Войти
В философии, А сверхзадача является счетным последовательность операций, которые происходят последовательно в течение конечного промежутка времени. Сверхзадачи называются гиперзадачами, когда количество операций становится бесчисленно бесконечным. Гиперзадача, включающая по одной задаче для каждого порядкового номера, называется ультрозадачей. Термин «сверхзадача» был придуман философом Джеймсом Ф. Томсоном, который изобрел лампу Томсона. Термин «сверхзадача» происходит от Кларка и Рида в их статье с таким названием. Сверхзадача известна как философская конструкция и не имеет реального значения для решения бесконечных последовательных задач и применяется только в гипотетических ситуациях, которые не имеют реального суждения или решения относительно действительности событий, которые развернулись бы, если бы указанные гипотетические гипотезы были реальностью.
Происхождение интереса к сверхзадачам обычно приписывается Зенону Элейскому. Зенон утверждал, что движение невозможно. Он рассуждал следующим образом: предположим, что наш растущий «движитель», говорит Ахилл, хочет переместиться из точки A в точку B. Для этого он должен пройти половину расстояния от точки A до точки B. половину этого расстояния и так далее, и тому подобное. Сколько бы раз он ни выполнял одну из этих «переходных» задач, ему остается выполнить еще одну, прежде чем он достигнет точки Б. Таким образом, согласно Зенону, следует, что движение (путешествие на ненулевое расстояние за конечное время) есть сверхзадача. Зенон далее утверждает, что сверхзадачи невозможны (как можно завершить эту последовательность, если для каждого обхода предстоит еще одна?). Отсюда следует, что движение невозможно.
Аргумент Зенона принимает следующую форму:
Большинство последующих философов отвергают смелые выводы Зенона в пользу здравого смысла. Вместо этого они переворачивают его аргумент с ног на голову (предполагая, что он верен) и принимают его как доказательство от противоречия, когда возможность движения принимается как должное. Они принимают возможность движения и применяют modus tollens ( противоположность ) к аргументу Зенона, чтобы прийти к выводу, что либо движение не является сверхзадачей, либо не все сверхзадачи невозможны.
Сам Зенон также обсуждает понятие того, что он называет « Ахиллесом и черепахой». Предположим, что Ахиллес - самый быстрый бегун и движется со скоростью 1 м / с. Ахиллес преследует черепаху, животное, известное своей медлительностью, которое движется со скоростью 0,1 м / с. Однако черепаха стартует на 0,9 метра впереди. Кажется, здравый смысл подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху ровно через 1 секунду, но Зенон утверждает, что это не так. Вместо этого он предполагает, что Ахиллес неизбежно должен подойти к точке, откуда черепаха стартовала, но к тому времени, когда он это сделает, черепаха уже перейдет к другой точке. Это продолжается, и каждый раз, когда Ахиллес достигает отметки, на которой была черепаха, черепаха будет достигать новой точки, которую Ахиллесу придется догнать; в то время как он начинается с 0,9 метра, он становится дополнительным 0,09 метра, затем 0,009 метра и так далее, бесконечно. Хотя эти расстояния станут очень маленькими, они останутся конечными, а погоня Ахилла за черепахой станет бесконечной сверхзадачей. По поводу этого парадокса было сделано много комментариев; многие утверждают, что он находит лазейку в здравом смысле.
Джеймс Ф. Томсон считал, что движение - это не сверхзадача, и категорически отрицал, что сверхзадачи возможны. Доказательство, которое Томсон предложил в отношении последнего утверждения, включает в себя то, что, вероятно, стало самым известным примером сверхзадачи со времен Зенона. Лампа Томсона может быть включена или выключена. В момент времени t = 0 лампа выключена, в момент времени t = 1/2 она включена, в момент времени t = 3/4 (= 1/2 + 1/4) она выключена, t = 7/8 (= 1 / 2 + 1/4 + 1/8) горит и т. Д. Возникает естественный вопрос: при t = 1 лампа горит или гаснет? Кажется, что нет никакого непроизвольного способа решить этот вопрос. Томсон идет дальше и утверждает, что это противоречие. Он говорит, что лампа не может быть включена, потому что никогда не было точки, когда она была включена, где она не была бы немедленно выключена снова. И точно так же он утверждает, что он не может быть выключен, потому что никогда не было точки, когда он был выключен, где он не был немедленно включен снова. По рассуждениям Томсона лампа не горит и не гаснет, но по условию она должна быть либо включена, либо выключена - это противоречие. Таким образом, Томсон считает, что сверхзадачи невозможны.
Пол Бенасерраф считает, что сверхзадачи, по крайней мере, логически возможны, несмотря на очевидное противоречие Томсона. Бенасерраф согласен с Томсоном в том, что описанный им эксперимент не определяет состояние лампы при t = 1. Однако он не согласен с Томсоном, что он может вывести из этого противоречие, поскольку состояние лампы при t = 1 не обязательно. логически определяться предыдущими состояниями. Логический вывод не запрещает лампе включаться, выключаться или полностью исчезать, чтобы ее заменила тыква, запряженная лошадью. Существуют возможные миры, в которых лампа Томсона гаснет, и миры, в которых она гаснет, не говоря уже о бесчисленном множестве других, где странные и чудесные вещи происходят при t = 1. Кажущаяся произвольность возникает из-за того, что эксперимент Томсона не содержит достаточно информации, чтобы определить состояние лампы при t = 1, скорее, как в пьесе Шекспира ничего нельзя найти, чтобы определить, был ли Гамлет правшой или левшой. Так что насчет противоречия? Бенасерраф показал, что Томсон совершил ошибку. Когда он утверждал, что лампа не может быть включена, потому что она никогда не включалась без повторного выключения, это относилось только к моментам времени строго меньше 1. Это не относится к 1, потому что 1 не появляется в последовательности {0, 1/2, 3/4, 7/8,…}, тогда как эксперимент Томсона только определил состояние лампы только раз в этой последовательности.
Большая часть современной литературы исходит от потомков Бенасеррафа, тех, кто молчаливо допускает возможность сверхзадач. Философы, отвергающие их возможность, склонны отвергать их не на таких основаниях, как у Томсона, а потому, что у них есть сомнения по поводу самого понятия бесконечности. Конечно, есть исключения. Например, Маклафлин утверждает, что лампа Томсона непоследовательна, если ее анализировать с помощью внутренней теории множеств, варианта реального анализа.
Если сверхзадачи возможны, то истинность или ложность неизвестных утверждений теории чисел, таких как гипотеза Гольдбаха, или даже неразрешимые утверждения могут быть определены за конечный промежуток времени путем перебора набора всех натуральных чисел методом грубой силы. Однако это противоречило бы тезису Черча-Тьюринга. Некоторые утверждали, что это создает проблему для интуиционизма, поскольку интуиционист должен различать вещи, которые на самом деле не могут быть доказаны (потому что они слишком длинные или сложные; например, «Любопытный вывод» Булоса ), но, тем не менее, считаются «доказуемыми». и те, которые являются доказуемо бесконечной грубой силой в указанном выше смысле.
Некоторые утверждали, что лампа Томсона физически невозможна, поскольку в ней должны быть части, движущиеся со скоростью, превышающей скорость света (например, выключатель лампы). Адольф Грюнбаум предполагает, что лампа могла иметь полоску провода, который при поднятии нарушает электрическую цепь и выключает лампу; затем эту полосу можно было поднимать на меньшее расстояние каждый раз, когда лампа должна быть выключена, поддерживая постоянную скорость. Однако такая конструкция в конечном итоге потерпит неудачу, поскольку в конечном итоге расстояние между контактами будет настолько маленьким, что позволит электронам перепрыгнуть через зазор, предотвратив разрыв цепи вообще. Тем не менее, для того, чтобы человек или какое-либо устройство мог воспринимать состояние лампы или воздействовать на нее, необходимо выполнить некоторые измерения, например, свет от лампы должен достичь глаза или датчика. Любое такое измерение займет фиксированный промежуток времени, независимо от того, насколько он мал, и, следовательно, в какой-то момент измерение состояния будет невозможно. Поскольку состояние при t = 1 не может быть определено даже в принципе, не имеет смысла говорить о том, что лампа включена или выключена.
Предлагались и другие физически возможные сверхзадачи. В одном из предложений один человек (или объект) считает вверх от 1, занимая бесконечное количество времени, в то время как другой человек наблюдает за этим из системы отсчета, где это происходит в конечном промежутке времени. Для счетчика это не сверхзадача, а для наблюдателя - это так. (Теоретически это могло произойти из-за замедления времени, например, если наблюдатель падал в черную дыру, наблюдая за счетчиком, положение которого фиксировано относительно сингулярности.) Густаво Э. Ромеро в статье «Коллапс сверхзадач» утверждает, что любая попытка выполнить сверхзадачу приведет к образованию черной дыры, что сделает выполнение сверхзадачи физически невозможным.
Влияние сверхзадач на теоретическую информатику привело к появлению некоторых новых и интересных работ, например, Хэмкинса и Льюиса - «Машина Тьюринга бесконечного времени».
Предположим, есть банка, способная вместить бесконечно много шариков и бесконечную коллекцию шариков с обозначениями 1, 2, 3 и т. Д. В момент времени t = 0 шарики с 1 по 10 помещаются в сосуд, а шарик 1 вынимается. При t = 0,5 шарики с 11 по 20 помещаются в сосуд, а шарик 2 вынимается; при t = 0,75 шарики с 21 по 30 помещаются в банку, а шарик 3 вынимается; и, как правило, в момент времени t = 1 - 0,5 n шарики от 10 n + 1 до 10 n + 10 помещаются в сосуд, а шарик n + 1 вынимается. Сколько шариков находится в банке в момент времени t = 1?
Один аргумент утверждает, что в банке должно быть бесконечно много шариков, потому что на каждом шаге перед t = 1 количество шариков увеличивается по сравнению с предыдущим шагом и делает это неограниченно. Однако второй аргумент показывает, что банка пуста. Рассмотрим следующий аргумент: если банка непустая, значит, в ней должен быть шарик. Допустим, этот мрамор помечен номером n. Но в момент времени т = 1 - 0,5 л - 1, тем н е мрамор был вынут, поэтому мрамор п не может быть в банке. Это противоречие, поэтому банка должна быть пустой. Парадокс Росса – Литтлвуда состоит в том, что здесь мы имеем два, казалось бы, совершенно хороших аргумента с совершенно противоположными выводами.
Дальнейшие осложнения вносит следующий вариант. Предположим, что мы выполняем тот же процесс, что и выше, но вместо того, чтобы вынимать шарик 1 при t = 0, вынимают шарик 2. И при t = 0,5 вынимают шарик 3, при t = 0,75 шарик 4 и т. Д., можно использовать ту же логику, описанную выше, чтобы показать, что хотя при t = 1 шарик 1 все еще находится в сосуде, никакие другие шарики не могут быть оставлены в сосуде. Точно так же можно построить сценарии, где в итоге остается 2 шарика, или 17 или, конечно, бесконечно много. Но опять же это парадоксально: учитывая, что во всех этих вариантах на каждом этапе пути добавляется или удаляется одинаковое количество шариков, как может отличаться конечный результат?
Утверждается, что конечный результат действительно зависит от того, какие шарики вынимаются в каждый момент. Однако одна непосредственная проблема с этой точкой зрения состоит в том, что можно думать о мысленном эксперименте как об эксперименте, в котором на самом деле ни один из шариков не помечен, и, таким образом, все вышеперечисленные варианты представляют собой просто разные способы описания одного и того же процесса; кажется неразумным утверждать, что конечный результат одного реального процесса зависит от того, как мы описываем происходящее.
Более того, Аллис и Кутсьер предлагают следующий вариант этого мысленного эксперимента: при t = 0 шарики с 1 по 9 помещаются в банку, но вместо того, чтобы вынимать шарик, они пишут 0 после 1 на этикетке первого шарика. так что теперь он помечен как «10». При t = 0,5 шарики с 11 по 19 помещаются в сосуд, и вместо того, чтобы вынимать шарик 2, на нем пишется 0, обозначающий 20. Процесс повторяется до бесконечности. Теперь обратите внимание, что конечный результат на каждом этапе этого процесса такой же, как и в исходном эксперименте, и действительно парадокс остается: поскольку на каждом этапе на этом пути добавлялось больше шариков, должно быть бесконечно оставшихся шариков. в конце, но в то же время, поскольку каждый шарик с номером n был извлечен при t = 1 - 0,5 n - 1, в конце не может остаться никаких шариков. Однако в этом эксперименте никакие шарики не извлекаются, и поэтому любые разговоры о конечном результате, «зависящем» от того, какие шарики извлекаются по пути, невозможны.
Более простой вариант выглядит следующим образом: при t = 0 в банке находится один шарик с начерченным на нем номером 0. При t = 0,5 число 0 на шарике заменяется числом 1, при t = 0,75 число меняется на 2 и т.д. 1, в банке должен быть ровно этот шарик. Однако, поскольку мы всегда заменяли число на этом шарике другим числом, на нем должно быть какое-то число n, а это невозможно, потому что мы точно знаем, когда это число было заменено, и больше никогда не повторяемся позже. Другими словами, мы также можем предположить, что в конце этого процесса не может остаться ни одного шарика, что является довольно парадоксальным.
Конечно, было бы разумно прислушаться к словам Бенасеррафа о том, что состояния сосудов до t = 1 логически не определяют состояние при t = 1. Таким образом, ни рассуждения Росс, ни Аллиса и Кетсера в отношении состояния сосуда при t = 1 следует только логическим путем. Следовательно, необходимо ввести некоторую дополнительную предпосылку, чтобы что-либо сказать о состоянии сосуда в момент t = 1. Аллис и Кетсиер полагают, что такая дополнительная посылка может быть обеспечена физическим законом о том, что шарики имеют непрерывные пространственно-временные пути, и следовательно, из того факта, что для каждого n шарик n находится вне сосуда при t lt;1, следует, что он все еще должен находиться вне сосуда при t = 1 по непрерывности. Таким образом, противоречие и парадокс остаются.
Одно очевидное решение всех этих загадок и парадоксов - сказать, что сверхзадачи невозможны. Если сверхзадачи невозможны, то само предположение о том, что все эти сценарии имеют какой-то «конечный результат», является ошибочным, что не позволяет провести все дальнейшие рассуждения (ведущие к противоречиям).
Большой интерес вызвал «Парадокс богов» Дж. А. Бенардете :
Мужчина проходит милю от точки α. Но существует бесконечное количество богов, каждый из которых, не зная других, намеревается помешать ему. Один из них поднимет барьер, чтобы остановить его дальнейшее продвижение, если он достигнет точки в полмили, второй, если он достигнет точки в четверть мили, третий, если он пройдет одну восьмую мили, и так далее до бесконечности. Таким образом, он не может даже начать, потому что, как бы короткое расстояние он ни проехал, его уже остановит преграда. Но в этом случае преграда не поднимется, так что ничто не остановит его. Он был вынужден оставаться на месте из-за несбывшихся намерений богов.
- М. Кларк, Парадоксы от А до ЯВдохновленный парадоксом Дж. А. Бенардете о бесконечной серии убийц, Дэвид Чалмерс описывает парадокс следующим образом:
Есть счетное множество мрачных жнецов, по одному на каждое положительное целое число. Мрачный жнец 1 готов убить вас косой в 13:00, если и только если вы все еще живы (в противном случае его коса остается неподвижной), на это уходит 30 минут. Мрачный жнец 2 готов убить вас косой в 12:30, если и только если вы еще живы, потратив на это 15 минут. Мрачный жнец 3 готов убить вас косой в 12:15 и так далее. Вы все еще живы незадолго до 12 часов дня, вы можете умереть только от движения косы мрачного жнеца, а после смерти вы остаетесь мертвым. На первый взгляд, эта ситуация кажется возможной - каждый жнец кажется возможным индивидуально и внутренне, и кажется разумным объединить отдельных индивидуумов с различными внутренними свойствами в одну ситуацию. Но небольшое размышление показывает, что описанная ситуация противоречива. Я не могу дожить до любого момента после 12 часов дня (мрачный жнец первым достанет меня), но меня нельзя убить (чтобы мрачный жнец n убил меня, я, должно быть, выжил мрачный жнец n +1, что невозможно).
Оно приобрело значение в философии благодаря использованию в аргументах в пользу конечного прошлого, тем самым имея отношение к космологическому аргументу калам.
Эта сверхзадача, предложенная JP Laraudogoitia, является примером индетерминизма в механике Ньютона. Суперзадача состоит из бесконечного набора неподвижных точечных масс. Все точечные массы имеют массу m и размещаются вдоль линии AB длиной в метр в точках B, AB / 2, AB / 4, AB / 8 и так далее. Первая частица B ускоряется до скорости одного метра в секунду в направлении A. Согласно законам механики Ньютона, когда первая частица сталкивается со второй, она останавливается, а вторая частица наследует скорость 1 м / с. Этот процесс будет продолжаться как бесконечное количество столкновений, и через 1 секунду все столкновения закончатся, поскольку все частицы движутся со скоростью 1 метр в секунду. Однако никакая частица не выйдет из A, поскольку в последовательности нет последней частицы. Отсюда следует, что все частицы теперь находятся в состоянии покоя, что противоречит закону сохранения энергии. Теперь законы механики Ньютона инвариантны относительно обращения времени; то есть, если мы изменим направление времени вспять, все законы останутся прежними. Если время в этой сверхзадаче обращено вспять, мы получим систему неподвижных точечных масс вдоль A до AB / 2, которые случайным образом спонтанно начнут сталкиваться друг с другом, в результате чего частица удалится от B со скоростью 1 м / с. Альпер и Бриджер подвергли сомнению обоснование этой сверхзадачи, ссылаясь на различие между актуальной и потенциальной бесконечностью.
Предложенная Э.Б. Дэвисом, это машина, которая может за полчаса создать точную копию самого себя, вдвое меньшего размера и способную вдвое увеличивать скорость репликации. Эта реплика, в свою очередь, создаст еще более быструю версию себя с теми же характеристиками, в результате чего суперзадача завершится через час. Если, кроме того, машины создают канал связи между родительской и дочерней машиной, который обеспечивает последовательно более высокую пропускную способность, и машины способны выполнять простую арифметику, машины могут использоваться для проверки неизвестных гипотез методом грубой силы. Однако Дэвис также указывает, что из-за фундаментальных свойств реальной Вселенной, таких как квантовая механика, тепловой шум и теория информации, его машина на самом деле не может быть построена.
