Полярное разложение

представление обратимых матриц в виде унитарных умножений на эрмитов оператор

В математике символ полярное разложение квадрата вещественной или сложной матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- это факторизация формы $A\; =\; UP\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; UP\}$, где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- это унитарная матрица и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$представляет собой позитивно-полуопределённую эрмитову матрицу, квадратную и одинакового размера.

Интуитивно, если действительная $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$интерпретируется как линейное преобразование из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-размерное пространство $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \}$, полярное разложение разделяет его на вращение или отражение $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$из $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, и масштабирование пространства вдоль набор ортогональных осей $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Полярное разложение квадратной матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$всегда существует. Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является обратимым, разложение будет уникальным, и коэффициент $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$будет положительно-определенный. В этом случае $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$можно записать однозначно в форме $A\; =\; U\; e\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; Ue\; ^\; \{X\}\}$, где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- унитарный, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- уникальный самосопряженный логарифм матрица $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Это разложение полезно при вычислении фундаментальной группы из (матрицы) групп Ли.

Полярное разложение также можно определить как $A\; =\; PU\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; PU\}$где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- симметричная положительно-определенная, но в целом другая матрица, а $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- та же матрица, что и выше.

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матричный аналог полярной формы комплексного числа $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$as $z\; =\; ur\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; ur\}$, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- его абсолютное значение (неотрицательное действительное число ), а $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- комплексное число с единичной нормой (элемент группы кругов ).

• 1 Свойства
  • 1.1 Интуитивная интерпретация
  • 1.2 Связь с SVD
  • 1.3 Конструкция и доказательства существования
    • 1.3.1 Случай $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$нормальный
    • 1.3.2 Случай $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$обратимый
    • 1.3.3 Общий случай
• 2 Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве
• 3 Неограниченные операторы
• 4 Кватернионное полярное разложение
• 5 Альтернативные планарные разложения
• 6 Численное определение матричного полярного разложения
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

полярное разложение комплексно-сопряженного элемента $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$дается выражением $A\; ¯\; =\; U\; ¯\; P\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{U\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}.\}$Обратите внимание, что

$det\; A\; =\; det\; U\; det\; P\; =\; ei\; \theta \; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; A\; =\; \backslash \; det\; U\; \backslash \; det\; P\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; cdot\; r\}$

дает соответствующее полярное разложение детерминанта числа A, поскольку $det\; U\; =\; ei\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; U\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\}$и $det\; P\; =\; r\; =\; |\; det\; A\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Det\; P\; =\; R\; =\; |\; \backslash \; Det\; A\; |\}$. В частности, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет определитель 1, то оба $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$имеют определитель 1.

Положительно-полуопределенная матрица P всегда уникальна, даже если A сингулярна, и обозначается как

$P\; =\; (A\; \ast \; A)\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\}$

где A обозначает сопряженное транспонирование из A. Уникальность P гарантирует, что это выражение хорошо определено. Уникальность гарантируется тем, что $A\; \ast \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\}$является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей и, следовательно, имеет единственную положительно-полуопределенную эрмитову матрицу квадратный корень. Если A обратимо, то P положительно определено, следовательно, также обратимо, и матрица U однозначно определяется с помощью

$U\; =\; A\; P\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; AP\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Интуитивная интерпретация

Действительный квадрат $m\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; m\}$матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$можно представить как линейное преобразование для $R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$, который принимает вектор-столбец от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$до $A\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\}$. Тогда в полярном разложении $A\; =\; RP\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; RP\}$коэффициент $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$равен $m\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; m\}$вещественная ортонормированная матрица. Полярное разложение в таком случае можно рассматривать как выражение линейного преобразования, определенного $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, в масштабирование пространства $R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$вдоль каждого собственного вектора $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$of $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на коэффициент масштабирования $\sigma \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\}$(действие $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$), за которым следует однократное вращение или отражение $R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$(действие $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$).

В качестве альтернативы, разложение $A\; =\; PR\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; PR\}$выражает преобразование, определенное $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$как поворот ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$) с последующим масштабированием ($P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$) в определенных ортогональных направлениях. Коэффициенты масштабирования такие же, но направления разные.

Связь с SVD

В терминах разложения по сингулярным значениям (SVD) $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $A\; =\; W\; \Sigma \; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; W\; \backslash \; Sigma\; V\; ^\; \{*\}\}$, один имеет

$P\; =\; V\; \Sigma \; V\; \ast \; U\; =\; WV\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; P\; =\; V\; \backslash \; Сигма\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; U\; =\; WV\; ^\; \{*\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, и $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$- унитарные матрицы (называемые ортогональными матрицами, если поле является вещественным $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$). Это подтверждает, что $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$является положительно определенным, а $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$унитарным. Таким образом, существование SVD эквивалентно существованию полярного разложения.

Можно также разложить $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в форме

$A\; =\; P\; \prime \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; P\text{'}U\}$

Здесь $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$то же самое, что и раньше, а $P\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}\}$задается как

$P\; \prime \; =\; UPU\; -\; 1\; =\; (AA\; \ast )\; 1\; 2\; =\; W\; \Sigma \; W\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; UPU\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; (AA\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; W\; \backslash \; Sigma\; W\; ^\; \{*\}.\}$

Это называется левым полярным разложением, тогда как предыдущее разложение известно как правое полярное разложение. Левополярное разложение также известно как обратное полярное разложение.

Матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является нормальной тогда и только тогда, когда $P\; \text{'}=\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\text{'}\; =\; P\}$. Тогда $U\; \Sigma \; =\; \Sigma \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; Sigma\; =\; \backslash \; Sigma\; U\}$, и можно диагонализовать $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$с помощью унитарная матрица сходства $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, которая коммутирует с $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$, давая $SUS\; \ast \; =\; \Phi \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; SUS\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\}$, где $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$- диагональная унитарная матрица фаз $ei\; \phi \; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{я\; \backslash \; varphi\}\}$. Положив $Q\; =\; VS\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; VS\; ^\; \{*\}\}$, можно переписать полярное разложение как

$A\; =\; (Q\; \Phi \; Q\; \ast )\; (Q\; \Sigma \; Q\; *),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; left\; (Q\; \backslash \; Phi\; Q\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (Q\; \backslash \; Sigma\; Q\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\}$

так что $A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\}$, то, таким образом, также имеет спектральное разложение

$A\; =\; Q\; \Lambda \; Q\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; Q\; \backslash \; Lambda\; Q\; ^\; \{*\}\}$

с комплексными собственными значениями, такими как что $\Lambda \; \Lambda \; \ast \; =\; \Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; Sigma\; ^\; \{2\}\}$и унитарная матрица комплексных собственных векторов $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \}$.

Полярное разложение квадратной обратимой вещественной матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет форму

$A\; =\; |\; А\; |\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; |\; A\; |\; R\}$

, где $|\; А\; |\; =\; (AAT)\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; A\; |\; =\; \backslash \; left\; (AA\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$- это положительно определенная матрица и $R\; =\; |\; А\; |\; -\; 1\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; |\; A\; |\; ^\; \{-\; 1\}\; A\}$- ортогональная матрица.

Построение и доказательства существования

Основная идея построения полярного разложения аналогична той, которая используется для вычисления разложения по сингулярным числам.

Для любого $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, матрица $A\; \ast \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\}$эрмитова и положительно полуопределенная, и поэтому унитарно эквивалентна положительная полуопределенная диагональная матрица. Пусть тогда $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$будет унитарным таким, что $A\; \ast \; A\; =\; VDV\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\; =\; VDV\; ^\; \{*\}\}$, с диагональю $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$и положительным полуопределенным.

Случай $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$нормальный

Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$нормальный, то он унитарно эквивалентен диагональной матрице: $A\; =\; V\; \Lambda \; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; V\; \backslash \; Lambda\; V\; ^\; \{*\}\}$для некоторого унитарного $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$и некоторая диагональная матрица $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$. Тогда мы можем написать

$A\; =\; V\; \Phi \; \Lambda \; |\; \Lambda \; |\; V\; \ast \; знак\; равно\; (В\; \Phi \; \Lambda \; V\; \ast )\; ⏟\; \equiv \; U\; (V\; |\; \Lambda \; |\; V\; \ast )\; ⏟\; \equiv \; P,\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; =\; V\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; |\; \backslash \; Lambda\; |\; V\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (V\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{\backslash \; Equiv\; U\}\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (V\; |\; \backslash \; Lambda\; |\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{\backslash \; Equiv\; P\},\}$где $\Phi \; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; Lambda\}\}$- диагональная матрица, содержащая фазы элементов $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$, то есть $(\Phi \; \Lambda )\; ii\; \equiv \; \Lambda \; ii\; /\; |\; \Lambda \; i\; i\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; Lambda\})\; \_\; \{ii\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{ii\}\; /\; |\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{ii\}\; |\}$или $(\Phi \; \Lambda )\; ii\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; Lambda\})\; \_\; \{ii\}\}$произвольное комплексное число с единичной величиной, когда $\Lambda \; ii\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{ii\}\; =\; 0\}$.

Таким образом, полярное разложение имеет вид $A\; =\; UP\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; UP\}$, где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$диагональ на основе собственных значений $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и с собственными значениями, равными фазам и абсолютным значениям собственных значений $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$соответственно.

Случай $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$обратимый

Из разложения по единственному числу можно показать, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$обратимо тогда и только тогда, когда $A\; \ast \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\}$(эквивалентно, $AA\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; AA\; ^\; \{*\}\}$) есть. Более того, это верно тогда и только тогда, когда все собственные значения $A\; *\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\}$не равны нулю.

В этом случае полярное разложение непосредственно получается записью

$A\; =\; A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; (A\; \ast \; A)\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\}$

и наблюдая, что $A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}$унитарен. Чтобы убедиться в этом, мы можем использовать спектральное разложение $A\; \ast \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\}$для записи $A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; =\; AVD\; -\; 1\; 2\; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; AVD\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; V\; ^\; \{*\}\}$.

В этом выражении $V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{*\}\}$унитарен, потому что $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$есть. Чтобы показать, что $AVD\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; AVD\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}$является унитарным, мы можем использовать SVD написать $A\; =\; WD\; 1\; 2\; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; WD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; V\; ^\; \{*\}\}$, так что

$AVD\; -\; 1\; 2\; =\; WD\; 1\; 2\; V\; *\; VD\; -\; 1\; 2\; =\; W,\; \{\backslash \; displaystyle\; AVD\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; WD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; V\; ^\; \{*\}\; VD\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; W,\}$

где снова $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$унитарен по построению.

Еще один способ напрямую показать унитарность $A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\}\}$означает, что запись SVD из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$с точки зрения ранга-1 матрицы как $A\; =\; \sum \; kskvkwk\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; s\_\; \{k\}\; v\_\; \{k\}\; w\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\}$, где $sk\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{k\}\}$- сингулярные значения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, мы имеем

$A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; =\; (\sum \; j\; \lambda \; jvjwj\; \ast )\; (\sum \; k\; |\; \lambda \; k\; |\; -\; 1\; wkwk\; \ast )\; =\; \sum \; k\; \lambda \; k\; |\; \lambda \; k\; |\; vkwk\; *,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; v\_\; \{j\}\; w\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; |\; \backslash \; lambda\; \_\; \{k\}\; |\; ^\; \{-\; 1\}\; w\_\; \{k\}\; w\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{k\}\}\; \{|\; \backslash \; lambda\; \_\; \{k\}\; |\}\}\; v\_\; \{k\}\; w\_\; \{k\}\; ^\; \{*\},\}$что прямо подразумевает унитарность $A\; (A\; \ast \; A)\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}$, потому что матрица унитарна тогда и только тогда, когда ее сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение.

Обратите внимание, как из приведенной выше конструкции следует, что унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определена однозначно.

Общий случай

SVD $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$читает $A\; =\; WD\; 1\; 2\; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; WD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; V\; ^\; \{*\}\}$, с $W,\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; W,\; V\}$унитарными матрицами и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$диагональная положительно полуопределенная матрица. Просто вставив дополнительную пару $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$s или $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$s, мы получим две формы полярного разложения из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$:

$A\; =\; WD\; 1\; 2\; V\; \ast \; =\; (WD\; 1\; 2\; W\; \ast )\; ⏟\; P\; (WV\; \ast )\; ⏟\; U\; =\; (WV\; \ast )\; ⏟\; U\; (VD\; 1\; 2\; V\; \ast )\; ⏟\; P\; \prime .\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; =\; WD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; V\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (WD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; W\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{P\}\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (WV\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{U\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (WV\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{U\}\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (VD\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{P\; \text{'}\}.\}$

полярное разложение любого линейного ограниченного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами - это каноническая факторизация как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если A - ограниченный линейный оператор, то существует уникальная факторизация A как произведения A = UP, где U - частичная изометрия, P - неотрицательная самость. -сопряженный оператор и начальное пространство U является закрытием диапазона P.

Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не унитарной, из-за следующих проблем. Если A - односторонний сдвиг на l (N ), то | A | = {AA} = I. Итак, если A = U | A |, U должно быть A, которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма Если A, B - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и AA ≤ BB, то существует сжатие C такое, что A = CB. Кроме того, C уникален, если Ker (B) ⊂ Ker (C).

Оператор C может быть определен как C (Bh): = Ah для всех h в H, продолженный по непрерывности до замыкания Ran (B), и нулем на ортогональном дополнении ко всему H. Из этого следует, что из AA ≤ BB следует Ker (B) ⊂ Ker (A).

В частности. Если AA = BB, то C - частичная изометрия, которая единственна, если Ker (B) ⊂ Ker (C). В общем, для любого ограниченного оператора A

$A\; \ast \; A\; =\; (A\; \ast \; A)\; 1\; 2\; (A\; \ast \; A)\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; A\; =\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\}$

где (AA) - единственный положительный квадратный корень из AA, полученный с помощью обычного функционального исчисления. Итак, по лемме

$A\; =\; U\; (A\; \ast \; A)\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; U\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{*\}\; A\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

для некоторой частичной изометрии U, которая единственна, если Ker (A) ⊂ Ker (U). Возьмем P равным (AA), и получим полярное разложение A = UP. Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U ', где P' положительно, а U '- частичная изометрия.

Когда H конечномерно, U может быть расширен до унитарного оператора; в целом это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение может быть показано с использованием операторной версии разложения по сингулярным значениям.

По свойству непрерывного функционального исчисления, | A | находится в C * -алгебре, порожденной A. Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для частичной изометрии: U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A. Если A обратима, полярная часть U также будет в C * -алгебре.

Если A - замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то он все еще имеет (уникальное) полярное разложение

$A\; =\; U\; |\; А\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; U\; |\; A\; |\; \backslash ,\}$

где | A | является (возможно, неограниченным) неотрицательным самосопряженным оператором с той же областью определения, что и A, а U - частичная изометрия, исчезающая на ортогональном дополнении диапазона Ran (| A |).

Доказательство использует ту же лемму, что и выше, которая проходит для неограниченных операторов в целом. Если Dom (AA) = Dom (BB) и AAh = BBh для всех h ∈ Dom (AA), то существует частичная изометрия U такая, что A = UB. U единственно, если Ran (B) ⊂ Ker (U). Замкнутый и плотно определенный оператор A гарантирует, что оператор AA является самосопряженным (с плотной областью определения) и, следовательно, позволяет определить (AA). Применение леммы дает полярное разложение.

Если неограниченный оператор A связан с алгеброй фон Неймана M, и A = UP является его полярным разложением, то U находится в M, а также спектральная проекция P, 1 B (P), для любого борелевского множества B в [0, ∞).

Полярное разложение кватернионов Hзависит от единичной 2-мерной сферы $\{xi\; +\; yj\; +\; zk\; \in \; H:\; x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; =\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lbrace\; xi\; +\; yj\; +\; zk\; \backslash \; in\; H:\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; rbrace\}$из квадратный корень из минус единицы. Для любого r на этой сфере и угла −π < a ≤ π, the versor $ear\; =\; cos\; \; (a)\; +\; r\; sin\; \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{ar\}\; =\; \backslash \; cos\; (a)\; +\; r\; \backslash \; \backslash \; sin\; (a)\}$находится на блоке 3-сфера из H . Для a = 0 и a = π версор равен 1 или -1 независимо от того, какой r выбран. norm t кватерниона q - это евклидово расстояние от начала координат до q. Когда кватернион - это не просто действительное число, тогда существует уникальное полярное разложение $q\; =\; t\; e\; a\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; te\; ^\; \{ar\}.\}$

В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают следующим образом:

• Если x ≠ 0, z = x (1 + ε (y / x)) - полярное разложение двойственного числа z = x + yε, где ε = 0; то есть ε нильпотентен. В этом полярном разложении единичный круг заменен линией x = 1, полярный угол - наклоном y / x, а радиус x отрицателен в левой полуплоскости.
• Если x ≠ y, то единичная гипербола x - y = 1 и ее сопряженная x - y = −1 могут быть использованы для формирования полярного разложения на основе ветви единичной гиперболы через ( 1, 0). Эта ветвь параметризуется гиперболическим углом a и записывается как

  $cosh\; \; (a)\; +\; j\; sinh\; \; (a)\; =\; exp\; \; (aj)\; =\; eaj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cosh\; (a)\; +\; j\; \backslash \; \backslash \; sinh\; (a)\; =\; \backslash \; exp\; (aj)\; =\; e\; ^\; \{aj\}\}$

  где j = +1 и используется арифметика комплексных чисел с разбиением. Ветвь через (−1, 0) отслеживается −e. Поскольку операция умножения на j отражает точку на прямой y = x, вторая гипербола имеет ветви, обозначенные je или −je. Следовательно, точка в одном из квадрантов имеет полярное разложение в одной из форм:

  $reaj,\; -\; reaj,\; rjeaj,\; -\; rjeaj,\; r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; re\; ^\; \{aj\},\; -\; re\; ^\; \{aj\},\; rje\; ^\; \{aj\},\; -\; rje\; ^\; \{aj\},\; \backslash \; quad\; r>0\}$

  В наборе {1, -1, j, -j} есть продукты, которые делают его изоморфным четверке Клейна -group. Очевидно, полярное разложение в этом случае включает элемент из этой группы.

Для вычисления приближения полярного разложения A = UP, обычно унитарного коэффициент U приближается. Итерация основана на методе Герона для квадратного корня из 1 и вычисляет, начиная с $U\; 0\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{0\}\; =\; A\}$, последовательность

$U\; k\; +\; 1\; =\; 1\; 2\; (U\; k\; +\; (U\; k\; \ast )\; -\; 1),\; k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (U\_\; \{k\}\; +\; \backslash \; left\; (U\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$

Комбинация инверсии а сопряжение Эрмита выбрано таким образом, чтобы при разложении по сингулярным значениям унитарные множители оставались неизменными, а итерация сводилась к методу Герона по сингулярным значениям.

Эта базовая итерация может быть уточнена для ускорения процесса:

• Каждый шаг или через равные промежутки времени, диапазон сингулярных значений $U\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{k\}\}$оценивается, а затем матрица масштабируется до $\gamma \; k\; U\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\; U\_\; \{k\}\}$, чтобы центрировать сингулярные значения вокруг 1. Масштабирование Фактор $\gamma \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\}$вычисляется с использованием норм матрицы и обратной матрицы. Примеры таких масштабных оценок:

  $\gamma \; k\; =\; \Vert \; U\; k\; -\; 1\; \Vert \; 1\; \Vert \; U\; k\; -\; 1\; \Vert \; \infty \; \Vert \; U\; k\; \Vert \; 1\; \Vert \; U\; k\; \Vert \; \infty \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\; \backslash \; infty\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\}\}$

  с использованием суммы строки и сумма столбцов матричные нормы или

  $\gamma \; k\; =\; \Vert \; U\; k\; -\; 1\; \Vert \; F\; \Vert \; U\; k\; \Vert \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{F\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{F\}\}\}\}\}$

  с использованием Фробениуса норма. Включая масштабный коэффициент, итерация теперь имеет вид

  $U\; k\; +\; 1\; =\; 1\; 2\; (\gamma \; k\; U\; k\; +\; 1\; \gamma \; k\; (U\; k\; \ast )\; -\; 1),\; k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\; U\_\; \{k\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; left\; (U\_\; \{\; k\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$

• QR-разложение можно использовать на этапе подготовки уменьшить сингулярную матрицу A до регулярной матрицы меньшего размера и внутри каждого шага ускорить вычисление обратной.
• Метод Герона для вычисления корней $x\; 2\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0\}$можно заменить методами более высокого порядка, например, на основе метода Галлея третьего порядка, в результате чего получится
  $U\; k\; +\; 1\; знак\; равно\; U\; К\; (I\; +\; 3\; U\; К\; *\; U\; К)\; -\; 1\; (3\; I\; +\; U\; К\; *\; U\; К),\; К\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; Displaystyle\; U\_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (I\; +\; 3U\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (3I\; +\; U\_\; \{k\}\; ^\; \{*\}\; U\_\; \{k\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$
  Эту итерацию снова можно комбинировать с изменением масштаба. Эта конкретная формула имеет то преимущество, что она также применима к сингулярным или прямоугольным матрицам A.

• Разложение Картана
• Алгебраическое полярное разложение
• Полярное разложение комплексной меры

• Конвей, Дж. Б. : курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Springer 1990
• Дуглас, Р.Г. : О мажоризации, факторизации и включении диапазонов операторов в гильбертовом пространстве. Proc. Амер. Математика. Soc. 17, 413-415 (1966)
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 ( 2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7