В математике, симметризация это процесс, который преобразует любую функцию в п переменных к симметричной функции в п переменных. Точно так же антисимметризация превращает любую функцию от n переменных в антисимметричную функцию.
Пусть быть множество и в абелевой группе. Карта называется симметричной, если для всех.
Симметризацию из карты является карта.
Точно так же антисимметризация или кососимметризация карты - это карта.
Сумма симметризации и антисимметризации карты α равна 2 α. Таким образом, в отличие от 2, означающего, что если 2 обратимо, например, для действительных чисел, можно разделить на 2 и выразить каждую функцию как сумму симметричной функции и антисимметричной функции.
Симметризация симметричного отображения - это его дубль, а симметризация знакопеременного отображения равна нулю; аналогично антисимметризация симметричного отображения равна нулю, в то время как антисимметризация антисимметричного отображения является его двойником.
Симметризация и антисимметризация билинейного отображения билинейны; таким образом, в отличие от 2, каждая билинейная форма является суммой симметричной формы и кососимметричной формы, и нет никакой разницы между симметричной формой и квадратичной формой.
На этапе 2 не каждую форму можно разложить на симметричную форму и кососимметричную форму. Например, над целыми числами соответствующая симметричная форма (над рациональными числами ) может принимать полуцелые значения, а над функцией является кососимметричной тогда и только тогда, когда она симметрична (как 1 = -1).
Это приводит к понятию ε-квадратичных форм и ε-симметричных форм.
С точки зрения теории представлений :
Поскольку симметрическая группа второго порядка равна циклической группе второго порядка (), это соответствует дискретному преобразованию Фурье второго порядка.
В более общем смысле, учитывая функцию от n переменных, можно симметризовать, взяв сумму по всем перестановкам переменных, или антисимметризовать, взяв сумму по всем четным перестановкам и вычитая сумму по всем нечетным перестановкам (за исключением случая, когда n ≤ 1, единственная перестановка четная).
Здесь симметрировании симметричной функции умножается на - таким образом, если обратит, например, при работе над полем из характеристики или, то эти выступы урожайности при делении на.
С точки зрения теории представлений, они дают только подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому представлению, но поскольку есть и другие - см. Теорию представлений симметрической группы и симметрических многочленов.
Если задана функция от k переменных, можно получить симметричную функцию от n переменных, взяв сумму по k -элементным подмножествам переменных. В статистике это называется начальной загрузкой, а соответствующая статистика называется U-статистикой.