В классической логике, интуиционистской логике и аналогичных логических систем, принцип взрыва (латинское : ex falso [sequitur] quodlibet, «от лжи, [следует] что-нибудь]»; или ex contravemente [sequitur] quodlibet, «от противоречия, что-нибудь [следует] ') или принцип Псевдо-Скота, это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия. То есть, как только противоречие было заявлено, любое предложение (включая их отрицания ) может быть выведено из него; это известно как дедуктивный взрыв .
Доказательство этого принципа впервые было дано французским философом XII века Вильгельмом Суассонским. Из-за принципа взрыва существование противоречия (несогласованность ) в формальной аксиоматической системе губительно; поскольку любое утверждение может быть доказано, оно упрощает понятия истины и ложности. Примерно на рубеже 20-го века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела, лежащих в основе математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру математики. Математики, такие как Готтлоб Фреге, Эрнст Цермело, Абрахам Френкель и Торальф Сколем, приложили много усилий для пересмотра теории множеств, чтобы устранить эти противоречия, в результате чего появилась современная теория множеств Цермело – Френкеля.
В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречащих друг другу утверждения: «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые »- и предположим, что оба верны. Если это так, то можно доказать что угодно, например, утверждение о том, что «единороги существуют», используя следующий аргумент:
В другом решении этих проблем несколько математиков разработали альтернативные теории логики, названные паранепротиворечивой логикой, которые устраняют принцип взрыва. Это позволяет доказать некоторые противоречивые утверждения, не влияя на другие доказательства.
В символической логике принцип взрыва можно схематически выразить следующим образом:
Для любых операторов P и Q, если P и not-P оба истинны, то логически следует, что Q истинно.
Ниже приводится формальное доказательство принципа с использованием символической логики
Шаг | Утверждение | Вывод |
---|---|---|
1 | Предположение | |
2 | Предположение | |
3 | Введение в дизъюнкцию (1) | |
4 | Дизъюнктивный силлогизм (2,3) |
Это просто символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с означает «все лимоны желтые», а означает «Единороги существуют». Мы начинаем с предположения, что (1) все лимоны желтые и что ( 2) не все лимоны желтые. Из предложения о том, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют по дизъюнктивному силлогизму.
Альтернативный аргумент в пользу принципа проистекает из теории моделей. Предложение является семантическим следствием набора предложений , только если каждая модель является моделью . Однако не существует модели противоречивого множества . Тем более, нет модели , который не является моделью . Таким образом, пусто каждая модель является моделью . Таким образом, является семантическим следствием .
Была разработана паранепротиворечивая логика, которая допускает субпротивоположные операторы формирования. Теоретико-модельные паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение, что не может быть модели и разработать семантические системы, в которых есть такие модели. С другой стороны, они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретико-доказательственные паранепротиворечивые логики обычно отрицают обоснованность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включая дизъюнктивный силлогизм, введение дизъюнкции и reductio ad absurdum.
метаматематическое значение принципа взрыва заключается в том, что для любой логической системы, в которой выполняется этот принцип, любой производной теории, которая доказывает ⊥ (или эквивалентная форма, ) бесполезно, потому что все его утверждения станут теоремами, что сделает невозможным отличить истину от лжи. То есть принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечивости в классической логике, потому что без него все утверждения истины становятся бессмысленными.
Снижение доказуемости логики без ex falso обсуждается в минимальной логике.