Войти
В теории множеств, раздел математики, urelement или ur-element (от немецкого префикса ur-, «изначальный») - это объект, который не является множеством, но может быть элементом множества. Его также называют атомом или индивидом.
Есть несколько различных, но по существу эквивалентных способов лечения мочеточников в теории первого порядка.
Один из способов - работать в теории первого порядка с двумя сортами, наборами и элементами, причем a ∈ b определяется только тогда, когда b является набором. В этом случае, если U - урэлемент, говорить не имеет смысла, хотя это вполне законно.
Другой способ - работать в односортированной теории с унарным отношением, используемым для различения множеств и элементов. Поскольку непустые множества содержат элементы, а урэлементы - нет, унарное отношение необходимо только для того, чтобы отличать пустой набор от урэлементов. Обратите внимание, что в этом случае аксиома экстенсиональности должна быть сформулирована для применения только к объектам, которые не являются элементами.
Эта ситуация аналогична трактовке теорий множеств и классов. В самом деле, урэлементы в некотором смысле двойственны собственным классам : урэлементы не могут иметь членов, тогда как соответствующие классы не могут быть членами. Иными словами, элементы являются минимальными объектами, в то время как собственные классы являются максимальными объектами по отношению принадлежности (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию не следует воспринимать буквально).
Zermelo теории множеств 1908 включены праэлементами, и, следовательно, вариант мы теперь называем ZfA или ZFCA (т.е. ZfA с аксиомой выбора ). Вскоре стало понятно, что в контексте этой и тесно связанных с ней аксиоматических теорий множеств, элементарные элементы не нужны, потому что их можно легко смоделировать в теории множеств без элементов. Таким образом, стандартные изложения канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC не упоминают элементы. (За исключением см. Приложения.) Аксиоматизации теории множеств, которые действительно вызывают определенные элементы, включают теорию множеств Крипке – Платека с элементами, а также вариант теории множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя, описанный Мендельсоном. В теории типов объект типа 0 может называться урэлементом; отсюда и название «атом».
Добавление мочевых элементов в систему New Foundations (NF) для производства NFU имеет неожиданные последствия. В частности, Дженсен доказал непротиворечивость NFU по сравнению с арифметикой Пеано ; Между тем, непротиворечивость NF относительно чего-либо остается открытой проблемой до проверки доказательства Холмса ее непротиворечивости относительно ZF. Более того, NFU остается относительно непротиворечивым, если дополнить его аксиомой бесконечности и аксиомой выбора. Между тем отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой НФ. Холмс (1998) считает эти факты доказательством того, что NFU является более успешным фондом для математики, чем NF. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с элементами, чем без них, поскольку мы можем принимать в качестве элементов объекты любой теории или физической вселенной. В финитистской теории множеств элементы сопоставляются с компонентами самого нижнего уровня целевого явления, такими как атомарные составляющие физического объекта или членов организации.
Альтернативный подход к urelements состоит в том, чтобы рассматривать их, а не как тип объекта, отличный от множеств, как особый тип множества. Атомы куайна (названные в честь Уилларда Ван Ормана Куайна ) - это множества, которые содержат только себя, то есть множества, удовлетворяющие формуле x = { x }.
Атомы куайна не могут существовать в системах теории множеств, включающих аксиому регулярности, но они могут существовать в недостаточно обоснованной теории множеств. Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности не может доказать, что существуют какие- либо необоснованные множества (если только это не противоречит, и в этом случае будет любое произвольное утверждение ), но она совместима с существованием атомов Куайна. Антиосновная аксиома Акзеля подразумевает, что существует уникальный атом Куайна. Другие необоснованные теории могут допускать наличие множества отдельных атомов Куайна; на противоположном конце спектра находится аксиома сверхуниверсальности Боффы, которая подразумевает, что отдельные атомы Куайна образуют соответствующий класс.
Атомы хайна также появляются в « Новых фондах Куайна », что позволяет существовать более чем одному подобному набору.
Атомы Куайна являются единственным множеством, называемым возвратными наборами по Peter Aczél, хотя другие авторы, например, Джон Barwise и Лоуренс Мосс использовать последний термин для обозначения более широкий класса множеств со свойством х ∈ х.
