Лемма Дугласа

В теории операторов, области математики, лемма Дугласа связывает факторизацию, включение по диапазонам и мажорирование операторов гильбертова пространства. Обычно его приписывают Рональду Г. Дугласу, хотя Дуглас признает, что некоторые аспекты результата, возможно, уже были известны. Формулировка результата выглядит следующим образом:

Теорема: если и - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве, следующие утверждения эквивалентны: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle H}$

1. ${\ displaystyle \ operatorname {диапазон} A \ substeq \ operatorname {range} B}$
2. ${\ Displaystyle AA ^ {*} \ leq \ lambda ^ {2} BB ^ {*}}$ для некоторых ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$
3. Существует ограниченный оператор на такой, что.${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle A = BC}$

Более того, если эти эквивалентные условия выполнены, то существует единственный оператор такой, что ${\ displaystyle C}$

• ${\ displaystyle \ Vert C \ Vert ^ {2} = \ inf \ {\ mu: \, AA ^ {*} \ leq \ mu BB ^ {*} \}}$
• ${\ Displaystyle \ кер А = \ кер С}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {диапазон} C \ substeq {\ overline {\ operatorname {range} B ^ {*}}}}$.

Обобщение леммы Дугласа для неограниченных операторов в банаховом пространстве было доказано Forough (2014).

• Положительный оператор

• v
• т
• е