Расположение гиперплоскостей

редактировать

Разделение линейного, аффинного или проективного пространства конечным набором гиперплоскостей

In геометрии и комбинаторики, расположение гиперплоскостей - это расположение конечного набора A гиперплоскостей в линейное, аффинное или проективное пространство S. Вопросы о расположении гиперплоскостей A обычно касаются геометрических, топологических или других свойств дополнения, M (A) - это множество, которое остается, когда гиперплоскости удаляются из всего пространства. Можно спросить, как эти свойства связаны с расположением и его полурешеткой пересечений. пересечение полурешетки матрицы A, обозначенное L (A), представляет собой набор всех подпространств, которые получаются путем пересечения некоторых из гиперплоскостей; среди этих подпространств находится само S, все индивидуальные гиперплоскости, все пересечения пар гиперплоскостей и т. д. (за исключением, в аффинном случае, пустого множества). Эти подпространства пересечения A также называются квартирами A. Полурешетка пересечений L (A) частично упорядочена обратным включением.

Если все пространство S двумерно, гиперплоскости являются линиями ; такое расположение часто называется расположением строк. Исторически первыми исследовались реальные расположения линий. Если S является трехмерным, он имеет расположение плоскостей .

Расположение гиперплоскостей в пространстве

Содержание

1 Общая теория
- 1.1 Полурешетка пересечения и матроид
- 1.2 Полиномы
- 1.3 Алгебра Орлика – Соломона
2 Реальные расположения
3 Сложные расположения
4 Технические характеристики
5 См. Также
6 Ссылки

Общая теория

Полурешетка пересечений и матроид

Полурешетка пересечений L (A) является полурешеткой пересечений, а более конкретно - a. Если расположение является линейным или проективным, или если пересечение всех гиперплоскостей непусто, решетка пересечений является геометрической решеткой. (Вот почему полурешетка должна быть упорядочена путем обратного включения, а не включения, что может показаться более естественным, но не приведет к геометрической (полу) решетке.)

Когда L (A) является решеткой, матроид матрицы A, обозначенный как M (A), имеет A в качестве основного множества и функцию ранга r (S): = codim (I), где S - любое подмножество A, а I - пересечение гиперплоскостей в S. В общем случае, когда L (A) является полурешеткой, существует аналогичная матроидоподобная структура, называемая a, которая является обобщением матроида (и имеет такое же отношение к полурешетке пересечений, как и матроид к решетке в решеточном случае), но не является матроидом, если L (A) не является решеткой.

Многочлены

Для подмножества B в A, давайте определим f (B): = пересечение гиперплоскостей в B; это S, если B пусто. Характеристический многочлен элемента A, записанный как p A (y), может быть определен как

p A (y): = ∑ B (- 1) | B | y dim ⁡ е (B), {\ displaystyle p_ {A} (y): = \ sum _ {B} (- 1) ^ {| B |} y ^ {\ dim f (B)},}

{\ displaystyle p_ {A} (y): = \ sum _ {B} (- 1) ^ {| B |} y ^ {\ dim f (B)},}

суммируется по всем подмножествам B в A, за исключением, в аффинном случае, подмножеств, пересечение которых пусто. (Размерность пустого множества определена как -1.) Этот многочлен помогает решить некоторые основные вопросы; увидеть ниже. Другой многочлен, связанный с A, - это многочлен числа Уитни wA(x, y), определенный как

w A (x, y): = ∑ B xn - dim ⁡ f (B) ∑ C ( - 1) | C - B | Y тусклый ⁡ е (C), {\ Displaystyle W_ {A} (x, y): = \ sum _ {B} x ^ {n- \ dim f (B)} \ sum _ {C} (- 1) ^ {| CB |} y ^ {\ dim f (C)},}

{\ displaystyle w_ {A} (x, y): = \ sum _ {B} x ^ {n- \ dim f (B)} \ sum _ { C} (- 1) ^ {| CB |} y ^ {\ dim f (C)},}

, просуммированное по B ⊆ C ⊆ A таким, что f (B) непусто.

Будучи геометрической решеткой или полурешеткой, L (A) имеет характеристический полином, p L (A) (y), который имеет обширную теорию (см. матроид ). Таким образом, хорошо знать, что p A (y) = yp L (A) (y), где i - наименьшее измерение любой квартиры, за исключением того, что в проективном случае он равен yp L (A) (y). Многочлен числа Уитни для A аналогичен полиному для L (A). (Пустое множество исключается из полурешетки в аффинном случае специально для того, чтобы эти соотношения были верны.)

Алгебра Орлика – Соломона

Полрешетка пересечений определяет другой комбинаторный инвариант расположения., файл. Чтобы определить его, зафиксируйте коммутативное подкольцо K базового поля и сформируйте внешнюю алгебру E векторного пространства

⨁ H ∈ AK e H {\ displaystyle \ bigoplus _ {H \ in A} Ke_ {H}}

{\ displaystyle \ bigoplus _ {H \ in A} Ke_ {H}}

, порожденные гиперплоскостями. Структура комплексной цепи определяется на E с помощью обычного граничного оператора $∂ {\ displaystyle \ partial}$ $\ partial$ . Алгебра Орлика – Соломона является фактором E по идеалу, порожденному элементами вида $e H 1 ∧ ⋯ ∧ e H p {\ displaystyle e_ {H_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {H_ {p}}}$ ${\ displaystyle e_ {H_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {H_ {p}}}$ , для которого $H 1,…, H p {\ displaystyle H_ {1}, \ dots, H_ {p}}$ ${\ displaystyle H_ {1}, \ dots, H_ {p}}$ имеют пустое пересечение и границами элементов той же формы, для которых $H 1 ∩ ⋯ ∩ H p {\ displaystyle H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {p}}$ ${\ displaystyle H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {p}}$ имеет коразмерность меньше p.

Реальные расположения

В реальном аффинном пространстве дополнение разъединено: оно состоит из отдельных частей, называемых ячейками или регионов или камер, каждая из которых является либо ограниченной областью, которая является выпуклым многогранником, либо неограниченной областью, которая является выпуклая многогранная область, уходящая в бесконечность. Каждая квартира A также разделена на части гиперплоскостями, которые не содержат плоскости; эти части называются гранями A. Области являются гранями, потому что все пространство является плоским. Грани коразмерности 1 можно назвать фасетами матрицы A. Полурешетка граней компоновки - это набор всех граней, упорядоченных по включению. Добавление дополнительного верхнего элемента к полурешетке граней дает решетку граней .

В двух измерениях (то есть в реальной аффинной плоскости ) каждая область представляет собой выпуклый многоугольник ( если он ограничен) или выпуклой многоугольной области, уходящей в бесконечность.

Например, если компоновка состоит из трех параллельных прямых, полурешетка пересечения состоит из плоскости и трех прямых, но не из пустого множества. Есть четыре области, ни одна из них не ограничена.
Если мы добавим прямую, пересекающую три параллели, то полурешетка пересечения будет состоять из плоскости, четырех прямых и трех точек пересечения. Есть восемь областей, но ни одна из них не ограничена.
Если мы добавим еще одну линию, параллельную последней, то получится 12 областей, из которых две являются ограниченными параллелограммами.

Типичные проблемы, связанные с расположение в n-мерном реальном пространстве должно сказать, сколько существует областей, или сколько граней размерности 4, или сколько ограниченных областей. На эти вопросы можно ответить только с помощью полурешетки пересечений. Например, две основные теоремы Заславского (1975) заключаются в том, что количество областей аффинного расположения равно (−1) p A (−1), а количество ограниченных областей равно (−1) p A (1). Точно так же количество k-мерных граней или ограниченных граней можно прочитать как коэффициент при x в (−1) w A (−x, −1) или (−1) w А (-x, 1).

Мейзер (1993) разработал быстрый алгоритм для определения грани расположения гиперплоскостей, содержащих входную точку.

Еще один вопрос о расположении в реальном пространстве - решить, сколько областей являются симплексами (n-мерное обобщение треугольников и тетраэдров ). На этот вопрос нельзя ответить, основываясь только на полурешетке пересечений. Задача Макмаллена требует наименьшего расположения данного измерения в общем положении в реальном проективном пространстве, для которого не существует ячейки, затрагиваемой всеми гиперплоскостями.

Реальная линейная компоновка, помимо своей лицевой полурешетки, имеет poset областей, различное для каждой области. Этот poset формируется путем выбора произвольной базовой области, B 0, и связывания с каждой областью R набора S (R), состоящего из гиперплоскостей, которые отделяют R от B. 1 ≥ R 2, если S (R 1, R) содержит S (R 2, R). В частном случае, когда гиперплоскости возникают из корневой системы , результирующим множеством является соответствующая группа Вейля со слабым порядком Брюа. В общем, набор областей ранжируется по количеству разделяющих гиперплоскостей, и его функция Мёбиуса была вычислена (Edelman 1984).

Вадим Шехтман и Александр Варченко ввели матрицу с индексированием по регионам. Элемент матрицы для области $R i {\ displaystyle R_ {i}}$ $R_ {i}$ и $R j {\ displaystyle R_ {j}}$ $R_ {j}$ задается произведением неопределенных переменных $a H {\ displaystyle a_ {H}}$ $a_ {H}$ для каждой гиперплоскости H, разделяющей эти две области. Если эти переменные специализируются на значении q, то это называется q-матрицей (в евклидовой области $Q [q] {\ displaystyle \ mathbb {Q} [q]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [q ]}$ ) для расположения и много информации содержится в его нормальной форме Смита.

Сложном расположении

В сложном аффинном пространстве (которое трудно визуализировать, потому что даже сложная аффинная плоскость имеет четыре реальных измерения), дополнение соединено (все одно целое) с отверстиями, в которых были удалены гиперплоскости.

Типичная проблема расположения в сложном пространстве - описать дыры.

Основная теорема о комплексных расположениях состоит в том, что когомологии дополнения M (A) полностью определяются полурешеткой пересечений. Точнее говоря, кольцо когомологий M (A) (с целыми коэффициентами) изоморфно алгебре Орлика – Соломона на Z.

. Изоморфизм может быть описан явно и дает представление когомологий в терминах генераторов и соотношений, где генераторы представлены (в когомологии де Рама ) в виде логарифмических дифференциальных форм

1 2 π id α α. {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ frac {d \ alpha} {\ alpha}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ frac {d \ alpha} {\ alpha}}.}

с $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ любая линейная форма, определяющая общую гиперплоскость расположения.

Технические аспекты

Иногда удобно позволить вырожденной гиперплоскости, которая является всем пространством S, принадлежать некоторому расположению. Если A содержит вырожденную гиперплоскость, то у нее нет областей, потому что дополнение пусто. Однако у него все еще есть квартиры, полурешетка пересечений и грани. Предыдущее обсуждение предполагает, что вырожденная гиперплоскость не входит в структуру.

Иногда хочется разрешить повторяющиеся гиперплоскости в расположении. Мы не рассматривали эту возможность в предыдущем обсуждении, но это не имеет существенного значения.

См. Также

Сверхрешаемая структура

Ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Эдельман, Пол Х. (1984), «Частичный порядок в областях $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , рассеченных гиперплоскостями», Труды Американского математического общества, 283 (2): 617–631, doi : 10.2307 / 1999150, JSTOR 1999150, MR 0737888.
Мейзер, Стефан (1993), «Расположение точек в расположении гиперплоскостей», Информация и вычисления, 106 (2): 286–303, doi : 10.1006 /inco.1993.1057, MR 1241314.
Орлик Петр ; Терао, Хироаки (1992), Устройство гиперплоскостей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 300, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02772-1, MR 1217488.
Стэнли, Ричард (2011). «3.11 Гиперплоскости». Перечислительная комбинаторика. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 1107602629.
Заславский, Томас (1975), «Облицовка до договоренностей: формулы подсчета лиц для разделения пространства гиперплоскостями», Мемуары Американского математического общества, Провиденс, RI: Американское математическое общество (№ 154), doi :10.1090/memo/0154, MR 0357135.