Войти
A псевдо- однородный многогранник - это многогранник, имеющий правильных многоугольников в качестве граней и имеет одинаковую конфигурацию вершин во всех вершинах, но не является транзитивным по вершинам : неверно, что ни для каких две вершины, существует симметрия многогранника, отображающая первый изометрически на второй. Таким образом, хотя все вершины псевдоднородного многогранника кажутся одинаковыми, он не является изогональным. Их называют псевдооднородными многогранниками из-за их сходства с некоторыми истинными однородными многогранниками.
. Известны два псевдооднородных многогранника: псевдоромбокубооктаэдр и псевдо-большой ромбокубооктаэдр. Неизвестно, есть ли другие; Бранко Грюнбаум предположил, что их нет, но подумал, что доказательство будет «вероятно, довольно сложным». Оба они обладают симметрией D4d, такой же симметрией, как квадратная антипризма . Оба они могут быть построены из однородного многогранника путем скручивания одной куполообразной -образной крышки.
Псевдоромбокубооктаэдр - единственный выпуклый псевдооднородный многогранник. Это также твердое тело Джонсона (J37) и может также называться удлиненной квадратной гиробикуполой. Его двойник - это псевдодельтовидный икоситетраэдр. Как следует из названия, его можно построить, удлинив квадратную гиробикуполу (J29) и вставив восьмиугольную призму между двумя ее половинами. Полученное тело является локально вершинно-правильным - расположение четырех граней, инцидентных каждой вершине, одинаково для всех вершин; это уникальное явление среди твердых тел Джонсона. Однако это не вершинно-транзитивное, и, следовательно, не одно из архимедовых тел, так как есть пары вершин, такие, что нет изометрии тела, которое отображает одно на Другой. По сути, эти два типа вершин можно различить по их «соседям соседей». Другой способ убедиться, что многогранник не является вершинно-правильным, - это заметить, что вокруг его экватора есть ровно один пояс из восьми квадратов, который отличает вершины пояса от вершин с обеих сторон.
 . Ромбокубооктаэдр |  . Разнесенные сечения |  . Псевдоромбокубооктаэдр |
Твердое тело также можно увидеть в результате скручивания одного из квадратных куполов (J4) на ромбокубооктаэдре (одно из архимедовых тел ; он же удлиненный квадратный ортобикупола) на 45 градусов. Его сходство с ромбокубооктаэдром дает ему альтернативное название псевдоромбокубооктаэдр . Иногда его называют «четырнадцатым архимедовым телом».
С гранями, окрашенными симметрией D 4d, он может выглядеть так:
| псевдоромбокубооктаэдр | Псевдодельтоидальный икоситетраэдр. Двойной многогранник | |
|---|---|---|
 . net |  |  |
Вокруг его экватора есть 8 (зеленых) квадратов, 4 (красных) треугольника и 4 (желтых) квадрата сверху и снизу, а также по одному (синему) квадрату на каждом полюсе.
Построение однородных и псевдоромбокубооктаэдров можно увидеть в следующих увеличениях восьмиугольной призмы:
 . Восьмиугольная призма (окрашенная с симметрией D 8h)... |  .... с одним из восьмиугольников, дополненным квадратным куполом. |  . Есть два варианта ориентации другого перекрещенного квадратного купола. Один совмещает соответствующие грани (треугольники с треугольниками, квадраты с квадратами) и создает ромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет симметрию D 4h, хотя ромбокубооктаэдр имеет полную октаэдрическую симметрию. |  . Другой вариант выравнивает несоответствующие грани (треугольники с квадратами) и создает псевдоромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет симметрию D 4d. |
Однородный невыпуклый большой ромбокубооктаэдр можно рассматривать как октаграмму с октаграммами, вырезанными со скрещенными квадратными куполами, аналогично тому, как ромбокубооктаэдр можно рассматривать как восьмиугольную призму с восьмиугольниками, дополненными квадратными куполами. Вращение одного из куполов в этой конструкции приводит к псевдо-большому ромбокубооктаэдру.
 . Скрещенному квадратному куполу |  . Невыпуклому большому ромбокубооктаэдру |  . Псевдо-большому ромбокубооктаэдру |
На рисунках ниже показаны раскопки октаграммы с перекрещенными квадратными куполами, идущими шаг за шагом. Перекрещенные квадратные купола всегда красного цвета, в то время как квадратные стороны восьмиугольной призмы - другого цвета. Все изображения ориентированы примерно одинаково для наглядности.
 . Октаграммная призма (окрашенная симметрией D 8h)... |  .... с одной из октаграмм (здесь верхняя) выкопана с перекрещенным квадратным куполом. Это может быть названо ретро-удлиненным скрещенным квадратным куполом или увеличенной октаграммной призмой, и оно изоморфно удлиненному квадратному куполу Джонсона . |  .. Есть два варианта ориентации другого скрещенного квадратного купола. Один совмещает соответствующие грани (треугольники с треугольниками, квадраты с квадратами) и дает невыпуклый большой ромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет симметрию D 4h, хотя невыпуклый большой ромбокубооктаэдр имеет полную октаэдрическую симметрию. |  .. Другой вариант выравнивает несовместимые грани (треугольники с квадратами) и дает псевдобольшой ромбокубоктаэдр (или псевдокубооктаэдр). Эта конструкция имеет симметрию D 4d. |
Псевдо-большой ромбокубооктаэдр имеет один «пояс» квадратов вокруг своего экватора и может быть построен путем поворота одного из скрещенных квадратных куполов на невыпуклом большом ромбокубооктаэдре на 45 градусов. Это аналог псевдоромбокубооктаэдра.
Двойники псевдоднородных многогранников имеют все грани конгруэнтные, но не транзитивные: их грани не все лежат в пределах одной орбиты симметрии, и поэтому они не являются изоэдральными. Это является следствием того, что псевдоднородные многогранники имеют одинаковую конфигурацию вершин в каждой вершине, но не являются вершинно-транзитивными. Это демонстрируется разными цветами, используемыми для граней на изображениях двойных псевдооднородных многогранников в этой статье, обозначающих разные типы граней.
