M. Символ является примитивным, если он не индуцируется любой характер меньшего модуля.
Если χ является характером по модулю n и d делит n, то мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для χ, если из взаимно простого с n и 1 модуля d следует χ (a) = 1: эквивалентно, χ (a) = χ (b), если a, b конгруэнтны по модулю d и каждая взаимно проста с n. Символ является примитивным, если не существует меньшего индуцированного модуля.
Мы можем формализовать это иначе, определив символы χ 1 mod N 1 и χ 2 модуль N 2 должен быть совместно обученным, если для некоторого модуля N, такого что N 1 и N 2 оба делят N, мы имеем χ 1 (n) = χ 2 (n) для всех n, взаимно простых с N: то есть существует некоторый характер χ *, индуцированный каждым из χ 1 и χ 2. В этом случае существует символ по модулю НОД N 1 и N 2, индуцирующий как χ 1, так и χ 2. Это является отношением эквивалентности на персонажах. Символ с наименьшим модулем в смысле делимости в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является проводником символов в классе.
Непримитивность символов может привести к отсутствию факторов Эйлера в их L-функциях.
Отношения ортогональности для характеры конечной группы переходят в характеры Дирихле. Если мы зафиксируем символ χ по модулю n, то сумма
, если х не является главным; в этом случае сумма равна ф (п). Точно так же, если мы зафиксируем класс вычетов a по модулю n и просуммируем по всем символам, мы получим
кроме случаев, когда , и в этом случае сумма равна φ (n). Мы выводим, что любая периодическая функция с периодом n с носителем на классах вычетов, простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле. У нас также есть отношение суммы характеров, данное в главе 4 Дэвенпорта, заданное формулой
где сумма берется по всем Дирихле символы по модулю некоторых фиксированных q, a и n фиксируются с помощью и обозначает общую функцию Эйлера.
Персонажи Дирихле и их L-серия были представлены Питером Густавом Леженом Дирихле, в 1831 г. для доказательства теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях. Он изучал L-ряд только для вещественных s и особенно тех, что s стремится к 1. Распространение этих функций на комплексные s на всей комплексной плоскости было получено Бернхардом Риманом в 1859 году.