Координаты наклона

Система координат перекоса - это криволинейная система координат, где координатные поверхности не ортогональны, в отличие от ортогональных координат.

Наклонные координаты, как правило, сложнее работать по сравнению с ортогональными координатами, поскольку метрический тензор будет иметь ненулевые недиагональные компоненты, что предотвратит многие упрощения в формулах для тензорной алгебры и тензорного исчисления. Ненулевые недиагональные компоненты метрического тензора являются прямым результатом неортогональности базисных векторов координат, поскольку по определению:

$gij\; =\; ei\; \cdot \; ej\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\}$

где $gij\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\}$- метрический тензор, а $ei\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$(ковариантные) базисные векторы.

Эти системы координат могут быть полезны, если геометрия задачи хорошо вписывается в искаженную систему. Например, решить уравнение Лапласа в параллелограмме будет проще всего, если оно будет выполнено с соответствующим перекосом координат.

• 1 Декартовы координаты с одной наклонной осью
  • 1.1 Алгебра и полезные величины
  • 1.2 Исчисление
• 2 Ссылки

Простейшим трехмерным случаем наклонной системы координат является декартова система, где одна из осей (скажем, ось x) была изогнута на некоторый угол $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, остающийся ортогональным одной из двух оставшихся осей. В этом примере ось x декартовой координаты согнута к оси z на $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, оставаясь ортогональной оси y.

Алгебра и полезные величины

Пусть $e\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\}$, $e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\; 2\}\}$и $e\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\}$соответственно быть единичными векторами вдоль $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$оси. Они представляют собой ковариантный базис; вычисление их скалярных произведений дает следующие компоненты метрического тензора :

$g\; 11\; =\; g\; 22\; =\; g\; 33\; =\; 1;\; г\; 12\; =\; г\; 23\; =\; 0;\; g\; 13\; знак\; равно\; соз\; \; (\pi \; 2\; -\; \varphi )\; =\; грех\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{11\}\; =\; g\_\; \{22\}\; =\; g\_\; \{33\}\; =\; 1\; \backslash \; quad;\; \backslash \; quad\; g\_\; \{12\}\; =\; g\_\; \{23\}\; =\; 0\; \backslash \; quad;\; \backslash \; quad\; g\_\; \{13\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\}$

$g\; =\; e\; 1\; \cdot \; (е\; 2\; \times \; е\; 3)\; знак\; равно\; соз\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{3\})\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}$

- количества, которые будут полезны позже.

Контравариантный базис задается следующим образом:

$e\; 1\; =\; e\; 2\; \times \; e\; 3\; g\; =\; e\; 2\; \times \; e\; 3\; cos\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}\}\}$

$e\; 2\; =\; e\; 3\; \times \; e\; 1\; g\; =\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}$

$e\; 3\; =\; e\; 1\; \times \; e\; 2\; г\; знак\; равно\; е\; 1\; \times \; е\; 2\; соз\; \; (\varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}\}\}$

Контравариантный базис не очень удобен в использовании, но он появляется в определениях, поэтому его следует учитывать. Мы предпочтем записывать количества относительно ковариантного базиса.

Поскольку все базисные векторы являются постоянными, сложение и вычитание векторов будут просто привычными покомпонентными сложениями и вычитаниями. Теперь пусть

$a\; =\; \sum \; iaiei\; и\; b\; =\; \sum \; ibiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\; и\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; b\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$

где суммы означают суммирование по всем значениям индекса (в данном случае, i = 1, 2, 3). Компоненты контравариантной и ковариантной этих векторов могут быть связаны соотношением

$ai\; =\; \sum \; jajgij\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{j\}\; g\; ^\; \{ij\}\}$

так, что явно

$a\; 1\; =\; a\; 1\; -\; sin\; \; (\varphi )\; a\; 3\; cos\; 2\; \; (\varphi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; грех\; (\backslash \; phi)\; a\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; phi)\}\},\}$

$a\; 2\; =\; a\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; =\; a\_\; \{2\},\}$

$a\; 3\; =\; -\; sin\; \; (\varphi )\; a\; 1\; +\; a\; 3\; cos\; 2\; \; (\varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; phi)\}\}.\}$

скалярное произведение в терминах контравариантных компонентов будет тогда

$a\; \cdot \; b\; =\; \sum \; iaibi\; =\; a\; 1\; b\; 1\; +\; a\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 3\; b\; 3\; +\; sin\; \; (\varphi )\; (a\; 1\; b\; 3\; +\; a\; 3\; b\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\; ^\; \{i\}\; b\_\; \{i\}\; =\; a\; ^\; \{1\}\; b\; ^\; \{1\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; (a\; ^\; \{1\}\; b\; ^\; \{3\}\; +\; a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{1\})\}$

и в терминах ковариантных компонент

$a\; \cdot \; b\; =\; cos\; 2\; \; (\varphi )\; [a\; 1\; b\; 1\; +\; a\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 3\; b\; 3\; -\; sin\; \; (\varphi )\; (a\; 1\; b\; 3\; +\; a\; 3\; б\; 1)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; phi)\; [a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{3\}\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; (a\_\; \{1\}\; b\_\; \{3\}\; +\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{1\})].\}$

Исчисление

По определению, градиент скалярной функции f равно

$\nabla \; f\; =\; \sum \; iei\; \partial \; f\; \partial \; qi\; =\; \partial \; f\; \partial \; xe\; 1\; +\; \partial \; f\; \partial \; ye\; 2\; +\; \partial \; f\; \partial \; ze\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{3\; \}\}$

где $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$- это индексированные координаты x, y, z. Распознавая это как вектор, записанный в терминах контравариантного базиса, его можно переписать:

$\nabla \; f\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; -\; sin\; \; (\varphi )\; \partial \; f\; \partial \; z\; cos\; \; (\varphi )\; 2\; e\; 1\; +\; \partial \; f\; \partial \; ye\; 2\; +\; -\; sin\; \; (\varphi )\; \partial \; f\; \partial \; x\; +\; \partial \; f\; \partial \; z\; cos\; \; (\varphi )\; 2\; e\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\}\; \{\backslash \; соз\; (\backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}.\}$

расхождение вектора $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$равно

$\nabla \; \cdot \; a\; =\; 1\; g\; \sum \; i\; \partial \; \partial \; qi\; (gai)\; =\; \partial \; a\; 1\; \partial \; x\; +\; \partial \; a\; 2\; \partial \; y\; +\; \partial \; a\; 3\; \partial \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\; a\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}.\}$

и тензора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$

$\nabla \; \cdot \; A\; =\; 1\; g\; i,\; j\; \partial \; \partial \; qi\; (gaijej)\; =\; \sum \; i,\; jej\; \partial \; aij\; \partial \; qi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\; a\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}.\}$

Лапласиан f равен

$\nabla \; 2\; f\; =\; \nabla \; \nabla \; \nabla \; f\; =\; 1\; cos\; \; (\varphi )\; 2\; (\partial \; 2\; е\; \partial \; Икс\; 2\; +\; \partial \; 2\; е\; \partial \; Z\; 2-2\; грех\; \; (\varphi )\; \partial \; 2\; е\; \partial \; x\; \partial \; Z)\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; Y\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 2\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и, поскольку ковариантный базис нормальный и постоянный, векторный лапласиан совпадает с покомпонентным лапласианом вектора, записанного в терминах ковариантного базиса.

Хотя и скалярное произведение, и градиент несколько беспорядочно, поскольку в них есть дополнительные члены (по сравнению с декартовой системой), оператор переноса, который объединяет скалярное произведение с градиентом, оказывается очень простым. :

$(a\; \cdot \; \nabla )\; =\; (\sum \; iaiei)\; \cdot \; (\sum \; я\; \partial \; \partial \; qiei)\; =\; (\sum \; iai\; \partial \; \partial \; qi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\; ^\; \{i\}\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

который может применяться к как скалярные, так и векторные функции, покомпонентно, если они выражены в ковариантном базисе.

Наконец, curl вектора равен

$\nabla \; \times \; a\; =\; \sum \; i,\; j,\; kek\; ϵ\; ijk\; \partial \; aj\; \partial \; qi\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; a\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j,\; k\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{ijk\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; \}$

$1\; cos\; \; (\varphi )\; ((sin\; \; (\varphi )\; \partial \; a\; 1\; \partial \; y\; +\; \partial \; a\; 3\; \partial \; y\; -\; \partial \; a\; 2\; \partial \; z)\; e\; 1\; +\; (\partial \; a\; 1\; \partial \; z\; +\; sin\; \; (\varphi )\; (\partial \; a\; 3\; \partial \; z\; -\; \partial \; a\; 1\; \partial \; x)\; -\; \partial \; a\; 3\; \partial \; x)\; e\; 2\; +\; (\partial \; a\; 2\; \partial \; x\; -\; \partial \; a\; 1\; \partial \; y\; -\; sin\; \; (\varphi )\; \partial \; a\; 3\; \partial \; y)\; e\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\})\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right).\}$