Дзета-распределение

редактировать

дзета
Вероятностная функция массы . График PMF Дзета в логарифмическом масштабе. (Функция определяется только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$s ∈ (1, ∞) {\ displaystyle s \ in (1, \ infty)}$ $s \ in (1, \ infty)$
Поддержка	$k ∈ {1, 2,…} {\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ ldots \}}$ $k \ in \ { 1,2, \ ldots \}$
PMF	$1 / ks ζ (s) {\ displaystyle {\ frac {1 / k ^ {s}} {\ zeta (s)}}}$ ${\ frac {1 / k ^ {s}} {\ zeta (s)}}$
CDF	$H k, s ζ (s) {\ displaystyle {\ frac {H_ {k, s}} {\ zeta (s)}}}$ ${\ frac {H _ {{k, s}}} {\ zeta (s)}}$
Среднее	$ζ (s - 1) ζ (s) для s>2 {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} { \ zeta (s)}} ~ {\ textrm {for}} ~ s>2}$ ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2$
Режим	$1 {\ displaystyle 1 \,}$ $1 \,$
Дисперсия	$ζ (s) ζ (s - 2) - ζ (s - 1) 2 ζ (s) 2 для s>3 {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (s-2) - \ zeta (s-1) ^ {2}} { \ zeta (s) ^ {2}}} ~ {\ textrm {for}} ~ s>3}$ ${\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3$
Энтропия	$∑ k = 1 ∞ 1 / k s ζ (s) log ⁡ (k s ζ (s)). {\ displaystyle \ sum _ {к = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 / k ^ {s}} {\ zeta (s)}} \ log (k ^ {s} \ zeta (s)). \, \!}$ $\ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1 / k ^ { s}} {\ zeta (s)}} \ log (k ^ {s} \ zeta (s)). \, \!$
MGF	$Li s ⁡ (et) ζ (s) {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t})} {\ zeta (s)}}}$ ${\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t})} {\ zeta (s)}}$
CF	$Ли s ⁡ (eit) ζ (s) {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {it})} {\ zeta (s)} }}$ ${\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {{it}})} {\ zeta (s)}}$

В теории вероятностей и статистика, дзета-распределение представляет собой дискретное распределение вероятностей. Если X является дзета-распределенной случайной величиной с параметром s, то вероятность того, что X принимает целочисленное значение k, задается функцией вероятности-массы

fs (k) = k - s / ζ (s) {\ displaystyle f_ {s} (k) = k ^ {- s} / \ zeta (s) \,}

f_ {s } (k) = k ^ {{- s}} / \ zeta (s) \,

где ζ (s) - дзета-функция Римана (который не определен при s = 1).

Кратности различных простых множителей X являются независимыми случайными величинами.

дзета-функция Римана, являющаяся суммой все термины $k - s {\ displaystyle k ^ {- s}}$ $k ^ {{- s}}$ для положительного целого числа k, таким образом, это появляется как нормализация распределения Ципфа. Термины «распределение Zipf» и «дзета-распределение» часто используются как синонимы. Но обратите внимание, что хотя дзета-распределение само по себе является распределением вероятностей, оно не связано с законом Ципфа с тем же показателем. См. Также Распределение Юла – Саймона

Содержание

1 Определение
2 Моменты
- 2.1 Производящая функция моментов
3 Случай s = 1
4 Бесконечная делимость
5 См. также
6 Внешние ссылки

Определение

Дзета-распределение определяется для положительных целых чисел $k ≥ 1 {\ displaystyle k \ geq 1}$ $k \ geq 1$ и его вероятностной массы функция задается следующим образом:

P (x = k) = 1 ζ (s) k - s {\ displaystyle P (x = k) = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} k ^ {- s}}

{\ displaystyle P (x = k) = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} k ^ {- s}}

где $s>1 {\ displaystyle s>1}$ $s>1$ - это параметр, а $ζ (s) {\ displaystyle \ zeta (s)}$ $\ zeta (s)$ - это Дзета-функция Римана.

Кумулятивная функция распределения задается следующим образом:

P (x ≤ k) = H k, s ζ (s), {\ displaystyle P (x \ leq k) = {\ frac {H_ {k), s}} {\ zeta (s)}},}

{\ displaystyle P (x \ leq k) = { \ frac {H_ {k, s}} {\ zeta (s)}},}

где $H k, s {\ displaystyle H_ {k, s}}$ ${\ displaystyle H_ {k, s}}$ - обобщенная гармоника n Умбер

H k, s = ∑ i = 1 k 1 i s. {\ displaystyle H_ {k, s} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {i ^ {s}}}.}

{\ displaystyle H_ {k, s} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} { i ^ {s}}}.}

Моменты

n-й исходный момент определяется как ожидаемое значение X:

mn = E (X n) = 1 ζ (s) ∑ k = 1 ∞ 1 ks - n {\ displaystyle m_ {n} = E (X ^ {n}) = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {sn}}} }

m_ {n} = E (X ^ {n}) = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ sum _ {{k = 1 }} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {{sn}}}}

Ряд справа - это просто последовательное представление дзета-функции Римана, но оно сходится только для значений $s - n {\ displaystyle sn}$ ${\ displaystyle sn}$ , которые больше единицы. Таким образом:

mn = {ζ (s - n) / ζ (s) для n < s − 1 ∞ for n ≥ s − 1 {\displaystyle m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s){\textrm {for}}~n

m_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ zeta (sn) / \ zeta (s) {\ textrm {for}} ~ n <s-1 \\\ infty {\ textrm {for}} ~ n \ geq s-1 \ end {matrix}} \ right.

Обратите внимание, что отношение дзета-функций хорошо определено даже для n>s - 1, потому что последовательное представление дзета-функции функция может быть аналитически продолжена. Это не меняет того факта, что моменты задаются самим рядом и поэтому не определены для больших n.

Функция создания момента

Функция создания момента определяется как

M (t; s) = E (et X) = 1 ζ (s) ∑ k = 1 ∞ etkks. {\ Displaystyle M (t; s) = E (e ^ {tX}) = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac { e ^ {tk}} {k ^ {s}}}.}

M (t; s) = E (e ^ {{tX}}) = {\ frac {1} { \ zeta (s)}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {{tk}}} {k ^ {s}}}.

Ряд - это просто определение полилогарифма, действительное для $et < 1 {\displaystyle e^{t}<1}$ $e ^ {t} <1$ , так что

M (t; s) = Li s ⁡ (et) ζ (s) для t < 0. {\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}

M (t; s) = {\ frac {\ operatorname {Li } _ {s} (e ^ {t})} {\ zeta (s)}} {\ text {for}} t <0.

Разложение этой функции в ряд Тейлора не обязательно даст моменты распределения. Ряд Тейлора с использованием моментов, как они обычно встречаются в производящей функции моментов, дает

∑ n = 0 ∞ m n t n n!, {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {m_ {n} t ^ {n}} {n!}},}

\ сумма _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {m_ {n} t ^ {n}} {n!}},

что явно не определено для любого конечного значение s, поскольку моменты становятся бесконечными при больших n. Если мы используем аналитически продолженные члены вместо самих моментов, мы получим из последовательного представления полилогарифма

1 ζ (s) ∑ n = 0, n ≠ s - 1 ∞ ζ (s - n) п! tn знак равно Li s ⁡ (et) - Φ (s, t) ζ (s) {\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ sum _ {n = 0, n \ neq s-1 } ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (sn)} {n!}} \, t ^ {n} = {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t}) - \ Phi (s, t)} {\ zeta (s)}}}

{\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ sum _ {{n = 0, n \ neq s-1}} ^ {\ infty} { \ frac {\ zeta (sn)} {n!}} \, t ^ {n} = {\ frac {\ имя оператора {Li} _ {s} (e ^ {t}) - \ Phi (s, t)} {\ zeta (s)}}

для $| т | < 2 π {\displaystyle \scriptstyle |t|\,<\,2\pi }$ $\ scriptstyle | t | \, <\, 2 \ pi$ . $Φ (s, t) {\ displaystyle \ scriptstyle \ Phi (s, t)}$ $\ scriptstyle \ Phi (s, t)$ дается выражением

Φ (s, t) = Γ (1 - s) (- t) s - 1 для s ≠ 1, 2, 3… {\ displaystyle \ Phi (s, t) = \ Gamma (1-s) (- t) ^ {s-1} {\ text {for}} s \ neq 1,2,3 \ ldots}

\ Phi (s, t) = \ Gamma (1-s) (- t) ^ {{s-1}} {\ text {for}} s \ neq 1,2,3 \ ldots

Φ (s, t) = ts - 1 (s - 1)! [H s - ln ⁡ (- t)] для s = 2, 3, 4… {\ displaystyle \ Phi (s, t) = {\ frac {t ^ {s-1}} {(s-1)! }} \ left [H_ {s} - \ ln (-t) \ right] {\ text {for}} s = 2,3,4 \ ldots}

\ Phi (s, t) = {\ frac {t ^ {{s-1}}} {(s-1)!}} \ Left [H_ {s} - \ ln (-t) \ right] {\ text {for}} s = 2,3,4 \ ldots

Φ (s, t) = - ln ⁡ ( - t) для s = 1, {\ displaystyle \ Phi (s, t) = - \ ln (-t) {\ text {for}} s = 1, \,}

\ Phi (s, t) = - \ ln (-t) {\ text {for}} s = 1, \,

где H s - это номер гармоники.

Случай s = 1

ζ (1) бесконечен как гармонический ряд, и поэтому случай, когда s = 1, не значимый. Однако, если A - любой набор положительных целых чисел, который имеет плотность, то есть если

lim n → ∞ N (A, n) n {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {N ( A, n)} {n}}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {N (A, n)} {n}}}

существует, где N (A, n) - количество членов A, меньшее или равное n, тогда

lim s → 1 + P (X ∈ A) {\ displaystyle \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} P (X \ in A) \,}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} P (X \ in A) \,}

равно этой плотности.

Последний предел также может существовать в некоторых случаях, когда A не имеет плотности. Например, если A - это набор всех положительных целых чисел, первая цифра которых равна d, то A не имеет плотности, но, тем не менее, второй предел, указанный выше, существует и пропорционален

log ⁡ (d + 1) - log ⁡ ( г) знак равно журнал ⁡ (1 + 1 д), {\ Displaystyle \ журнал (д + 1) - \ журнал (д) = \ журнал \ влево (1 + {\ гидроразрыва {1} {d}} \ вправо), \,}

{\ displaystyle \ log (d + 1) - \ log (d) = \ log \ left (1 + {\ frac {1} {d}} \ right), \,}

который является законом Бенфорда.

Бесконечная делимость

Дзета-распределение может быть построено с помощью последовательности независимых случайных величин с Геометрическим распределением. Пусть $p {\ displaystyle p}$ $p$ будет простым числом и $X (p - s) {\ displaystyle X (p ^ {- s})}$ ${\ displaystyle X (p ^ {- s})}$ быть случайной величиной с геометрическим распределением параметра $p - s {\ displaystyle p ^ {- s}}$ $p ^ {{- s}}$ , а именно

$P (X (p - s) знак равно к) знак равно п - кс (1 - п - s) {\ displaystyle \ quad \ quad \ quad \ mathbb {P} \ left (X (p ^ {- s}) = k \ right) = p ^ {- ks} (1-p ^ {- s})}$ ${\ displaystyle \ quad \ quad \ quad \ mathbb {P} \ left (X (p ^ {- s}) = k \ right) = p ^ {- ks} (1-p ^ {- s})}$

Если случайные величины $(X (p - s)) p ∈ P {\ displaystyle (X (p ^ {- s})) _ { p \ in {\ mathcal {P}}}}$ ${\ displaystyle (X (p ^ {- s})) _ {p \ in {\ mathcal {P}}}}$ независимы, тогда случайная величина $Z s {\ displaystyle Z_ {s}}$ $Z_ {s }$ определяется

$Z s знак равно ∏ п ∈ п п Икс (p - s) {\ displaystyle \ quad \ quad \ quad Z_ {s} = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {X (p ^ {-s})}}$ ${\ displaystyle \ quad \ quad \ quad Z_ {s} = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {X (p ^ {- s})}}$

имеет дзета-распределение: $P (Z s = n) = 1 ns ζ (s) {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (Z_ {s} = n \ справа) = {\ frac {1} {n ^ {s} \ zeta (s)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (Z_ {s} = n \ right) = {\ frac {1 } {n ^ {s} \ zeta (s)}}}$ .

Другими словами, случайная величина $log ⁡ (Z s) = ∑ p ∈ PX (p - s) журнал ⁡ (p) {\ displaystyle \ log (Z_ {s}) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P }}} X (p ^ {- s}) \, \ log (p)}$ ${\ displaystyle \ log (Z_ {s}) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} X (p ^ {- s}) \, \ log (p)}$ бесконечно делимо с мерой Леви, задаваемой следующей суммой массы Дирака :

$Π s (dx) = ∑ p ∈ P ∑ k ⩾ 1 p - ksk δ k log ⁡ (p) (dx) {\ displaystyle \ quad \ quad \ quad \ Pi _ {s} (dx) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ geqslant 1} {\ frac {p ^ {- ks}} {k}} \ delta _ {k \ log (p)} (dx)}$ ${\ displaystyle \ quad \ quad \ quad \ Pi _ {s} (dx) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ geqslant 1} {\ frac {p ^ {- ks}} {k}} \ delta _ {k \ log (p)} (dx)}$

См. также

Другие «степенные» распределения

Внешние ссылки

Гут, Аллан. «Некоторые замечания о дзета-распределении Римана». CiteSeerX 10.1.1.66.3284. Журнал цитирования требует | journal =() То, что Гут называет «дзета Римана» распределение »на самом деле является распределением вероятностей −log X, где X - случайная величина с тем, что в данной статье называется дзета-распределением.
Вайсштейн, Эрик У. « Дзета-распределение ». MathWorld.