Совершенный цифровой инвариант

редактировать

В теории чисел совершенный цифровой инвариант (PDI) - это число в заданном числе с основанием $b {\ displaystyle b}$ $b$ , которое представляет собой сумму собственных цифр, каждая из которых возведена в заданную степень $p {\ displaystyle p}$ $p$ .

Содержание

1 Определение
2 Совершенные цифровые инварианты F 2, b
3 Совершенные цифровые инварианты F 3, b
- 3.1 b = 3k + 1
- 3,2 b = 3k + 2
- 3,3 b = 6k + 4
4 Совершенные цифровые инварианты и циклы F p, b для конкретных p и b
5 Расширение до отрицательных целых чисел
- 5.1 Сбалансированная троичная система
6 Связь со счастливыми числами
7 Пример программирования
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

Пусть $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет натуральным числом. Мы определяем функцию идеального цифрового инварианта (также известную как функция счастья из счастливых чисел ) для базы $b>1 {\ displaystyle b>1}$ $b>1$ и мощность $p>0 {\ displaystyle p>0}$ $p>0$ $F p, b: N → N {\ displaystyle F_ {p, b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ быть следующим:

F p, b (n) = ∑ i = 0 k - 1 dip. {\ displaystyle F_ {p, b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {p}.}

F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{p}.

где $k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ - количество цифр в числе в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ и

di = n mod bi + 1 - n mod bibi {\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod { b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа. Натуральное число $n {\ displaystyle n}$ $n$ является совершенным цифровым инвариантом, если оно является фиксированной точкой для $F p, b { \ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ , который возникает, если $F p, b (n) = n {\ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$ $F_{p,b}(n)=n$ . $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ и $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ - тривиальные совершенные цифровые инварианты для всех $b {\ displaystyle b}$ $b$ и $p {\ displaystyle p}$ $p$ , все остальные совершенные цифровые инварианты являются нетривиальными совершенными цифровыми инвариантами .

Например, число 4150 в базе $b = 10 {\ displaystyle b = 10}$ $b=10$ - идеальный цифровой инвариант с $p = 5 {\ displaystyle p = 5}$ $p=5$ , потому что $4150 = 4 5 + 1 5 + 5 5 + 0 5 {\ displaystyle 4150 = 4 ^ {5} + 1 ^ {5} + 5 ^ {5} + 0 ^ {5}}$ $4150=4^{5}+1^{5}+5^{5}+0^{5}$ .

натуральное число $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это общительный цифровой инвариант, если он является периодической точкой для $F p, b {\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ , где $F p, bk (n) = n {\ displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ $F_{p,b}^{k}(n)=n$ для положительного целого $k {\ displaystyle k}$ $k$ (здесь $F p, bk {\ displaystyle F_ {p, b} ^ {k}}$ $F_{p,b}^{k}$ - это $k {\ displaystyle k}$ $k$ th итерация из $F p, b {\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ ) и формирование цикла периода $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Идеальный цифровой инвариант - это общительный цифровой инвариант с $k = 1 {\ displaystyle k = 1}$ $k=1$ , а дружественный цифровой инвариант - это общительный цифровой инвариант с $k = 2 {\ displaystyle k = 2}$ $k=2$ .

Все натуральные числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ являются препериодическими точками для $F p, b {\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ , независимо от основания. Это потому, что если $k ≥ p + 2 {\ displaystyle k \ geq p + 2}$ $k\geq p+2$ , $n ≥ bk - 1>bpk {\ displaystyle n \ geq b ^ {k-1}>b ^ {p } k}$ $n\geq b^{k-1}>b ^ {p} k$ , поэтому любой $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет удовлетворять $n>F b, p (n) {\ displaystyle n>F_ {b, p} (n)}$ $n>F_ {b, p} (n)$ до $n < b p + 1 {\displaystyle n$ $n<b^{p+1}$ . Существует конечное число натуральных чисел меньше $bp + 1 {\ displaystyle b ^ {p + 1}}$ $b^{p+1}$ , поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем $bp + 1 {\ displaystyle b ^ {p + 1}}$ $b^{p+1}$ , что делает его препериодической точкой.

Числа в базе $b>p {\ displaystyle b>p}$ $b>p$ ведут к фиксированным или периодическим точкам чисел $n ≤ (p - 2) p + p (b - 1) p {\ displaystyle n \ leq (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$ ${\ displaystyle n \ leq (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$ .

Доказательство —

Если $b>p {\ displaystyle b>p}$ $b>p$ , затем $n < b p + 1 {\displaystyle n$ $n<b^{p+1}$ оценка может быть уменьшена. Пусть $r {\ displaystyle r}$ $r$ будет числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше $bp {\ displaystyle b ^ {p}}$ $b^{p}$ .

р знак равно bp - 1 знак равно ∑ T знак равно 0 п (b - 1) bt {\ displaystyle r = b ^ {p} -1 = \ sum _ {t = 0} ^ {p} (b-1) b ^ { t}}

r=b^{p}-1=\sum _{t=0}^{p}(b-1)b^{t}

F p, b (r) = (p + 1) (b - 1) p < ( p + 1) b p ≤ b p + 1 {\displaystyle F_{p,b}(r)=(p+1)(b-1)^{p}<(p+1)b^{p}\leq b^{p+1}}

F_{p,b}(r)=(p+1)(b-1)^{p}<(p+1)b^{p}\leq b^{p+1}

, потому что

b ≥ (p + 1) {\ displaystyle b \ geq (p +1)}

b\geq (p+1)

Пусть $s {\ displaystyle s}$ $s$ будет числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше $(p + 1) ( б - 1) п {\ displaystyle (p + 1) (b-1) ^ {p}}$ $(p+1)(b-1)^{p}$ .

s = (p + 1) bp - 1 = pbp + ∑ t = 0 p - 1 (b - 1) bt {\ displaystyle s = (p + 1) b ^ {p} -1 = pb ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t} }

s=(p+1)b^{p}-1=pb^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}

F p, b (s) = pp + p (b - 1) p < p b p {\displaystyle F_{p,b}(s)=p^{p}+p(b-1)^{p}

F_{p,b}(s)=p^{p}+p(b-1)^{p}<pb^{p}

потому что

b ≥ p {\ displaystyle b \ geq p}

b\geq p

Пусть $t {\ displaystyle t}$ $t$ - число, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел, меньших $pbp {\ displaystyle pb ^ {p}}$ $pb^{p}$ .

t = (p - 1) bp + ∑ t = 0 p - 1 (b - 1) bt {\ displaystyle t = (p-1) b ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}

t=(p-1)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}

F p, b (т) знак равно (п - 1) п + п (б - 1) п {\ Displaystyle F_ {р, b} (т) = (р-1) ^ {р} + р (b-1) ^ {р }}

{\ displaystyle F_ {p, b} (t) = (p-1) ^ { p} + p (b-1) ^ {p}}

Пусть $u {\ displaystyle u}$ $u$ будет числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше $F p, b (t) + 1 {\ displaystyle F_ {p, b} (t) +1}$ ${\ displaystyle F_ {p, b} (t) +1}$ .

u = (p - 2) bp + ∑ t = 0 p - 1 (b - 1) bt {\ displaystyle u = (p-2) b ^ {p} + \ sum _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}

u=(p-2)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}

F p, b (u) = (p - 2) p + p (b - 1) p < ( p − 1) p + p ( b − 1) p = n ℓ + 1 {\displaystyle F_{p,b}(u)=(p-2)^{p}+p(b-1)^{p}<(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}=n_{\ell +1}}

F_{p,b}(u)=(p-2)^{p}+p(b-1)^{p}<(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}=n_{\ell +1}

$u ≤ F p, b (u) < F p, b ( t) {\displaystyle u\leq F_{p,b}(u)$ $u\leq F_{p,b}(u)<F_{p,b}(t)$ . Таким образом, числа в базе $b>p {\ displaystyle b>p}$ $b>p$ приводят к циклам или фиксированным точкам чисел $n ≤ F p, b (u) = (p - 1) p + p (b - 1) p {\ displaystyle n \ leq F_ {p, b} (u) = (p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$ $n\leq F_{p,b}(u)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}$ .

Количество итераций $i {\ displaystyle i}$ $i$ необходимо для $F p, bi (n) {\ displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$ $F_{p,b}^{i}(n)$ для достижения фиксированного point - это постоянство идеальной цифровой инвариантной функции для $n {\ displaystyle n}$ $n$ , которое не определено, если оно никогда не достигает фиксированной точки.

$F 1, b {\ displaystyle F_ {1, b}}$ ${\ displaystyle F_ {1, b}}$ - это цифра сумма. Единственными идеальными цифровыми инвариантами являются однозначные числа в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ , и нет периодических точек с простым периодом больше 1.

$F p, 2 {\ displaystyle F_ {p, 2}}$ $F_{p,2}$ сокращается до $F 1, 2 { \ ди splaystyle F_ {1,2}}$ $F_{1,2}$ , как и для любой степени $p {\ displaystyle p}$ $p$ , $0 p = 0 {\ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ $0^{p}=0$ и $1 p = 1 {\ displaystyle 1 ^ {p} = 1}$ $1^{p}=1$ .

для каждого натурального числа $k>1 {\ displaystyle k>1}$ $k>1$ , если $p < b {\displaystyle p$ ${\ displaystyle p <b}$ , $(b - 1) 0 мод К {\ Displaystyle (b-1) \ Equiv 0 {\ bmod {k}}}$ $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$ и $(p - 1) ≡ 0 mod ϕ (k) {\ displaystyle (p- 1) \ Equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$ , тогда для каждого натурального числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ , если $n ≡ m mod k {\ displaystyle n \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $n\equiv m{\bmod {k}}$ , затем $F p, b (n) ≡ m mod k {\ displaystyle F_ {p, b} (n) \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$ , где $ϕ (k) {\ displaystyle \ phi (k)}$ $\phi (k)$ - тотентиент Эйлера function.

Доказательство -

Пусть

n = ∑ i = 0 jdibi {\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {j} d_ {i} b ^ {i}}

n=\sum _{i=0}^{j}d_{i}b^{i}

быть натуральным числом с $j {\ displaystyle j}$ $j$ цифр, где $0 ≤ di < b {\displaystyle 0\leq d_{i}$ $0\leq d_{i}<b$ и $(b - 1) ≡ 0 mod k {\ displaystyle (b-1) \ Equiv 0 {\ bmod {k}}}$ $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$ , где $k {\ displaystyle k}$ $k$ - натуральное число больше 1.

Согласно правила делимости основания $b {\ displaystyle b}$ $b$ , если $b - 1 ≡ 0 mod k {\ displaystyle b-1 \ Equiv 0 {\ bmod { k}}}$ $b-1\equiv 0{\bmod {k}}$ , тогда если $n ≡ m mod k {\ displaystyle n \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $n\equiv m{\bmod {k}}$ , тогда цифра сумма

F 1, б (N) = ∑ я знак равно 0 jdi ≡ м мод К {\ Displaystyle F_ {1, b} (п) = \ сумма _ {я = 0} ^ {j} d_ {я} \ Equiv m {\ bmod {k}}}

F_{1,b}(n)=\sum _{i=0}^{j}d_{i}\equiv m{\bmod {k}}

Если цифра $di ≡ m mod k {\ displaystyle d_ {i} \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ ${\ displaystyle d_ {я} \ экв м {\ bmod {k}}}$ , то $dip ≡ mp mod k {\ displaystyle d_ {i} ^ {p} \ Equiv m ^ {p} {\ bmod {k}}}$ $d_{i}^{p}\equiv m^{p}{\bmod {k}}$ . Согласно теореме Эйлера, если $(p - 1) ≡ 0 mod ϕ (k) {\ displaystyle (p-1) \ Equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$ , $mp mod k = m mod k {\ displaystyle m ^ {p} {\ bmod {k}} = m {\ bmod {k}}}$ ${\ displaystyle m ^ {p} {\ bmod {k}} = m {\ bmod {k}}}$ . Таким образом, если цифра сумма $F 1, b (n) ≡ m mod k {\ displaystyle F_ {1, b} (n) \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $F_{1,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$ , тогда $F p, b (n) ≡ m mod k {\ displaystyle F_ {p, b} (n) \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$ .

Следовательно, для любое натуральное число $k {\ displaystyle k}$ $k$ , если $p < b {\displaystyle p$ ${\ displaystyle p <b}$ , $(b - 1) ≡ 0 mod k {\ displaystyle (b-1) \ Equiv 0 {\ bmod {k}} }$ $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$ и $(p - 1) ≡ 0 mod ϕ (k) {\ displaystyle (p-1) \ Equiv 0 {\ bmod {\ phi}} (k)}$ $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$ , то для каждого натурального числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ , если $n ≡ m mod k {\ displaystyle n \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $n\equiv m{\bmod {k}}$ , затем $F p, b (n) ≡ m mod k {\ displaystyle F_ {p, b} (n) \ Equiv m {\ bmod {k}}}$ $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$ .

Верхняя граница не может быть определенным для размера совершенных цифровых инвариантов в данной базе и произвольной степени, и в настоящее время неизвестно, является ли количество совершенных цифровых инвариантов для произвольной базы конечным или бесконечным.

Совершенные цифровые инварианты of F 2, b

По определению любой трехзначный это идеальный цифровой инвариант $n = d 2 d 1 d 0 {\ displaystyle n = d_ {2} d_ {1} d_ {0}}$ $n=d_{2}d_{1}d_{0}$ для $F 2, b {\ displaystyle F_ {2, b}}$ $F_{2,b}$ с цифрами натурального числа $0 ≤ d 0 < b {\displaystyle 0\leq d_{0}$ $0\leq d_{0}<b$ , $0 ≤ d 1 < b {\displaystyle 0\leq d_{1}$ $0\leq d_{1}<b$ , $0 ≤ d 2 < b {\displaystyle 0\leq d_{2}$ $0\leq d_{2}<b$ должен удовлетворять кубическое Диофантово уравнение $d 0 2 + d 1 2 + d 2 2 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ displaystyle d_ {0} ^ {2 } + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ . Однако $d 2 {\ displaystyle d_ {2}}$ $d_{2}$ должен быть равен 0 или 1 для любого $b>2 {\ displaystyle b>2}$ $b>2$ , поскольку максимальное значение $n {\ displaystyle n}$ $n$ может принимать значение $n = (2–1) 2 + 2 (b - 1) 2 = 1 + 2 (b - 1) 2 < 2 b 2 {\displaystyle n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}}$ ${\ displaystyle n = (2-1) ^ {2} + 2 (b-1) ^ {2} = 1 + 2 (b-1) ^{2}<2b^{2}}$ . В результате фактически есть два связанных квадратичных диофантовых уравнения, которые нужно решить:

d 0 2 + d 1 2 = d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {2 } + d_ {1} ^ {2} = d_ {1} b + d_ {0}}

d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}

, когда

d 2 = 0 {\ displaystyle d_ {2} = 0}

d_{2}=0

d 0 2 + d 1 2 + 1 = b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}

, когда

d 2 = 1 {\ displaystyle d_ {2} = 1}

d_{2}=1

Двузначное натуральное число $n = d 1 d 0 {\ displaystyle n = d_ {1} d_ {0}}$ $n=d_{1}d_{0}$ - идеальный цифровой инвариант в базе

b = d 1 + d 0 (d 0 - 1) d 1, {\ displaystyle b = d_ {1} + {\ frac {d_ {0} (d_ {0} -1)} {d_ {1}}}.}

b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.

Это можно доказать, взяв первый случай, когда $d 2 = 0 {\ displaystyle d_ {2} = 0}$ $d_{2}=0$ и решение для $b {\ displaystyle b}$ $b$ . Это означает, что для некоторых значений $d 0 {\ displaystyle d_ {0}}$ $d_0$ и $d 1 {\ displaystyle d_ {1}}$ $d_{1}$ , $n {\ displaystyle n}$ $n$ не является идеальным цифровым инвариантом в любой базе, поскольку $d 1 {\ displaystyle d_ {1}}$ $d_{1}$ не является делителем числа $d 0 (d 0–1) {\ displaystyle d_ {0} (d_ {0} -1)}$ $d_{0}(d_{0}-1)$ . Кроме того, $d 0>1 {\ displaystyle d_ {0}>1}$ $d_{0}>1$ , потому что если $d 0 = 0 {\ displaystyle d_ {0} = 0}$ $d_{0}=0$ или $d 0 = 1 {\ displaystyle d_ {0} = 1}$ $d_ {0} = 1$ , тогда $b = d 1 {\ displaystyle b = d_ {1}}$ $b=d_{1}$ , что противоречит более раннему утверждению, что $0 ≤ d 1 < b {\displaystyle 0\leq d_{1}$ $0\leq d_{1}<b$ .

Не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов для $F 2, b {\ displaystyle F_ {2, b}}$ $F_{2,b}$ , что можно доказать, взяв второй случай, где $d 2 = 1 {\ displaystyle d_ {2} = 1}$ $d_{2}=1$ , а $d 0 = b - a 0 {\ displaystyle d_ {0} = b -a_ {0}}$ $d_{0}=b-a_{0}$ и $d 1 = b - a 1 {\ displaystyle d_ {1} = b-a_ {1}}$ $d_{1}=b-a_{1}$ . Тогда диофантово уравнение для трехзначный идеальный цифровой инвариант становится

(b - a 0) 2 + (b - a 1) 2 + 1 = b 2 + (b - a 1) b + (b - a 0) {\ displaystyle ( b-a_ {0}) ^ {2} + (b-a_ {1}) ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (ba _ {0})}

(b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})

b 2 - 2 a 0 b + a 0 2 + b 2 - 2 a 1 b + a 1 2 + 1 = b 2 + (b - a 1) b + (b - a 0) {\ displaystyle b ^ {2} -2a_ {0} b + a_ {0} ^ {2} + b ^ {2} -2a_ {1} b + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})

2 b 2 - 2 (a 0 + a 1) b + a 0 2 + a 1 2 + 1 = б 2 + (b - a 1) b + (b - a 0) {\ displaystyle 2b ^ {2} -2 (a_ {0} + a_ {1}) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})

b 2 + (b - 2 (a 0 + a 1)) b + a 0 2 + a 1 2 + 1 = b 2 + (b - a 1) b + (b - a 0) {\ displaystyle b ^ {2} + (b-2 (a_ {0} + a_ {1})) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}

b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})

Однако $2 (a 0 + a 1)>a 1 {\ displaystyle 2 (a_ {0} + a_ {1})>a_ {1}}$ $2(a_{0}+a_{1})>a_ { 1}$ для всех значений $0 < a 1 ≤ b {\displaystyle 0$ $0<a_{1}\leq b$ . Таким образом, не существует решений диофантова уравнения и трехзначных совершенных цифровых инвариантов для $F 2, b {\ displaystyle F_ {2, b}}$ $F_{2,b}$ .

Совершенных цифровых инвариантов для F 3, b

Всего четыре числа после единицы, которые являются суммой кубиков их цифр:

153 = 1 3 + 5 3 + 3 3 {\ displaystyle 153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}}

153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3

370 = 3 3 + 7 3 + 0 3 {\ displaystyle 370 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 0 ^ {3}}

370=3^3+7^3+0^3

371 = 3 3 + 7 3 + 1 3 {\ displaystyle 371 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 1 ^ {3}}

371=3^3+7^3+1^3

407 = 4 3 + 0 3 + 7 3. {\ displaystyle 407 = 4 ^ {3} + 0 ^ {3} + 7 ^ {3}.}

407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.

Это странные факты, очень подходящие для столбцов головоломок и, вероятно, развлекающие любителей, но в них нет ничего такого, что обращается к математику. (последовательность A046197 в OEIS )

— GH Hardy, A Mathematician's Apology

По определению любой четырехзначный идеальный цифровой инвариант $n {\ displaystyle n}$ $n$ для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ с цифрами натурального числа $0 ≤ d 0 < b {\displaystyle 0\leq d_{0}$ $0\leq d_{0}<b$ , $0 ≤ d 1 < b {\displaystyle 0\leq d_{1}$ $0\leq d_{1}<b$ , $0 ≤ d 2 < b {\displaystyle 0\leq d_{2}$ $0\leq d_{2}<b$ , $0 ≤ d 3 < b {\displaystyle 0\leq d_{3}$ $0\leq d_{3}<b$ должен удовлетворять квартике диофантово уравнение $d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 + d 3 3 = d 3 b 3 + d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + d_ { 3} ^ {3} = d_ {3} b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ $d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ . Однако $d 3 {\ displaystyle d_ {3}}$ $d_{3}$ должно быть равно 0, 1, 2 для любого $b>3 {\ displaystyle b>3}$ $b>3$ , поскольку максимальное значение $n { \ displaystyle n}$ $n$ может принимать значение $n = (3–2) 3 + 3 (b - 1) 3 = 1 + 3 (b - 1) 3 < 3 b 3 {\displaystyle n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}}$ $n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}$ . В результате есть актуальные Всего три связанных кубических диофантовых уравнения, которые нужно решить

d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {3 } + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}

при

d 3 знак равно 0 {\ displaystyle d_ {3} = 0}

d_{3}=0

d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 + 1 = b 3 + d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 1 = b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}

когда

d 3 = 1 {\ displaystyle d_ {3} = 1}

d_{3}=1

d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 + 8 = 2 b 3 + d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 8 = 2b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}

когда

d 3 = 2 {\ displaystyle d_ {3} = 2}

d_{3}=2

Мы берем первый случай, где $d 3 = 0 {\ displaystyle d_ {3} = 0}$ $d_{3}=0$ .

b = 3k + 1

Пусть $k {\ displaystyle k}$ $k$ быть положительным целым числом и основанием числа $b = 3 k + 1 {\ displaystyle b = 3k + 1}$ $b=3k+1$ . Тогда:

$n 1 = kb 2 + (2 k + 1) b {\ displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1) b}$ $n_{1}=kb^{2}+(2k+1)b$ - идеальный цифровой инвариант. для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Доказательство -

Пусть цифры $n 1 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ be $d 2 = k {\ displaystyle d_ {2} = k}$ $d_{2}=k$ , $d 1 = 2 k + 1 {\ displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ $d_{1}=2k+1$ , и $d 0 = 0 {\ displaystyle d_ {0} = 0}$ $d_{0}=0$ . Тогда

F 3, b (n 1) = d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 = k 3 + (2 k + 1) 3 + 0 3 = (k 2 - k (2 k + 1) + (2 k + 1) 2) (k + (2 k + 1)) = (k 2 - 2 k 2 - k + 4 k 2 + 4 k + 1) (3 k + 1) = (3 k 2 + 3 k + 1) (3 k + 1) = (3 k 2 + 4 k + 1) (3 k + 1) - k (3 k + 1) = (k + 1) (3 k + 1) ( 3 к + 1) - к (3 к + 1) = к (3 к + 1) (3 к + 1) + (3 к + 1) (3 к + 1) - к (3 к + 1) = к (3 К + 1) 2 + (2 К + 1) (3 К + 1) + 0 = d 2 б 2 + d 1 б + d 0 = п 1 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} F_ {3, b} (n_ {1}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \\ = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} \\ = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1)) \\ = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) \\ = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) \\ = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k ( 3k + 1) \\ = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ = k (3k + 1) ^ {2 } + (2k + 1) (3k + 1) +0 \\ = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ = n_ {1} \ end {выровнено }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {3, b} (n_ {1}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \\ = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3 } \\ = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1)) \\ = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) \\ = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) \\ = (3k ^ {2 } + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ = k ( 3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) \\ = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +0 \\ = d_ {2} b ^ { 2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ = n_ {1} \ end {align}}}

Таким образом, $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$ является идеальным цифровым инвариантом для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $к {\ displaystyle k}$ $k$ .

$n 2 = kb 2 + (2 k + 1) b + 1 {\ displaystyle n_ {2} = kb ^ {2} + (2k + 1) b + 1}$ $n_{2}=kb^{2}+(2k+1)b+1$ - идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Доказательство -

Пусть цифры $n 2 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle n_ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} б + d_ {0}}$ $n_{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d 2 = k {\ displaystyle d_ {2} = k}$ $d_{2}=k$ , $d 1 = 2 k + 1 {\ displaystyle d_ {1} = 2k +1}$ $d_{1}=2k+1$ и $d 0 = 1 {\ displaystyle d_ {0} = 1}$ $d_ {0} = 1$ . Тогда

F 3, b (n 2) = d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 = k 3 + (2 k + 1) 3 + 1 3 = (k 2 - k (2 k + 1) + (2 k + 1) 2) (k + (2 k + 1)) + 1 = (k 2 - 2 k 2 - k + 4 k 2 + 4 k + 1) (3 k + 1) + 1 = (3 к 2 + 3 к + 1) (3 к + 1) + 1 = (3 к 2 + 4 к + 1) (3 к + 1) - к (3 к + 1) + 1 = (к + 1) (3 k + 1) (3 k + 1) - k (3 k + 1) + 1 = k (3 k + 1) (3 k + 1) + (3 k + 1) (3 k + 1) - k (3 k + 1) + 1 = k (3 k + 1) 2 + (2 k + 1) (3 k + 1) + 1 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 = n 2 { \ displaystyle {\ begin {align} F_ {3, b} (n_ {2}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \\ = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 1 ^ {3} \\ = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1)) + 1 \\ = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) +1 \\ = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) +1 \\ = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 \\ = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 \\ = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 \\ = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +1 \\ = d_ {2} b ^ {2 } + d_ {1} b + d_ {0} \\ = n_ {2} \ end {align}}}

{\begin{aligned}F_{3,b}(n_{2})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\=k^{3}+(2k+1)^{3}+1^{3}\\=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))+1\\=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)+1\\=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)+1\\=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+1\\=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\=n_{2}\end{aligned}}

Таким образом, $n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_{2}$ является идеальным цифровым инвариантом для $F 3, b {\ disp Laystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

$n 3 = (k + 1) b 2 + (2 k + 1) {\ displaystyle n_ { 3} = (k + 1) b ^ {2} + (2k + 1)}$ ${\ displaystyle n_ {3} = (k + 1) b ^ {2} + (2k + 1)}$ - идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Доказательство -

Пусть цифры $n 3 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle n_ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ $n_{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ be $d 2 = k + 1 {\ displaystyle d_ {2} = k + 1}$ $d_{2}=k+1$ , $d 1 = 0 {\ displaystyle d_ {1} = 0}$ $d_{1}=0$ и $d 0 = 2 k + 1 {\ displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$ $d_{0}=2k+1$ . Тогда

F 3, b (n 3) = d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 = (k + 1) 3 + 0 3 + (2 k + 1) 3 = ((k + 1) 2 - (к + 1) (2 к + 1) + (2 к + 1) 2) ((к + 1) + (2 к + 1)) = ((к + 1) 2 + к (2 к + 1) (3 k + 2) = (k 2 + 2 k + 1 + 2 k 2 + k) (3 k + 2) = (3 k 2 + 3 k + 1) (3 k + 2) = (3 k 2 + 3 к) (3 к + 2) + (3 к + 2) = 3 к (к + 1) (3 к + 2) + (3 к + 2) = (к + 1) ((3 к + 1) 2-1) + (3 к + 2) = (к + 1) (3 к + 1) 2 - (к + 1) + (3 к + 2) = (к + 1) (3 к + 1) 2 + 0 (3 k + 1) + (2 k + 1) = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 = n 3 {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {3, b} (n_ { 3}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \\ = (k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} \\ = ((k + 1) ^ {2} - (k + 1) (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) ((k + 1) + (2k + 1)) \\ = ((k + 1) ^ {2} + k (2k + 1) (3k + 2) \\ = (k ^ {2} + 2k + 1 + 2k ^ {2} + k) (3k + 2) \\ = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) \\ = (3k ^ {2} + 3k) (3k + 2) + (3k + 2) \\ = 3k (k + 1) (3k + 2) + (3k + 2) \\ = (k + 1) ((3k + 1) ^ {2} -1) + (3k + 2) \\ = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} - (k + 1) + (3k + 2) \\ = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} +0 (3k + 1) + (2k + 1) \\ = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ = n_ {3} \ конец {выравнивание ed}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {3, b} (n_ {3}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} \\ = (k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} \\ = ((k + 1) ^ {2} - (k + 1) (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2 }) ((k + 1) + (2k + 1)) \\ = ((k + 1) ^ {2} + k (2k + 1) (3k + 2) \\ = (k ^ {2 } + 2k + 1 + 2k ^ {2} + k) (3k + 2) \\ = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) \\ = (3k ^ {2} + 3k) (3k + 2) + (3k + 2) \\ = 3k (k + 1) (3k + 2) + (3k + 2) \\ = (k + 1) ((3k + 1) ^ {2} -1) + (3k + 2) \\ = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} - (k + 1) + (3k + 2) \\ = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} +0 (3k + 1) + (2k + 1) \\ = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} \\ = п_ {3} \ конец {выровнено}}}

Таким образом, $n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_{3}$ является идеальным цифровым инвариантом для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Совершенные цифровые инварианты
$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$	$n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_{2}$	$n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_{3}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

b = 3k + 2

Пусть $k {\ displaystyle k}$ $k$ будет положительным целым числом, а основание числа $b = 3 k + 2 {\ displaystyle b = 3k + 2}$ $b=3k+2$ . Тогда:

$n 1 = kb 2 + (2 k + 1) {\ displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1)}$ $n_{1}=kb^{2}+(2k+1)$ - идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Доказательство -

Пусть цифры $N 1 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ ${\ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ быть $d 2 = k {\ displaystyle d_ {2} = k}$ $d_{2}=k$ , $d 1 = 2 k + 1 {\ displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ $d_{1}=2k+1$ и $d 0 = 0 {\ displaystyle d_ {0} = 0}$ $d_{0}=0$ . Тогда

F 3, b (n 1) = d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 {\ displaystyle F_ {3, b} (n_ {1}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}

F_{3,b}(n_{1})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}

= k 3 + 0 3 + (2 k + 1) 3 {\ displaystyle = k ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}

=k^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}

= (k 2 - k (2 k + 1) + (2 k + 1) 2) (k + (2 k + 1)) {\ displaystyle = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1))}

=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))

= (k 2 - 2 k 2 - k + 4 k 2 + 4 к + 1) (3 к + 1) {\ displaystyle = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1)}

=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)

= ( 3 К 2 + 3 К + 1) (3 К + 1) {\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1)}

=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)

= (3 К 2 + 3 К + 1) (3 к + 2) - (3 к 2 + 3 к + 1) {\ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) - (3k ^ {2} + 3k + 1)}

=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+3k+1)

знак равно (3 К 2 + 3 К + 1) (3 К + 2) - (3 К 2 + 2 К + К + 1) {\ Displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k +2) - (3k ^ {2} + 2k + k + 1)}

=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+2k+k+1)

= (3 k 2 + 3 k + 1) (3 k + 2) - k (3 k + 2) - (k + 1) {\ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) -k (3k + 2) - (k + 1)}

=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-k(3k+2)-(k+1)

= (3 k 2 + 2 k + 1) (3 k + 2) - (k + 1) {\ displaystyle = (3k ^ {2} + 2k + 1) (3k + 2) - (k + 1)}

=(3k^{2}+2k+1)(3k+2)-(k+1)

= (3 k 2 + 2 k) (3 к + 2) + (3 к + 2) - (к + 1) {\ displ aystyle = (3k ^ {2} + 2k) (3k + 2) + (3k + 2) - (k + 1)}

=(3k^{2}+2k)(3k+2)+(3k+2)-(k+1)

= k (3 k + 2) 2 + (2 k + 1) {\ displaystyle = К (3k + 2) ^ {2} + (2k + 1)}

=k(3k+2)^{2}+(2k+1)

= d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ { 1} b + d_ {0}}

=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}

= n 1 {\ displaystyle = n_ {1}}

=n_{1}

Таким образом, $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$ идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Совершенные цифровые инварианты
$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50B
6	20	60D
7	23	70F
8	26	80H
9	29	90J

b = 6k + 4

Пусть $k {\ displaystyle k}$ $k$ будет положительным целым числом, а основание числа $b = 6 k + 4 {\ displaystyle b = 6k + 4}$ $b=6k+4$ . Тогда:

$n 4 = kb 2 + (3 k + 2) b + (2 k + 1) {\ displaystyle n_ {4} = kb ^ {2} + (3k + 2) b + (2k + 1) }$ ${\ displaystyle n_ {4} = kb ^ {2} + (3k + 2) b + (2k + 1)}$ - идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Доказательство -

Пусть цифры $n 4 = d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle n_ {4} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1 } b + d_ {0}}$ $n_{4}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d 2 = k + 1 {\ displaystyle d_ {2} = k + 1}$ $d_{2}=k+1$ , $d 1 = 3 k + 2 {\ displaystyle d_ {1} = 3k + 2}$ $d_{1}=3k+2$ и $d 0 = 2 k + 1 {\ displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$ $d_{0}=2k+1$ . Тогда

F 3, b (n 3) = d 0 3 + d 1 3 + d 2 3 {\ displaystyle F_ {3, b} (n_ {3}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}

F_{3,b}(n_{3})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}

= (k) 3 + (3 k + 2) 3 + (2 k + 1) 3 {\ displaystyle = (k) ^ { 3} + (3k + 2) ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}

=(k)^{3}+(3k+2)^{3}+(2k+1)^{3}

= k 3 + ((3 k + 2) 2 - (3 k + 2) (2 k + 1)) + (2 к + 1) 2) ((3 к + 2) + (2 к + 1)) {\ displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) ^ {2} - (3k + 2) (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) ((3k + 2) + (2k + 1))}

=k^{3}+((3k+2)^{2}-(3k+2)(2k+1)+(2k+1)^{2})((3k+2)+(2k+1))

= k 3 + ((3 k + 2) (k + 1) + (2 к + 1) 2) (5 к + 3) {\ displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) (k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (5k + 3)}

{\ displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) (k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (5k + 3)}

= k 3 + (3 k 2 + 5 k + 2 + 4 k 2 + 4 k + 1) (5 k + 3) {\ displaystyle = k ^ {3} + (3k ^ {2 } + 5k + 2 + 4k ^ {2} + 4k + 1) (5k + 3)}

=k^{3}+(3k^{2}+5k+2+4k^{2}+4k+1)(5k+3)

= k 3 + (7 k 2 + 9 k + 3) (5 k + 3) {\ displaystyle = k ^ {3} + (7k ^ {2} + 9k + 3) (5k + 3)}

{\ displaystyle = k ^ {3} + (7k ^ {2} + 9k + 3) (5k + 3)}

= k 3 + 5 k (7 k 2 + 9 k + 3) + 3 (7 k 2 + 9 k + 3) {\ displaystyle = k ^ {3} + 5k (7k ^ {2} + 9k + 3) +3 (7k ^ {2} + 9k + 3)}

=k^{3}+5k(7k^{2}+9k+3)+3(7k^{2}+9k+3)

= k 3 + 35 k 3 + 45 К 2 + 15 К + 21 К 2 + 27 К + 9 {\ displaystyle = k ^ {3} + 35k ^ {3} + 45k ^ {2} + 15k + 21k ^ {2} + 27k + 9}

=k^{3}+35k^{3}+45k^{2}+15k+21k^{2}+27k+9

= 36 К 3 + 66 К 2 + 42 К + 9 {\ Displaystyle = 36k ^ {3} + 66k ^ {2} + 42k + 9}

=36k^{3}+66k^{2}+42k+9

= (6 k + 4) (6 k 2) + 42 k 2 + 42 k + 9 {\ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + 42k ^ {2} + 42k + 9}

=(6k+4)(6k^{2})+42k^{2}+42k+9

= (6 k + 4) (6 k 2) + (6 k + 4) (4 k 2) + 18 k 2 + 26 k + 9 {\ displaystyle = ( 6k + 4) (6k ^ {2}) + (6k + 4) (4k ^ {2}) + 18k ^ {2} + 26k + 9}

{\ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + (6k + 4) (4k ^ {2}) + 18k ^ {2} + 26k + 9}

= (6k + 4) (6k 2 + 4 k) + 18 k 2 + 26 k + 9 {\ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2} + 4k) + 18k ^ {2} + 26k + 9}

=(6k+4)(6k^{2}+4k)+18k^{2}+26k+9

= k (6 k + 4) 2 + (6 к + 4) (3 к) + 14 к + 9 {\ displaystyle = k (6k + 4) ^ {2} + (6k + 4) (3k) + 14k + 9}

=k(6k+4)^{2}+(6k+4)(3k)+14k+9

знак равно К (6 К + 4) 2 + (3 К + 2) (6 К + 4) + 2 К + 1 {\ Displaystyle = К (6 К + 4) ^ {2} + (3 К + 2) (6 К + 4) + 2k + 1}

=k(6k+4)^{2}+(3k+2)(6k+4)+2k+1

= d 2 b 2 + d 1 b + d 0 {\ displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}

=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}

= n 4 {\ displaystyle = n_ {4}}

=n_{4}

Таким образом, $n 4 {\ displaystyle n_ {4}}$ $n_{4}$ представляет собой идеальный цифровой инвариант для $F 3, b {\ displaystyle F_ {3, b}}$ $F_{3,b}$ для всех $k {\ displaystyle k}$ $k$ .

Совершенные цифровые инварианты
$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 4 {\ displaystyle n_ {4}}$ $n_{4}$
0	4	021
1	10	153
2	16	285
3	22	3B7
4	28	4E9

Perfect digital инварианты и циклы F p, b для конкретных p и b

Все числа представлены в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ .

$p {\ displaystyle p}$ $p$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	Нетривиальные совершенные цифровые инварианты	Циклы
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, A5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98
	14	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1B → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9A → C1 → 9A D6 → DA → 12E → D6
	16	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, A06, A64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25A → 940 → 661 → 364 → 25A 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49A → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49A
	12	577, 668, A83, 11AA
	13	490, 491, 509, B85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	C3A, D87
	16	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$
	7	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	$∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\varnothing$
5	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Расширение до отрицательных целых чисел

Совершенные цифровые инварианты можно расширить до отрицательных целые числа с использованием представления цифры со знаком для представления каждого целого числа.

Сбалансированный тройной

В сбалансированный тройной цифры 1, -1 и 0. Это приводит к следующему:

С нечетным мощности $p ≡ 1 mod 2 {\ displaystyle p \ Equiv 1 {\ bmod {2}}}$ $p\equiv 1{\bmod {2}}$ , $F p, bal 3 {\ displaystyle F_ {p, {\ text {bal}} 3}}$ $F_{p,{\text{bal}}3}$ сокращается до суммы цифр итерация, так как $(- 1) p = - 1 {\ displaystyle (-1) ^ {p} = - 1}$ $(-1)^{p}=-1$ , $0 p = 0 {\ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ $0^{p}=0$ и $1 p = 1 {\ displaystyle 1 ^ {p} = 1}$ $1^{p}=1$ .
с даже мощности $п ≡ 0 mod 2 {\ displaystyle p \ Equiv 0 {\ bmod {2}}}$ $p\equiv 0{\bmod {2}}$ , $F p, bal 3 {\ displaystyle F_ {p, {\ text {bal}} 3}}$ $F_{p,{\text{bal}}3}$ указывает, является ли число четным или нечетным, поскольку сумма каждой цифры будет указывать на делимость на 2 тогда и только тогда, когда сумма цифр заканчивается на 0. Поскольку $0 p = 0 {\ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ $0^{p}=0$ и $(- 1) p = 1 p = 1 {\ displaystyle (-1) ^ {p} = 1 ^ {p} = 1}$ $(-1)^{p}=1^{p}=1$ , для каждой пары цифр 1 или -1 их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 2.

Отношение к счастливым числам

Счастливое число $n {\ displaystyle n}$ $n$ для данной базы $b {\ displaystyle b}$ $b$ и данной степени $p {\ displaystyle p}$ $p$ - это препериодическая точка для функции идеального цифрового инварианта $F p, b {\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ такая, что $m {\ displaystyle m}$ $m$ -я итерация $F p, b {\ displaystyle F_ {p, b}}$ $F_{p,b}$ равна тривиальному совершенному цифровому инварианту $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , а несчастливое число - такое, что не существует такого $m {\ displaystyle m}$ $m$ .

Пример программирования

Пример ниже реализует идеальная цифровая инвариантная функция, описанная в приведенном выше определении для поиска идеальных цифровых инвариантов и циклов в Python. Это можно использовать для поиска счастливых чисел.

def pdif (x: int, p: int, b: int) ->int: "" "Идеальная цифровая инвариантная функция." "" Total = 0, а x>0: total = total + pow (x% b, p) x = x // b return total def pdif_cycle (x: int, p: int, b: int) ->List [int]: seen = while x not in замечено: seen.append (x) x = pdif (x, p, b) cycle = пока x не находится в цикле: cycle.append (x) x = pdif (x, p, b) return cycle

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Цифровые инварианты

Последняя правка сделана 2021-06-01 09:18:18

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте

$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$	$n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_{2}$	$n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_{3}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$	$n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_{2}$	$n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_{3}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

$k {\ displaystyle k}$ $k$	$b {\ displaystyle b}$ $b$	$n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_{1}$	$n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_{2}$	$n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_{3}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J