Класс Сельберга

В математике класс Сельберга является аксиоматикой определение класса L-функций. Членами этого класса являются ряд Дирихле, которые подчиняются четырем аксиомам, которые, кажется, фиксируют существенные свойства, которым удовлетворяет большинство функций, которые обычно называются L-функциями или дзета-функциями. Хотя точная природа класса является предположительной, есть надежда, что определение класса приведет к классификации его содержимого и выяснению его свойств, включая понимание их связи с автоморфными формами и Гипотеза Римана. Класс был определен Атле Сельберг в (Selberg 1992), который предпочел не использовать слово «аксиома», которое использовали более поздние авторы.

• 1 Определение
  • 1.1 Комментарии к определению
  • 1.2 Примеры
• 2 Основные свойства
• 3 Гипотезы Сельберга
  • 3.1 Последствия домыслов
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Формальное определение класса S - это множество всех рядов Дирихле

$F\; (s)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; anns\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

абсолютно сходится для Re (s)>1, удовлетворяющих четырем аксиомам (или предположениям, как называет Сельберг их):

1. Аналитичность : $F\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\}$имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с единственно возможным полюсом (если есть), когда s равно 1.
2. Гипотеза Рамануджана : a 1 = 1 и $an\; \ll \; ϵ\; n\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; ll\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; n\; ^\; \{\backslash \; epsilon\}\}$для любого ε>0;
3. Функциональное уравнение uation : существует гамма-фактор вида

   $\gamma \; (s)\; =\; Q\; s\; \prod \; i\; =\; 1\; k\; \Gamma \; (\omega \; is\; +\; \mu \; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (s)\; =\; Q\; ^\; \{s\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; s\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\})\}$

   где Q вещественное и положительное число, Γ гамма-функция, действительное и положительное ω i и комплексное μ i с неотрицательной действительной частью, а также так называемое корневое число

   $\alpha \; \in \; C,\; |\; \alpha \; |\; Знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash ;\; |\; \backslash \; alpha\; |\; =\; 1\}$,

   , так что функция

   $\Phi \; (s)\; =\; \gamma \; (s)\; F\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (s)\; =\; \backslash \; gamma\; (s)\; F\; (s)\; \backslash ,\}$

   удовлетворяет условию

   $\Phi \; (s)\; =\; \alpha \; \Phi \; (1\; -\; s\; ¯)\; ¯;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (s)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash ,\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; Phi\; (1\; -\; \{\backslash \; overline\; \{s\}\})\}\};\}$

4. произведение Эйлера : для Re (s)>1, F (s) можно записать как произведение на простые числа:

   $F\; (s)\; =\; \prod \; p\; F\; p\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\}\; F\_\; \{p\}\; (s)\; \}$

   с

   $F\; p\; (s)\; =\; exp\; \; (\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; bpnpns)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p\}\; (s)\; =\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{p\; ^\; \{n\}\}\}\; \{p\; ^\; \{ns\}\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\}$

   и для некоторого θ < 1/2,

   $bpn\; =\; O\; (pn\; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{p\; ^\; \{n\}\}\; =\; O\; (p\; ^\; \{n\; \backslash \; theta\}).\; \backslash ,\}$

Комментарии к определению

Условие, что действительная часть μ i быть неотрицательным, потому что существуют известные L-функции, которые не удовлетворяют гипотезе Римана, когда μ i отрицательно. В частности, существуют формы Маасса, связанные с исключительными собственными значениями, для которых справедлива гипотеза Рамануджана – Петерсена, и которые имеют функциональное уравнение, но не удовлетворяют гипотезе Римана.

Условие θ < 1/2 is important, as the θ = 1/2 case includes the эта-функция Дирихле, которое нарушает гипотезу Римана.

Это следствие 4. того, что a n являются мультипликативными и что

$F\; p\; (s)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; apnpns\; для\; Re\; (s)>0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{p\}\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{p\; ^\; \{n\}\}\}\; \{p\; ^\; \{ns\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{для\; Re\}\}\; (s)>0.\}$

Примеры

Прототипным примером элемента в S является дзета-функция Римана. Другим примером является L-функция модульный дискриминант Δ

$L\; (s,\; \Delta )\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; anns\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (s,\; \backslash \; Delta)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{\; n\}\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

где $an\; =\; \tau \; (n)\; /\; n\; 11/2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; tau\; (n)\; /\; n\; ^\; \{11/2\; \}\}$и τ (n) - это тау-функция Рамануджана.

Все известные примеры - автоморфные L-функции, и обратные величины F p (s) являются многочленами от p ограниченной степени.

Наилучшие результаты по структуре класса Сельберга получены Качоровским и Перелли, которые показали, что L-функции Дирихле (включая дзета-функцию Римана) являются единственным примером файлы со степенью меньше 2.

Как и в случае с дзета-функцией Римана, элемент F из S имеет тривиальные нули, которые возникают из полюсов гаммы коэффициент γ (s). Остальные нули называются нетривиальными нулями поля F. Все они будут расположены в некоторой полосе 1 - A ≤ Re (s) ≤ A. Обозначение количества нетривиальных нулей F с 0 ≤ Im (s) ≤ T на N F (T), Сельберг показал, что

$NF\; (T)\; =\; d\; FT\; log\; \; (T\; +\; C)\; 2\; \pi \; +\; O\; (log\; \; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{F\}\; (T)\; =\; d\_\; \{F\}\; \{\backslash \; frac\; \{T\; \backslash \; log\; (T\; +\; C)\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; +\; O\; (\backslash \; log\; T).\}$

Здесь d F называется степенью (или размером ) F. Он задается как

$d\; F\; =\; 2\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; \omega \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{F\}\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}.\}$Можно показать, что F = 1 - единственная функция в S, чья степень меньше 1.

Если F и G принадлежат к классу Сельберга, то их произведение также и

$d\; FG\; =\; d\; F\; +\; d\; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{FG\}\; =\; d\_\; \{F\}\; +\; d\_\; \{G\}.\}$

Функция F ≠ 1 в S называется примитивом, если всякий раз, когда она записывается как F = F 1F2, с F i в S, тогда F = F 1 или F = F 2. Если d F = 1, то F примитивен. Каждую функцию F ≠ 1 из S можно записать как произведение примитивных функций. Гипотезы Сельберга, описанные ниже, подразумевают, что разложение на примитивные функции единственно.

Примеры примитивных функций включают дзета-функцию Римана и L-функции Дирихле примитивных символов Дирихле. Предполагая гипотезы 1 и 2 ниже, L-функции неприводимых каспидальных автоморфных представлений, удовлетворяющих гипотезе Рамануджана, примитивны.

В (Selberg 1992) Сельберг высказал предположения относительно функций в S:

• Гипотеза 1: для всех F в S существует целое число n F такое, что

$\sum \; p\; \le \; x\; |\; а\; п\; |\; 2\; п\; знак\; равно\; N\; F\; журнал\; \; журнал\; \; Икс\; +\; О\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; a\_\; \{p\}\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{p\}\}\; =\; n\_\; \{F\; \}\; \backslash \; log\; \backslash \; log\; x\; +\; O\; (1)\}$

и n F = 1, если F примитивен.

• Гипотеза 2: Для различных примитивов F, F ′ ∈ S,

$\sum \; p\; \le \; xapap\; \prime \; p\; =\; O\; (1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{p\}\; a\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}\; \{p\}\}\; =\; O\; (1).\}$

• Гипотеза 3: если F в S с примитивной факторизацией

$F\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; m\; F\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; F\_\; \{i\},\}$

χ - примитивный символ Дирихле, и функция

$F\; \chi \; (s)\; =\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \chi \; (n)\; anns\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; chi\}\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; chi\; (n)\; a\_\; \{n\}\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

также находится в S, тогда функции F i являются примитивными элементами S (и, следовательно, они образуют примитивную факторизацию F).

• Гипотеза Римана для S: для всех F в S нетривиальные нули F все лежат на прямой Re (s) = 1/2.

Последствия гипотезы

Из гипотез 1 и 2 следует, что если F имеет полюс порядка m в точке s = 1, то F (s) / ζ (s) целое. В частности, из них следует гипотеза Дедекинда.

М. Рам Мерти показал в (Murty 1994), что из предположений 1 и 2 следует гипотеза Артина. Фактически, Мурти показал, что L-функции Артина, соответствующие неприводимым представлениям группы Галуа разрешимого расширения рациональных чисел, автоморфны, как предсказывают гипотезы Ленглендса.

Функции в S также удовлетворяют аналогу теоремы о простых числах : F (s) не имеет нулей на прямой Re (s) = 1. Как упоминалось выше, гипотезы 1 и 2 подразумевают однозначную факторизацию функций из S в примитивные функции. Другое следствие состоит в том, что примитивность F эквивалентна n F = 1.

• Список дзета-функций

• Сельберг, Атле (1992), «Старые и новые гипотезы и результаты об одном классе рядов Дирихле», Труды Амальфитанской конференции по аналитической теории чисел (Майори, 1989), Салерно: Univ. Салерно, стр. 367–385, MR 1220477, Zbl 0787.11037 Перепечатано в Сборнике статей, том 2, Springer-Verlag, Berlin ( 1991)
• Конри, Дж. Брайан ; Гош, Амит (1993), «О классе Сельберга ряда Дирихле: малые степени», Duke Mathematical Journal, 72 (3): 673–693, arXiv : math.NT / 9204217, doi : 10.1215 / s0012-7094-93-07225-0, MR 1253620, Zbl 0796.11037

• Мурти, М. Рам (1994), «Гипотезы Сельберга и L-функции Артина», Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 31 (1): 1–14, arXiv : math / 9407219, doi : 10.1090 / s0273-0979-1994-00479-3, MR 1242382, S2CID 265909, Zbl 0805.11062

• Мурти, М. Рам (2008), Проблемы аналитической теории чисел, Тексты для выпускников in Mathematics, Readings in Mathematics, 206 (Second ed.), Springer-Verlag, Chapter 8, doi : 10.1007 / 978 -0-387-72350-1, ISBN 978-0-387-72349-5, MR 2376618, Zbl 1190.11001