Разделение основных идеалов в расширениях Галуа

В математике взаимодействие между группой Галуа G расширения Галуа L числового поля K, и способ, которым простые идеалы P кольца целых чисел OKразлагаются на множители как произведения простых идеалов O L, составляет одну из самых богатых частей теории алгебраических чисел. расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписывают Дэвиду Гильберту, называя его теорией Гильберта . Для разветвленных покрытий римановых поверхностей существует геометрический аналог, который проще в том, что нужно рассматривать только один вид подгруппы G, а не два. Это, безусловно, было знакомо до Гильберта.

• 1 Определения
  • 1.1 Ситуация Галуа
• 2 Пример - гауссовские целые числа
  • 2.1 Простое p = 2
  • 2.2 Простые числа p ≡ 1 mod 4
  • 2.3 Простые числа p ≡ 3 mod 4
  • 2.4 Резюме
• 3 Вычисление факторизации
  • 3.1 Пример
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Пусть L / K будет конечным расширение числовых полей, и пусть O K и O L будет соответствующим кольцом целых чисел для K и L, соответственно, которые определены как целое замыкание целых чисел Z в рассматриваемом поле.

$ОК\; \hookrightarrow \; OL\; \downarrow \; \downarrow \; K\; \hookrightarrow \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; O\_\; \{K\}\; \backslash \; hookrightarrow\; O\_\; \{L\}\; \backslash \backslash \backslash \; downarrow\; \backslash \; downarrow\; \backslash \backslash \; K\; \backslash \; hookrightarrow\; L\; \backslash \; end\; \{\; array\}\}\}$

Наконец, пусть p ненулевой простой идеал в O K или, что то же самое, максимальный идеал, так что остаток O K / p является полем.

Из базовой теории одномерных мерных колец следует существование единственного разложения

$p\; OL\; =\; \prod \; j\; =\; 1\; g\; P\; jej\; \{\; \backslash \; displaystyle\; pO\_\; \{L\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{g\}\; P\_\; \{j\}\; ^\; \{e\_\; \{j\}\}\}$

идеального pO L, сгенерированного за O L на p в произведение различных максимальных идеалов P j с кратностями e j.

Поле F = O K / p естественным образом вкладывается в F j = O L/Pjдля каждого j, степень f j = [O L/Pj: O K / p] этого расширения поля остатка называется степенью инерции P j над p.

Кратность e j называется индексом разветвления P j над p. Если для некоторого j оно больше 1, расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L, или что оно разветвлено в L). В противном случае L / K называется неразветвленным на стр. Если это так, то по китайской теореме об остатках частное O L / pO L является произведением полей F j. Расширение L / K разветвлено ровно теми простыми числами, которые делят относительный дискриминант , следовательно, расширение неразветвлено во всех, кроме конечного числа простых идеалов.

Мультипликативность идеальной нормы подразумевает

$[L:\; K]\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; g\; e\; j\; f\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; [L:\; K]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{g\}\; e\_\; \{j\}\; f\_\; \{j\}.\}$

Если f j = e j = 1 для каждого j (и, следовательно, g = [L: K]), мы говорим, что p полностью разделяет в L. Если g = 1 и f 1 = 1 ( и поэтому e 1 = [L: K]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L. Наконец, если g = 1 и e 1 = 1 (и поэтому f 1 = [L: K]), мы говорим, что p инертен в L.

Ситуация Галуа

В далее предполагается, что расширение L / K является расширением Галуа. Тогда группа Галуа $G\; =\; Gal\; \; (L\; /\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; K)\}$действует транзитивно на P к. То есть простые идеальные множители p в L образуют единую орбиту при автоморфизмах L над K. Из этого и теоремы единственной факторизации следует следует, что f = f j и e = e j не зависят от j; то, что, конечно, не должно быть в случае расширений, не относящихся к Галуа. Затем основные отношения читаются следующим образом:

$p\; OL\; =\; (\prod \; j\; =\; 1\; g\; P\; j)\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; pO\_\; \{L\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{g\}\; P\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{e\}\}$.

и

$[L:\; K]\; =\; efg.\; \{\backslash \; displaystyle\; [L:\; K]\; =\; efg.\}$

Приведенное выше соотношение показывает, что [L: K] / ef равно количеству g простых множителей p в O L. По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | G | / | D Pj| для каждого j, где D Pj, группа разложения для P j, является подгруппой элементов G, отправляющих данный P j себе. Поскольку степень L / K и порядок G равны по основной теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D Pjравен ef для любого j.

Эта группа разложения содержит подгруппу I Pj, называемую группой инерции группы P j, состоящую из автоморфизмов L / K, которые индуцируют тождественный автоморфизм на F j. Другими словами, I Pj- это ядро ​​преобразования преобразования $DP\; j\; \to \; Gal\; \; (F\; j\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{P\_\; \{j\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (F\_\; \{j\}\; /\; F)\}$. Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что $Gal\; \; (F\; j\; /\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (F\_\; \{j\}\; /\; F)\}$изоморфен до D Pj/IPj, а порядок группы инерции I Pjравен e.

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент D Pj/IPjдля данного j, который соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа расширения конечного поля F к / Ф. В неразветвленном случае порядок D Pjравен f, а I Pjтривиален. Также элемент Фробениуса в этом случае является элементом D Pj(и, следовательно, также элементом G).

В геометрическом аналоге для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем понятия группы разложения и группы инерции совпадают.. Здесь, учитывая разветвленное покрытие Галуа, все точки, кроме конечного числа, имеют одинаковое количество прообразов.

. Расщепление простых чисел в расширениях, не являющихся Галуа, может быть изучено с помощью изначально поля расщепления, т.е. расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» полем степени 6, содержащим их.

В этом разделе описывается разбиение простых идеалов в расширении поля Q (i) / Q . То есть мы берем K = Q и L = Q (i), поэтому O K просто Z, а O L= Z[i] - кольцо целых гауссовских чисел. Хотя этот случай далеко не репрезентативный - в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию, а не так много квадратичных полей с уникальной факторизацией - это демонстрирует многие особенности теории.

Записывая G для группы Галуа Q (i) / Q, и σ для автоморфизма комплексного сопряжения в G, необходимо рассмотреть три случая.

Простое число p = 2

Простое число 2 в Z разветвляется в Z [i]:

$(2)\; =\; (1\; +\; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (2)\; =\; (1\; +\; i)\; ^\; \{2\}\}$

Следовательно, индекс ветвления здесь e = 2. Поле вычетов равно

$OL\; /\; (1\; +\; i)\; OL\; \{\; \backslash \; displaystyle\; O\_\; \{L\}\; /\; (1\; +\; i)\; O\_\; \{L\}\}$

, которое является конечным полем с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всей группе G, поскольку существует только одно простое число из Z [i] выше 2. Группа инерции также является всей группой G, поскольку

$a\; +\; bi\; \equiv \; a\; -\; bi\; mod\; 1\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; bi\; \backslash \; Equiv\; a-bi\; \{\backslash \; bmod\; \{1\}\}\; +\; i\}$

для любых целых чисел a и b, как $a\; +\; bi\; =\; 2\; bi\; +\; a\; -\; bi\; Знак\; равно\; (1\; +\; я)\; \cdot \; (1\; -\; я)\; bi\; +\; a\; -\; bi\; \equiv \; a\; -\; bi\; mod\; 1\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; bi\; =\; 2bi\; +\; a-bi\; =\; (1\; +\; i)\; \backslash \; cdot\; (1-i)\; bi\; +\; a-bi\; \backslash \; Equiv\; a-bi\; \{\backslash \; bmod\; \{1\}\}\; +\; i\}$.

Фактически, 2 - единственное простое число, которое разветвляется в Z [i], поскольку каждое простое число, которое разветвляется должен делить дискриминант на Z [i], который равен −4.

Простые числа p 1 по модулю 4

Любое простое число p ≡ 1 по модулю 4 разбивается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов. Например:

$13\; =\; (2\; +\; 3\; i)\; (2-3\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; 13\; =\; (2\; +\; 3i)\; (2-3i)\}$

Группы разложения в этом случае являются тривиальной группой {1}; действительно, автоморфизм σ меняет местами два простых числа (2 + 3i) и (2 - 3i), поэтому он не может быть в группе разложения ни одного простого числа. Группа инерции, будучи подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Есть два поля остатка, по одному для каждого простого числа,

$OL\; /\; (2\; \pm \; 3\; i)\; OL,\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{L\}\; /\; (2\; \backslash \; pm\; 3i)\; O\_\; \{L\}\; \backslash ,\}$

, которые оба изоморфны конечному полю с 13 элементами. Элемент Фробениуса - это тривиальный автоморфизм; это означает, что

$(a\; +\; bi)\; 13\; \equiv \; a\; +\; bi\; mod\; 2\; \pm \; 3\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; bi)\; ^\; \{13\}\; \backslash \; Equiv\; a\; +\; bi\; \{\backslash \; bmod\; \{2\}\}\; \backslash \; pm\; 3i\}$

для любых целых чисел a и b.

Простые числа p 3 по модулю 4

Любое простое число p ≡ 3 по модулю 4 остается инертным в Z [i]; то есть не расщепляется. Например, (7) остается простым в Z [i]. В этой ситуации группа разложения - это вся группа G, опять же потому, что есть только один простой фактор. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, поскольку теперь σ не действует тривиально на поле вычетов

$OL\; /\; (7)\; OL,\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{L\}\; /\; (7)\; O\_\; \{L\}\; \backslash ,\; \}$

- конечное поле из 7 = 49 элементов. Например, разница между 1 + i и σ (1 + i) = 1 - i равна 2i, что, конечно, не делится на 7. Следовательно, группа инерции - это тривиальная группа {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z/7Zимеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус - не кто иной, как σ; это означает, что

$(a\; +\; bi)\; 7\; \equiv \; a\; -\; bi\; mod\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; bi)\; ^\; \{7\}\; \backslash \; Equiv\; a-bi\; \{\backslash \; bmod\; \{7\}\}\}$

для любых целых чисел a и б.

Сводка

Предположим что мы хотим определить факторизацию простого идеала P кольца O K на простые числа O L. Следующая процедура (Neukirch, p. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ в O L так, чтобы L генерировалось над K посредством θ (такое θ гарантированно существует по теореме о примитивных элементах ), а затем исследуем минимальный многочлен H (X) от θ над K; это монический многочлен с коэффициентами в O K. Сокращая коэффициенты H (X) по модулю P, мы получаем монический многочлен h (X) с коэффициентами из F, (конечное) поле вычетов O K / P. Предположим, что h (X) разлагается на множители в кольце многочленов F [X] как

$h\; (X)\; =\; h\; 1\; (X)\; e\; 1\; \cdots \; hn\; (X)\; en,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (X)\; =\; h\_\; \{1\}\; (X)\; ^\; \{e\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; h\_\; \{n\}\; (X)\; ^\; \{e\_\; \{n\}\},\}$

где h j - различные монические неприводимые многочлены из F [X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:

$POL\; =\; Q\; 1\; e\; 1\; \cdots \; Q\; nen,\; \{\backslash \; displaystyle\; PO\_\; \{\; L\}\; =\; Q\_\; \{1\}\; ^\; \{e\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; Q\_\; \{n\}\; ^\; \{e\_\; \{n\}\},\}$

где Q j - различные простые идеалы O L. Кроме того, степень инерции каждого Q j равна степени соответствующего полинома h j, и существует явная формула для Q j:

$Q\; j\; =\; POL\; +\; hj\; (\theta )\; OL,\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{j\}\; =\; PO\_\; \{L\}\; +\; h\_\; \{j\}\; (\backslash \; theta)\; O\_\; \{L\},\}$

где h j обозначает здесь подъем многочлен h j к K [X].

В случае Галуа все степени инерции равны, а индексы ветвления e 1 =... = e n равны.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не обязательно выполняется, являются числами, не взаимно простыми с проводником кольца O K [θ]. Кондуктором считается идеал

$\{y\; \in \; O\; L:\; y\; O\; L\; \subseteq \; O\; K\; [\theta ]\};\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{y\; \backslash \; in\; O\_\; \{L\}:\; yO\_\; \{L\}\; \backslash \; substeq\; O\_\; \{K\}\; [\backslash \; theta]\; \backslash \};\}$

он измеряет, насколько далеко порядок OK[θ] от быть целым кольцом целых чисел (максимальный порядок) O L.

Существенное предостережение состоит в том, что существуют примеры L / K и P, такие, что не существует доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., например). Следовательно, приведенный выше алгоритм не может быть использован для разложения такого P, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанный в.

Пример

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел.. Возьмем θ как мнимую единицу i с минимальным многочленом H (X) = X + 1. Поскольку Z[$i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$] - это все кольцо целых чисел Q($i.\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$), проводник является единичным идеалом, поэтому исключительных простых чисел нет.

Для P = (2) нам нужно работать в поле Z / (2) Z, что равносильно факторизации многочлена X + 1 по модулю 2 :

$Х\; 2\; +\; 1\; =\; (Х\; +\; 1)\; 2\; (мод\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; (X\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; pmod\; \{2\}\}.\}$

Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается как

$Q\; =\; (2)\; Z\; [i]\; +\; (i\; +\; 1)\; Z\; [i]\; =\; (1\; +\; i)\; Z\; [i].\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; (2)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; +\; (i\; +\; 1)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; =\; (1\; +\; i)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i].\}$

следующий случай - P = (p) для простого p 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Многочлен X + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он задается формулой

$Q\; =\; (7)\; Z\; [i]\; +\; (i\; 2\; +\; 1)\; Z\; [i]\; =\; 7\; Z\; [i].\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; (7)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; +\; (i\; ^\; \{2\}\; +1)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; =\; 7\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i].\}$

последний случай - P = (p) для простого p ≡ 1 mod 4; снова возьмем P = (13). На этот раз у нас есть факторизация

$X\; 2\; +\; 1\; =\; (X\; +\; 5)\; (X\; -\; 5)\; (mod\; 13).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; (X\; +\; 5)\; (X-5)\; \{\backslash \; pmod\; \{13\}\}.\}$

Следовательно, есть два простых множителя, оба со степенью инерции и индексом ветвления 1. Они задаются формулой

$Q\; 1\; =\; (13)\; Z\; [i]\; +\; (i\; +\; 5)\; Z\; [i]\; =\; \cdots \; =\; (2\; +\; 3\; i)\; Z\; [i]\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\; =\; (13)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; +\; (i\; +\; 5)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\; =\; \backslash \; cdots\; =\; (2\; +\; 3i)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [i]\}$

и

$Q\; 2\; =\; (13)\; Z\; [i]\; +\; (i\; -\; 5)\; Z\; [i]\; =\; \cdots \; =\; (2\; -\; 3\; i)\; Z\; [i].\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\_\; \{2\}\; =\; (13)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [я]\; +\; (я-5)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [я]\; =\; \backslash \; cdots\; =\; (2-3i)\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [я].\}$

• «Разделение и разветвление в числовых полях и расширениях Галуа». PlanetMath.
• Уильям Стейн, Краткое введение в классическую и адельную теорию алгебраических чисел
• Neukirch, Jürgen (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.