Проблема Макмаллена

Нерешенная задача по математике:

Для скольких точек всегда возможно проективное преобразование точек в выпуклое положение?

(больше нерешенных задач по математике)

Проблема Макмаллена - открытая проблема дискретной геометрии, названная в честь Питера Макмаллена.

• 1 Заявление
• 2 Эквивалентные составы
  • 2.1 преобразование Гейла
  • 2.2 Разбиение на почти непересекающиеся оболочки
  • 2.3 Проективная двойственность
• 3 результат
• 4 ссылки

В 1972 году Дэвид Г. Ларман писал о следующей проблеме:

Определите наибольшее число такое, что для любых заданных точек общего положения в -мерном аффинном пространстве существует проективное преобразование, отображающее эти точки в выпуклое положение (так что они образуют вершины выпуклого многогранника ).${\ displaystyle \ nu (d)}$${\ displaystyle \ nu (d)}$ ${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Ларман приписал проблему частному общению Питера Макмаллена.

Преобразование Гейла

Используя преобразование Гейла, эту проблему можно переформулировать так:

Определите наименьшее число, такое, что для каждого набора точек в линейно общем положении на сфере можно выбрать набор, где для, такое, что каждое открытое полушарие содержит по крайней мере два члена.${\ displaystyle \ mu (d)}$${\ displaystyle \ mu (d)}$${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {\ mu (d)} \}}$${\ Displaystyle S ^ {d-1}}$${\ Displaystyle Y = \ {\ varepsilon _ {1} x_ {1}, \ varepsilon _ {2} x_ {2}, \ dots, \ varepsilon _ {\ mu (d)} x _ {\ mu (d)} \}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} = \ pm 1}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ точки, \ му (d)}$${\ Displaystyle S ^ {d-1}}$${\ displaystyle Y}$

Номера исходной постановки задачи МакМаллена и формулировки преобразования Гейла связаны соотношениями ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ mu}$

$${\ Displaystyle {\ begin {align} \ mu (k) amp; = \ min \ {w \ mid w \ leq \ nu (wk-1) \} \\\ nu (d) amp; = \ max \ {w \ середина ш \ geq \ mu (wd-1) \} \ end {выровнена}}}$$

Разделение на почти непересекающиеся оболочки

Кроме того, с помощью простого геометрического наблюдения его можно переформулировать как:

Определить наименьшее число такое, что для любого набора из точек существует раздел из в двух сетах и с ${\ displaystyle \ lambda (d)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda (d)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ $${\ displaystyle \ operatorname {conv} (A \ backslash \ {x \}) \ cap \ operatorname {conv} (B \ backslash \ {x \}) \ not = \ varnothing, \ forall x \ in X. \, }$$

Связь между и есть ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda}$

$${\ Displaystyle \ му (d + 1) = \ лямбда (d), \ qquad d \ geq 1 \,}$$

Проективная двойственность

Расположение линий двойственных правильного пятиугольника. В каждой пятистрочной проекционной схеме, подобной этой, есть ячейка, которой касаются все пять линий. Однако добавление линии на бесконечности дает расположение из шести линий с шестью гранями пятиугольника и десятью гранями треугольника; ни одно лицо не затронуто всеми линиями. Следовательно, решение проблемы Макмаллена для d  = 2 есть ν  = 5.

Эквивалентная проективная двойственная постановка задачи Макмаллена состоит в том, чтобы определить наибольшее число, такое, что каждый набор гиперплоскостей общего положения в d -мерном вещественном проективном пространстве образует расположение гиперплоскостей, в котором одна из ячеек ограничена всеми гиперплоскостями. ${\ displaystyle \ nu (d)}$${\ displaystyle \ nu (d)}$

Эта проблема все еще не решена. Однако границы находятся в следующих результатах: ${\ displaystyle \ nu (d)}$

• Дэвид Ларман доказал в 1972 году, что $${\ displaystyle 2d + 1 \ leq \ nu (d) \ leq (d + 1) ^ {2}.}$$
• Мишель Лас Вергнас в 1986 году доказал, что $${\ displaystyle \ nu (d) \ leq {\ frac {(d + 1) (d + 2)} {2}}.}$$
• Хорхе Луис Рамирес Альфонсин доказал в 2001 году, что $${\ displaystyle \ nu (d) \ leq 2d + \ left \ lceil {\ frac {d + 1} {2}} \ right \ rceil.}$$

Гипотеза этой проблемы такова. Это было доказано для. ${\ Displaystyle \ Nu (d) = 2d + 1}$${\ displaystyle d = 2,3,4}$