Принцип взрыва

редактировать

В классической логике, интуиционистской логике и аналогичных логических систем, принцип взрыва (латинское : ex falso [sequitur] quodlibet, «от лжи, [следует] что-нибудь]»; или ex contravemente [sequitur] quodlibet, «от противоречия, что-нибудь [следует] ') или принцип Псевдо-Скота, это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия. То есть, как только противоречие было заявлено, любое предложение (включая их отрицания ) может быть выведено из него; это известно как дедуктивный взрыв .

Доказательство этого принципа впервые было дано французским философом XII века Вильгельмом Суассонским. Из-за принципа взрыва существование противоречия (несогласованность ) в формальной аксиоматической системе губительно; поскольку любое утверждение может быть доказано, оно упрощает понятия истины и ложности. Примерно на рубеже 20-го века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела, лежащих в основе математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру математики. Математики, такие как Готтлоб Фреге, Эрнст Цермело, Абрахам Френкель и Торальф Сколем, приложили много усилий для пересмотра теории множеств, чтобы устранить эти противоречия, в результате чего появилась современная теория множеств Цермело – Френкеля.

В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречащих друг другу утверждения: «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые »- и предположим, что оба верны. Если это так, то можно доказать что угодно, например, утверждение о том, что «единороги существуют», используя следующий аргумент:

  1. Мы знаем, что «Не все лимоны желтые», как это было предполагалось, что это правда.
  2. Мы знаем, что «Все лимоны желтые», поскольку это предполагалось, чтобы быть правдой.
  3. Следовательно, двухчастное утверждение «Все лимоны желтые ИЛИ единороги существуют »также должно быть истинным, так как первая часть истинна.
  4. Однако, поскольку мы знаем, что« Не все лимоны желтые »(как это предполагалось), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть верной, то есть единороги существуют.

В другом решении этих проблем несколько математиков разработали альтернативные теории логики, названные паранепротиворечивой логикой, которые устраняют принцип взрыва. Это позволяет доказать некоторые противоречивые утверждения, не влияя на другие доказательства.

Содержание

  • 1 Символическое представление
  • 2 Доказательство
    • 2.1 Семантический аргумент
  • 3 Параконсистентная логика
  • 4 Использование
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Символическое представление

В символической логике принцип взрыва можно схематически выразить следующим образом:

P, ¬ P ⊢ Q {\ displaystyle P, \ lnot P \ vdash Q}{\ displaystyle P, \ lnot P \ vdash Q} Для любых операторов P и Q, если P и not-P оба истинны, то логически следует, что Q истинно.

Доказательство

Ниже приводится формальное доказательство принципа с использованием символической логики

ШагУтверждениеВывод
1P {\ displaystyle P}P Предположение
2¬ P {\ displaystyle \ neg P}\ neg P Предположение
3P ∨ Q {\ displaystyle P \ lor Q}P \ lor Q Введение в дизъюнкцию (1)
4Q {\ displaystyle Q}Q Дизъюнктивный силлогизм (2,3)

Это просто символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с P {\ displaystyle P}P означает «все лимоны желтые», а Q {\ displaystyle Q}Q означает «Единороги существуют». Мы начинаем с предположения, что (1) все лимоны желтые и что ( 2) не все лимоны желтые. Из предложения о том, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют по дизъюнктивному силлогизму.

Семантический аргумент

Альтернативный аргумент в пользу принципа проистекает из теории моделей. Предложение P {\ displaystyle P}P является семантическим следствием набора предложений Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma , только если каждая модель Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma является моделью P {\ displaystyle P}P . Однако не существует модели противоречивого множества (P ∧ ¬ P) {\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}{\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)} . Тем более, нет модели (P ∧ ¬ P) {\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}{\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)} , который не является моделью Q {\ displaystyle Q}Q . Таким образом, пусто каждая модель (P ∧ ¬ P) {\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}{\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)} является моделью Q {\ displaystyle Q}Q . Таким образом, Q {\ displaystyle Q}Q является семантическим следствием (P ∧ ¬ P) {\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}{\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)} .

Параконсистентная логика

Была разработана паранепротиворечивая логика, которая допускает субпротивоположные операторы формирования. Теоретико-модельные паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение, что не может быть модели {ϕ, ¬ ϕ} {\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}\ {\ phi, \ lnot \ phi \} и разработать семантические системы, в которых есть такие модели. С другой стороны, они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретико-доказательственные паранепротиворечивые логики обычно отрицают обоснованность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включая дизъюнктивный силлогизм, введение дизъюнкции и reductio ad absurdum.

Использование

метаматематическое значение принципа взрыва заключается в том, что для любой логической системы, в которой выполняется этот принцип, любой производной теории, которая доказывает (или эквивалентная форма, ϕ ∧ ¬ ϕ {\ displaystyle \ phi \ land \ lnot \ phi}\ phi \ land \ lnot \ phi ) бесполезно, потому что все его утверждения станут теоремами, что сделает невозможным отличить истину от лжи. То есть принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечивости в классической логике, потому что без него все утверждения истины становятся бессмысленными.

Снижение доказуемости логики без ex falso обсуждается в минимальной логике.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-02 06:47:20
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте