Правило делимости

Сокращенный способ определения, делится ли данное число на фиксированный делитель

A Правило делимости - это сокращенный способ определения, делится ли заданное целое число на фиксированный делитель без выполнения деления, обычно путем проверки его цифр. Несмотря на то, что существуют тесты делимости для чисел с любым основанием или основанием, и все они разные, в этой статье представлены правила и примеры только для десятичных или десятичных чисел. Мартин Гарднер объяснил и популяризировал эти правила в своей сентябрьской 1962 г. колонке «Математические игры» в Scientific American.

• 1 Правила делимости для чисел 1–30
• 2 Пошаговые примеры
  • 2.1 Делимость на 2
  • 2.2 Делимость на 3 или 9
  • 2.3 Делимость на 4
  • 2.4 Делимость на 5
  • 2.5 Делимость на 6
  • 2,6 Делимость на 7
  • 2.7 Делимость на 13
• 3 Более 30
  • 3.1 Составные делители
  • 3.2 Простые делители
  • 3.3 Примечательные примеры
• 4 Обобщенное правило делимости
• 5 Доказательства
  • 5.1 Доказательство с использованием алгебры
  • 5.2 Доказательство с использованием модульной арифметики
• 6 См.. Также
• 7 Ссылки
• 8 Источники
• 9 Внешние ссылки

Приведенные ниже правила преобразуют данное число в обычно меньшее число, сохраняя при этом делимость на интересующий делитель. Таким образом, если не указано иное, полученное число оценено на тот же делитель. В некоторых случаях процесс можно повторять до тех пор, пока делимость не станет очевидной; для других (например, проверка последних n цифр) результат должен быть проверен другими методами.

Для делителей с ограниченными правилами обычно сначала упорядочиваются те, которые подходят для чисел с большим числом цифр, а затем для тех, которые полезны для чисел с меньшим количеством цифр.

Примечание: чтобы проверить делимость на любое число, которое может быть выражено как 2 или 5, где n является положительным целым числом, просто проверьте последние n цифр.

Примечание: для проверки делимости на любое число, выраженное как произведение простых множителей $p\; 1\; np\; 2\; mp\; 3\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{n\}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{m\}\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{q\}\}$, мы можем отдельно проверить на каждое простое число до степени. Например, проверка делимости на 24 (24 = 8 * 3 = 2 * 3) эквивалентна проверке делимости на 8 (2) и 3 одновременно, поэтому нам нужно только показать делимость на 8 и на 3, чтобы доказать делимость на 24.

Делитель	Условие делимости	Примеры
1	Особых условий нет. Любое целое число делится на 1.	2 делится на 1.
2	Последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8).	1294: 4 равно четный.
3	Просуммируйте цифры. Результат должен делиться на 3.	405 → 4 + 0 + 5 = 9 и 636 → 6 + 3 + 6 = 15, которые явно делятся на 3.. 16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 суммирует до 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, что явно делится на 3.
	Вычесть количество цифр 2, 5 и 8 в номере от количества цифр 1, 4 и 7 в номере. Результат должен делиться на 3.	В примере выше: 16,499,205,854,376 имеет четыре цифры из 1, 4 и 7 и четыре из цифр 2, 5 и 8; ∴ 4-4 = 0 делится на 3, число 16,499,205,854,376 делится на 3.
4	Две цифры образуют число, которое делится на 4.	40,832: 32 делится на 4.
	Если цифра десятков четная, цифра должна быть 0, 4 8.. Если цифра десятков нечетная, цифра единиц должна быть 2 или 6.	40,832: 3 нечетно, а последняя цифра - 2
	Двойная цифра десятков, плюс цифра единиц делится на 4.	40832: 2 × 3 + 2 = 8, что делится на 4.
5	Последняя цифра - 0 или 5.	495: последняя цифра - 5.
6	Делится на 2 и на 3.	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, поэтому оно делится на 3, а последняя цифра четная, следовательно, число делится на 6.
7	Формирование суммы блоков из трех налево дает кратное из 7	1,369,851: 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	5- кратное прибавление последней цифры к остатку дает число, кратное 7. (Работает, потому что 49 делится на 7.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Двойное вычитание последняя цифры из оставшейся дает число, кратное 7. (Работает, потому что 21 делится на 7.)	483: 48 - (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	9-кратное вычитан ие последней цифры из оставшейся дает краткое 7.	483: 48 - (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	Если прибавить в 3 раза первую цифру к следующей и записать оставшуюся часть, получится число, кратное 7. (Это работает, потому что 10a + b - 7a = 3a + b; последнее число имеет тот же остаток, что и 10a + b.)	483: 4 × 3 + 8 = 20, 203: 2 × 3 + 0 = 6, 63: 6 × 3 + 3 = 21.
	Добавление двух последних цифр к удвоенному остатку дает число, кратное 7. (Работает, потому что 98 делится на 7.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	Умножьте каждую цифру (справа налево) на цифру в положении позиции в этом шаблоне (слева направо): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (повторяется для цифр, выходящих за пределы сотен тысяч). Сложение результатов дает число, кратное 7.	483,595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + ( 9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Вычислить остаток от каждой пары цифр (справа налево) при делении на 7. Умножьте самый правый остаток на 1, следующий слева на 2 и следующий на 4, повторяя шаблон для пар цифр за пределами сотен тысяч разряда. В результате получается число, кратное 7.	194,536: 19 | 45 | 36; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, поэтому оно не делится на 7 204,540: 20 | 45 | 40; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, поэтому оно делится на 7
8	Если цифра сотен четная, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 8.	624: 24.
	Если цифра сотен нечетная, число, полученное из двух последних цифр плюс 4, должно делиться на 8.	352: 52 + 4 = 56.
	Сложить последнюю цифра в два раза больше остальных. Результат должен делиться на 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Последние три цифры делятся на 8.	34,152: Проверить делимость просто 152: 19 × 8
	Сложить четыре раза сотню с удвоенной цифрой десятков к единице. Результат должен делиться на 8.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	Просуммируйте цифры. Результат должен делиться на 9.	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	Цифра единиц равна 0.	130: единичная цифра равна 0.
11	Сформируйте переменную сумму цифр. Результат должен делиться на 11.	918,082: 9 - 1 + 8-0 + 8-2 = 22 = 2 × 11.
	Сложите цифры в блоках по два справа налево. Результат должен делиться на 11.	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Вычтите последнюю цифру из оставшейся части. Результат должен делиться на 11.	627: 62 - 7 = 55 = 5 × 11.
	Добавьте последнюю цифру к разряду сотен (прибавьте 10 раз последнюю цифру к остальным). Результат должен делиться на 11.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Если количество цифр четное, сложите первую и вычтите последнюю. цифра от остальных. Результат должен делиться на 11.	918,082: количество цифр четное (6) → 1808 + 9-2 = 1815: 81 + 1-5 = 77 = 7 × 11
	Если количество цифр нечетное, из остальных вычтите первую и последнюю цифру. Результат должен делиться на 11.	14 179: количество цифр нечетное (5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12	Оно делится на 3 и на 4.	324: делится на 3 и на 4.
	Вычтите последнюю цифру из двойного остатка. Результат должен делиться на 12.	324: 32 × 2 - 4 = 60 = 5 × 12.
13	Сформируйте переменную сумму блоков из трех справа налево. Результат должен делиться на 13.	2,911,272: 272 - 911 + 2 = -637
	Добавить 4 раза последнюю цифру к оставшейся части. Результат должен делиться на 13.	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	Вычтите две последние цифры из четырехкратного остатка. Результат должен делиться на 13.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	Вычтите 9 раз последнюю цифру из оставшейся части. Результат должен делиться на 13.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	Делится на 2 и на 7.	224: делится на 2 и на 7.
	Складываем последние две цифры к двойному остатку. Результат должен делиться на 14.	364: 3 × 2 + 64 = 70.. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	Делится на 3 и 5.	390: делится на 3 и на 5.
16	Если цифра тысяч четная, число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 16.	254,176: 176.
	Если цифра тысяч нечетная, число, образованное последними тремя цифрами плюс 8, должно делиться на 16.	3408: 408 + 8 = 416.
	Добавить последние две цифры к четырем раз остальное. Результат должен делиться на 16.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Последние четыре цифры должны делиться на 16.	157 648: 7 648 = 478 × 16.
17	Вычтите 5 последнюю цифру из оставшейся части.	221: 22 - 1 × 5 = 17.
	Вычтите две последние цифры из двух остатков.	4,675: 46 × 2 - 75 = 17.
	Добавьте 9 раз последнюю цифру к 5-кратному остатку. Отбросьте конечные нули.	4,675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187.
18	Делится на 2 и на 9.	342: делится на 2 и на 9.
19	Добавить последнюю цифру к остальным.	437: 43 + 7 × 2 = 57.
	Сложить 4 раза последние две цифры к остатку.	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	Оно делится на 10, а разряд десятков четный.	360: делится на 10, а 6 четно.
	Число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.	480: 80 делится на 20.
21	Двойное вычитание последней цифры из оставшейся дает число, кратное 21.	168: 16 - 8 × 2 = 0.
	Делится на 3 и на 7.	231: делится на 3 и на 7.
22	Делится на 2 и на 11.	352 : делится на 2 и на 11.
23	Прибавить 7 последнюю цифру к остатку.	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	Сложить 3 раза последние две цифры к остатку.	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
24	Он делится на 3 и на 8.	552: делится на 3 и на 8.
25	Изучите число, образованное два последними цифрами.	134,250: 50 делится на 25.
26	Оно делится на 2 и на 13.	156: делится на 2 и 13
	Вычитание 5-кратной последней цифры из 2-кратного остатка числа дает кратное 26	1248: (124 × 2) - (8 × 5) = 208 = 26 × 8
27	Суммируйте цифры в блоках по три справа налево.	2 644 272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Вычтите 8 раз последнюю цифру из оставшейся части.	621: 62 - 1 × 8 = 54.
	Вычтите последние две цифры из 8-кратного остатка.	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	Делится на 4 и на 7.	140: делится на 4 и на 7.
29	Трижды прибавить последнюю цифру к оставшейся цифре.	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	Добавьте 9 раз последние две цифры к оставшейся части.	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
30	Делится на 3 и на 10.	270: делится на 3 и 10.

Делимость на 2

Сначала возьмите любое число (в данном примере это будет 376) и запишите последнюю цифру в числе, отбрасывая остальные цифры. Затем возьмите эту цифру (6), игнорируя остальную часть числа, и определите, делится ли оно на 2. Если оно делится на 2, то исходное число делится на 2.

Пример

1. 376 (Исходный число)
2. 376(взять последнюю цифру)
3. 6 ÷ 2 = 3 (проверить, делится ли последняя цифра на 2)
4. 376 ÷ 2 = 188 (если последняя цифра делится на 2, тогда все число делится на 2)

Делимость на 3 или 9

Сначала возьмите любое число (в этом примере 492) и сложите каждую цифру в число (4 + 9 + 2 = 15). Затем возьмите эту сумму (15) и определите, делится ли она на 3. Исходное число делится на 3 (или 9) тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3 (или 9).

Если число является умножением 3 последовательных чисел, то это число всегда делится на 3. Это полезно, когда число принимает форму (n × (n - 1) × (n + 1))

Пример.

1. 492 (Исходное число)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (Сложите каждую отдельную цифру)
3. 15 делится на 3, в месте мы можем остановиться. В качестве альтернативы мы можем продолжить использовать тот же метод, если число еще слишком велико:
4. 1 + 5 = 6 (сложите каждую отдельную цифру вместе)
5. 6 ÷ 3 = 2 (проверьте, не полученное число делится на 3)
6. 492 ÷ 3 = 164 (Если число, полученное с помощью правил, делится на 3, то целое число делится на 3)

Пример.

1. 336 (Исходное число)
2. 6 × 7 × 8 = 336
3. 336 ÷ 3 = 112

Делимость на 4

Основным правилом делимости на 4 что если число, образованное двумя последними цифрами в том числе, делится на 4, исходное число делится на 4; это потому, что 100 делится на 4, и поэтому добавление сотен, тысяч и т. д. - это просто добавление другого числа, которое делится на 4. Когда какое-либо число является двузначным числом, которое, как вы знаете, делится на 4 (например, 24, 04, 08 и т. Д.), То все число будет делиться на 4 независимо от того, что стоит перед двумя последними цифрами.

В качестве альтернативы можно просто разделить число на 2, а затем проверить результат, чтобы определить, делится ли оно на 2. Если да, то исходное число делится на 4. Кроме того, тест результата совпадает с исходным числом., разделенным на 4.

Пример. . Общее правило

1. 2092 (Исходное число)
2. 2092(Возьмите две последние цифры номера, отбрасывая любые другие цифры)
3. 92 ÷ 4 = 23 (Проверьте, делится ли число на 4)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (Если полученное число делится на 4, то исходное число делится на 4)

Альтернативный пример

1. 1720 (Исходное число)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (Исходное число разделить на 2)
3. 860 ÷ 2 = 430 (Проверить, чтобы увидеть, делится ли результат на 2)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (Если результат делится на 2, то исходное число делится на 4)

Делимость на 5

Делимость на 5 легко определить, проверив последнюю цифру числа (47 5 ) и см. Если оно равно 0 или 5. Если последнее число равно 0 или 5, все число делится на 5.

Если последняя цифра в том числе равно 0, результатом будет оставшаяся цифра. цифры, умноженные на 2. Например, число 40 заканчивается нулем (0), поэтому возьмите оставшиеся цифры (4) и умножьте их на два (4 × 2 = 8). Результат такой же, как результат деления 40 на 5 (40/5 = 8).

Если последняя цифра в номере 5, результатом будут оставшиеся цифры, умноженные на два (2) плюс один (1). Например, число 125 оканчивается на 5, поэтому оставшиеся цифры (12), умножьте их на два (12 × 2 = 24), затем сложите один (24 + 1 = 25). Результат такой же, как результат деления 125 на 5 (125/5 = 25).

Пример. . Если последняя цифра 0

1. 110 (Исходное число)
2. 110(Возьмите последнюю цифру номера и проверьте, равно ли она 0 или 5)
3. 110(это равно 0, взять оставшиеся цифры, отбросив последнюю)
4. 11 × 2 = 22 (результат умножить на 2)
5. 110 ÷ 5 = 22 (результат такой же, как и исходный число, разделенное на 5)

Если последняя цифра 5

1. 85 (Исходное число)
2. 85(Возьмите последнюю цифру и проверьте, равно ли она 0 или 5)
3. 85(Если это равно 5, оставшиеся цифры, отбрасывая последнюю)
4. 8 × 2 = 16 (умножаем результат на 2)
5. 16 + 1 = 17 (прибавляем 1 к результату)
6. 85 ÷ 5 = 17 (результат такой же, как исходное число, деленное на 5)

Делимость на 6

Делимость на 6 путем проверки соответствия числа на предмет как четное число (, делимое на 2), так и делимое на 3. Это лучший тест для использования.

Если число делится на шесть, возьмите исходное число (246) и разделите его на два (246 ÷ 2 = 123). Затем возьмите этот результат и разделите его на три (123 ÷ 3 = 41). Этот результат совпадает с исходным числом, деленным на шесть (246 ÷ 6 = 41).

Пример.

Общее правило

1. 324 (исходное число)
2. 324 ÷ 3 = 108 (проверьте, делится ли исходное число на 3)
3. 324 ÷ 2 = 162 ИЛИ 108 ÷ 2 = 54 (проверьте, делится ли исходное число или результат уравнения на 2)
4. 324 ÷ 6 = 54 (Если любой из тестов на последнем шаге верен, тогда исходное число делится на 6. Кроме того, результат второго теста возвращает тот же результат, что и исходное число, деленное на 6)

Нахождение остатка числа, когда делится на 6

(1, −2, −2, −2, −2 и −2 продолжается для остальных) Нет точки. - Минимальная последовательность значений

(1, 4, 4, 4, 4 и 4 продолжается для остальных) - Положительная последовательность

Умножение самой правой цифры на самую левую цифру в последовательности и умножьте вторую крайнюю правую цифру на вторую левую цифру в ниже и т. д.

Затем вычислите сумму всех значений и возьмите остаток при делении на 6.

Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 6?

Умножение крайней правой цифры = 1 × 7 = 7

Умножение второй крайней правой цифры = 3 × −2 = −6

Третья правая цифра = −16

Крайняя правая четвертая цифра = −10

Крайняя правая пятая цифра = −4

Крайняя правая шестая цифра = −2

Крайняя правая седьмая цифра = −12

Крайняя правая восьмая цифра = −6

Крайняя правая девятая цифра = 0

Крайняя правая десятая цифра = −2

Сумма = −51

−51 ≡ 3 (мод. 6)

Остаток = 3

Делимость на 7

Делимость на 7 может быть проверена рекурсивным методом. Число в 10x + y делится на 7 тогда и только тогда, когда x - 2y делится на 7. Другими словами, дважды вычтите последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Продолжайте делать это до тех пор, пока не будет получено число, для которого известно, делится ли оно на 7. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью процедуры, делится на 7. Например, число 371 : 37 - (2 × 1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = −7; таким образом, поскольку −7 делится на 7, 371 делится на 7.

Аналогично, число вида 10x + y делится на 7 тогда и только тогда, когда x + 5y делится на 7. Итак, прибавьте пять умножьте последнее цифру на число, образованным оставшимися цифрами, и продолжайте делать это до тех пор, пока не будет известно число, для которого оно делится ли оно на 7.

Другой метод - умножение на 3. Число 10x + y имеет тот же остаток при делении на 7 как 3x + y. Нужно умножить крайнюю левую цифру исходного числа на 3, добавить следующую цифру, взять остаток при делении на 7 и продолжить с начала: умножить на 3, добавить следующую цифру и т. Д. Например, число 371: 3 × 3 + 7 = 16, остаток 2 и 2 × 3 + 1 = 7. Этот метод можно использовать для нахождения остатка от деления на 7.

Более сложный алгоритм проверки делимости на 7 использует тот факт, что 10 ≡ 1, 10 ≡ 3, 10 2, 10 ≡ 6, 10 4, 10 5, 10 1,... (mod 7). Возьмите каждую цифру числа (371) в обратном порядке (173), умножая их последовательно на цифры 1, 3, 2, 6, 4, 5, повторяя с этой последовательностью множителей столько, сколько необходимо (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5,...) и сложение произведений (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7 (следовательно, 371 делится на 7, так как 28).

Этот метод можно упростить, убрав необходимость умножать. Все, что потребуется с этим упрощением, - это запомнить приведенную выше последовательность (132645...), а также сложить и вычесть, но всегда работать с однозначными числами.

Упрощение выглядит следующим образом:

• Возьмем, например, число 371
• Заменить все вхождения 7, 8или 9 на 0, 1и 2 соответственно. В этом примере мы получаем: 301 . Этот второй шаг можнопропустить, за исключением крайней левой цифры, но последующий за ним может облегчить вычисления в дополнительном.
• Теперь преобразуйте первую цифру (3) в следующую цифру в ниже 13264513.. В нашем примере 3 становится 2.
• Добавьте цифру результат шага предыдущего (2) ко второй цифре числа и замените результат на обе цифры, оставив все оставшиеся цифры неизменными: 2 + 0 = 2. Таким образом, 301 становится 21.
• . Повторяйте вычисление до тех пор, пока у вас не будет узнаваемого кратного 7, чтобы убедиться, что число от 0 до 6. Итак, начиная с 21 (которое является узнаваемым кратным 7), возьмите первую цифру. (2) и преобразуйте его в следующей последовательности в приведенной выше ниже: 2 6. Затем добавьте это вторая цифре: 6 + 1 = 7.
• Если в любой момент первая цифра будет 8 или 9, они станут 1 или 2 соответственно. Но если это 7, оно должно стать 0, только если не последуют другие цифры. В случае его следует просто отбросить. Это связано с тем, что 7 превратилось в 0, а число, как минимум две цифры перед десятичной точкой, не начинаются с 0, что бесполезно. В соответствии с этим наше 7 становится 0.

. Если с помощью этой процедуры вы получите 0 или любое распознаваемое число, кратное 7, то исходное число будет кратным 7. Если вы получите любое число из От 1 до 6, что укажет, сколько вы должны вычесть из исходного числа, чтобы получить число, краткое 7. Другими словами, вы найдете остаток от деления число на 7. Например, возьмите число 186 :

• Сначала замените 8 на 1: 116 .
• Теперь замените 1 на следующую цифру в введите (3), добавьте ее во вторую цифру и напишите результат вместо обоих: 3 + 1 = 4. Итак, 116 теперь становится 46.
• Повторите количества, так как число больше 7. Теперь 4 становится 5, которое нужно к 6 То есть 11.
• становится еще раз: 1 3, которое добавляется координируется второй цифре (1): 3 + 1 = 4.

Теперь у у нас есть число меньше 7, и это число (4) это остаток от деления 186/7. Итак, 186 минус 4, что составляет 182, должно быть кратно 7.

Примечание. Причина, по которой это работает, заключается в том, что если мы имеем: a + b = c и b кратно любому заданному компьютеру n, тогда a и c обязательно дадут одинаковый остаток при делении на n . Другими словами, в 2 + 7 = 9, 7 делится на 7. Таким образом, 2 и 9 должны иметь одно и то же напоминание при делении на 7. Остаток равенства 2.

Следовательно, если число является кратным 7 (то есть: остаток от n / 7 равен 0), то добавление (или вычитание) кратных 7 не может изменить это свойство.

Эта процедура, как выше для мер объяснения, просто вычитает понемногу кратные 7 из исходного числа до тех пор, пока не будет достигнуто число достаточно маленькое, чтобы мы могли запомнить, кратно ли 7. Если 1 становится 3 в следующей десятичной позиции, это то же самое, что вычесть 10 × 10 в 3 × 10. И это фактически то же самое, что вычесть 7 × 10 (очевидно, кратное 7) из 10 × 10.

Аналогично, когда вы превращаете 3 в 2 в следующей десятичной позиции, вы превращаете 30 × 10 в 2 × 10, что аналогично вычитанию 30 × 10−28 × 10, и это снова вычитая число, кратное 7. Та же причина использования для всех остальных преобразований:

• 20 × 10 - 6 × 10 = 14 × 10
• 60 × 10 - 4 × 10 = 56 × 10
• 40 × 10 - 5 × 10 = 35 × 10
• 50 × 10 - 1 × 10 = 49 × 10

Пример первого метода . 1050 → 105-0 = 105 → 10-10 = 0. ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Пример второго метода . 1050 → 0501 (обратный) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (умножить и сложить). ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Ведический метод деления на оскал . Делимость на семь можно проверить умножением на эхадику. Преобразуйте делитель семь в семейство девять, умножив на семь. 7 × 7 = 49. Добавьте единицу, отбросьте цифру единиц и возьмите 5, эхадику, в качестве множителя. Начните справа. Умножьте на 5, прибавьте произведение к следующей цифре слева. Запишите результат в под этой цифрой. Повторите этот метод умножения цифры на пять и прибавления этого произведения к числу десятков. Добавьте результат к следующей цифре слева. Запишите результат под цифрой. Продолжайте до конца. Если конечный результат равен нулю или кратен семи, тогда да, число делится на семь. В противном случае это не так. Это соответствует ведическому идеалу, однострочная запись.

Пример ведического метода:

Делится ли 438 722 025 на семь? Множитель = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 ДА

Метод делимости Польмана - Масса на 7 . Метод Полмана - Масса обеспечивает быстрое решение, которое может определить, делятся ли большинство целых чисел на семь, за три шага или меньше. Этот метод может быть полезен на соревнованиях по математике, таким как MATHCOUNTS, где время является фактором для определения решений без калькулятора в раунде спринта.

Шаг A: Если целое число равно 1000 или меньше, вычтите дважды последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Если результат кратен семи, то будет исходное (и наоборот). Например:

112 ->11 - (2 × 2) = 11 - 4 = 7 ДА 98 ->9 - (8 × 2) = 9 - 16 = −7 ДА 634 ->63 - (4 × 2) = 63 - 8 = 55 НЕТ

Время 1 001 делится на семь, возникают интересный шаблон для повторяющихся наборов из 1, 2 или 3 цифр, которые образуют 6-значные числа (начальные нули разрешены) в том, что все такие числа делятся на семь. Например:

001001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 · 10 1101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15873 222,222 / 7 = 31,746 999,999 / 7 = 142857

576,576 / 7 = 82368

Для всех приведенных выше примеров вычитание первых трех цифр из последних трех дает результат, кратный семь. Обратите внимание, что ведущие нули разрешены для образования 6-значного шаблона.

Это явление лежит в основе шагов B и C.

Шаг B: если целое число находится в диапазоне от 1001 до одного миллиона, найдите повторяющийся образец из 1, 2 или 3 цифр, который образует 6-значное число, близкое к целому (разрешены ведущие нули, они могут помочь вам визуализировать шаблон). Если положительная разница меньше 1000, примените шаг A. Это можно сделать, вычтя первые три цифры из последних трех цифр. Например:

341,355 - 341,341 = 14 ->1 - (4 × 2) = 1 - 8 = −7 ДА 67,326 - 067 067 = 259 ->25 - (9 × 2) = 25 - 18 = 7 ДА

Тот факт, что 999999 7, может быть это краткое определение делимости целых чисел, превышающих один миллион, путем уменьшения целого числа до 6-значного числа. легко сделать, добавив цифры, оставшиеся от первого шести, к последним шести и выполнить шаг A.

Шаг C: Если целое число больше миллиона, вычтите ближайшее краткое 999999 и примените шаг B. • Для еще больших чисел используйте большие наборы, такие как 12-значные (999 999 999 999) и т. Д. Затем разделите целое число на меньшее число, которое можно решить с помощью шага B. Например:

22,862,420 - (999,999 × 22) = 22,862,420 - 21,999,978 ->862,420 + 22 = 862,442 862,442 ->862-442 (Шаг B) = 420 ->42 - (0 × 2) (Шаг A) = 42 ДА

Это позволяет складывать и вычитать чередующиеся наборы из трех цифр для определения делимости на семь. Понимание этих шаблонов позволяет быстро вычислить делимость семи, как показано в следующих примерах:

Метод делимости Полмана - Масса на 7, примеры:

Делится ли 98 на семь? 98 ->9 - (8 × 2) = 9 - 16 = −7 ДА (Шаг A)

Делится ли 634 на семь? 634 ->63 - (4 × 2) = 63 - 8 = 55 НЕТ (Шаг A)

Делится ли 355,341 на семь? 355 341 - 341 341 = 14 000 (Шаг B) ->014 - 000 (Шаг B) ->14 = 1 - (4 × 2) (Шаг A) = 1 - 8 = −7 ДА

42 341 530 делится к семи? 42,341,530 ->341,530 + 42 = 341,572 (Шаг C) 341,572 - 341,341 = 231 (Шаг B) 231 ->23 - (1 × 2) = 23-2 = 21 ДА (Шаг A)

Использование быстрого чередование сложений и вычитаний: 42 341 530 ->530 - 341 + 42 = 189 + 42 = 231 ->23 - (1 × 2) = 21 ДА

Умножение на 3 метода делимости на 7, примеры:

Is 98 делится на семь? 98 ->9 остаток 2 ->2 × 3 + 8 = 14 ДА

Делится ли 634 на семь? 634 ->6 × 3 + 3 = 21 ->остаток 0 ->0 × 3 + 4 = 4 НЕТ

Делится ли 355,341 на семь? 3 * 3 + 5 = 14 ->остаток 0 ->0 × 3 + 5 = 5 ->5 × 3 + 3 = 18 ->остаток 4 ->4 × 3 + 4 = 16 ->остаток 2 ->2 × 3 + 1 = 7 ДА

Найти остаток от 1036125837, деленный на 7 1 × 3 + 0 = 3 3 × 3 + 3 = 12 остаток 5 5 × 3 + 6 = 21 остаток 0 0 × 3 + 1 = 1 1 × 3 + 2 = 5 5 × 3 + 5 = 20 остаток 6 6 × 3 + 8 = 26 остаток 5 5 × 3 + 3 = 18 остаток 4 4 × 3 + 7 = 19 остаток 5 Ответ 5

Нахождение остатка числа при делении на 7

7 - (1, 3, 2, −1, −3, −2, цикл повторяется для следующей шести цифр) Период: 6 цифр. Повторяющиеся числа: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Минимальная величина следовать. (1, 3, 2, 6, 4, 5, цикл повторяется для следующих цифр) Период: 6. Повторяющиеся числа: 1, 3, 2, 6, 4, 5. Положительная последовательность

Умножьте крайнюю правую цифру на крайнюю левую цифру в последовательности и умножьте вторую самую правую цифру на вторую левую цифру в последней последовательности в последовательности и так далее и так далее. Затем вычислите сумму всех значений и возьмите модуль 7.. Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 7?.. Умножение крайней правой цифры = 1 × 7 = 7.. Умножение второй крайней правой цифры = 3 × 3 = 9.. Третья правая цифра = 8 × 2 = 16.. Крайняя правая четвертая цифра = 5 × −1 = −5.. Крайняя правая пятая цифра = 2 × −3 = −6.. Крайняя правая шестая цифра = 1 × −2 = - 2.. Крайняя правая седьмая цифра = 6 × 1 = 6.. Крайняя правая восьмая цифра = 3 × 3 = 9.. Крайняя правая девятая цифра = 0.. Десятая крайняя правая цифра = 1 × -1 = -1.. Сумма = 33.. 33 модуль 7 = 5.. Остаток = 5

Метод парных цифр делимости на 7

Этот метод использует шаблон 1, −3, 2для пар цифр. То есть, делимость любого числа на семь можно проверить, сначала разделив число на пары цифр, а затем применив алгоритм к трех парам цифр (шесть цифр). Если число меньше шести цифр, заполняйте ноль справа, пока не будет шесть цифр. Если число больше шести цифр, повторите цикл для следующей шестизначной группы и затем сложите результаты. Повторяйте алгоритм, пока результат не будет небольшим числом. Исходное число делится на семь тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этого алгоритма, делится на семь. Этот метод особенно подходит для больших чисел.

Пример 1:. Проверяемое число - 157514. Сначала мы разделяем число на три пары цифр: 15, 75 и 14.. Затем применяем алгоритм: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182. Так как полученное число 182 меньше шести цифр, мы добавляем нули в правую часть, пока не получится шесть цифр.. Затем мы снова применяем наш алгоритм: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = −42. Результат - 42 делится на семь, поэтому исходное число 157514 делится на семь.

Пример 2:. Число для тестирования: 15751537186.. (1× 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77. Результат −77 делится на семь, поэтому исходное число 15751537186 ​​делится на семь.

Другой метод пары цифр для делимости на 7

Метод

Это нерекурсивный метод нахождения остатка, оставшегося от числа при делении на 7:

1. Разделите число на пары цифр, начиная с одно место. При необходимости добавьте к числу 0, чтобы завершить последнюю пару.
2. Вычислить остатки, оставшиеся от каждой пары цифр при делении на 7.
3. Умножьте остатки на соответствующий множитель из последовательности 1, 2, 4, 1, 2, 4,…: остаток от пары цифр, состоящей из разряда единиц и разряда десятков, следует умножить на 1, сотни и тысячи на 2, десять тысяч и сотни тысяч на 4, миллион и снова десять миллионов на 1 и т. д.
4. Вычислить остатки, оставшиеся от каждого произведения при делении на 7.
5. Сложите эти остатки.
6. Остаток суммы при делении на 7 равен остаток заданного числа при делении на 7.

Например:

Число 194 536 оставляет остаток 6 при делении на 7.

Число 510 517 813 оставляет остаток 1 при делении на 7.

Доказательство правильности метода

Метод основан на наблюдении, что 100 оставляет остаток 2 при делении на 7. И поскольку мы нарушаем число в парах цифр, по сути, мы имеем степень 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10,000 mod 7 = 2 ^ 2 = 4

1000000 mod 7 = 2 ^ 3 = 8; 8 по модулю 7 = 1

10,0000,000 по модулю 7 = 2 ^ 4 = 16; 16 по модулю 7 = 2

1,000,0000,000 по модулю 7 = 2 ^ 5 = 32; 32 mod 7 = 4

И так далее.

Правильность метода затем устанавливается следующей цепочкой равенств:

Пусть N будет заданным числом $a\; 2\; n\; a\; 2\; n\; -\; 1...\; a\; 2\; a\; 1\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{2n\}\; a\_\; \{2n-1\}...\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{1\}\}\}\}$.

$a\; 2\; n\; a\; 2\; n\; -\; 1...\; a\; 2\; a\; 1\; ¯\; mod\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{2n\}\; a\_\; \{2n-1\}...\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; mod\; 7\}$

=$[\sum \; k\; =\; 1\; n\; (a\; 2\; ka\; 2\; k\; -\; 1)\; \times \; 10\; 2\; k\; -\; 2]\; mod\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (a\_\; \{2k\}\; a\_\; \{2k-1\})\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2k-2\}]\; \{\backslash \; bmod\; \{7\}\}\}$

= $\sum \; k\; =\; 1\; n\; (a\; 2\; ka\; 2\; k\; -\; 1\; \times \; 10\; 2\; k\; -\; 2)\; mod\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (a\_\; \{2k\}\; a\_\; \{2k-1\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2k-2\})\; \{\backslash \; bmod\; \{7\}\}\}$

= $\sum \; k\; =\; 1\; n\; (a\; 2\; ka\; 2\; k\; -\; 1\; mod\; 7)\; \times \; (10\; 2\; k\; -\; 2\; mod\; 7)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (a\_\; \{2k\}\; a\_\; \{2k-1\}\; \{\backslash \; bmod\; \{7\}\})\; \backslash \; times\; (10\; ^\; \{2k-2\}\; \{\backslash \; bmod\; \{7\}\})\}$

Делимость на 13

Проверка остатка 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, цикл продолжается.) Если вас не устраивают отрицательные числа, используйте эту последовательность. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

. Умножьте крайнюю правую цифру числа на крайнее левое число в последовательности, показанной выше, и вторую самую правую цифру на вторую крайнюю левую цифру числа в последовательность. Цикл продолжается.

Пример: Что является остатком от деления 321 на 13?. Используя первую последовательность,. Ответ: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17. Остаток = −17 по модулю 13 = 9

Пример: каков остаток от деления 1234567 на 13?. Используя вторую последовательность,. Ответ: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 по модулю 13 = 9. Остаток = 9

Свойства делимости могут быть выполнены двумя способами, в зависимости от типа делителя.

Составные делители

Число делится на данный делитель, если оно делится на наибольшую степень каждого из его простых множителей. Например, чтобы определить делимость на 36, проверьте делимость на 4 и на 9. Обратите внимание, что проверки 3 и 12 или 2 и 18 будет недостаточно. Может быть полезна таблица простых множителей.

A составной делитель также может иметь правило, сформированное с использованием той же процедуры, что и для простого делителя, приведенной ниже оговоркой, что задействованные манипуляции могут вводить какой-либо множитель, который присутствует в делителе. Например, нельзя составить правило для 14, которое включает умножение уравнения на 7. Это не проблема для простых делителей, потому что они не имеют меньших множителей.

Простые делители

Цель состоит в том, чтобы найти обратное к 10 по модулю рассматриваемое простое число (не работает для 2 или 5) и использовать это как множитель для сделайте делимость исходного числа на это простое число зависимым от делимости нового (обычно меньшего) числа на то же простое число. Используя 31 в качестве примера, поскольку 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, мы получаем использование y - 3x в таблице выше. Точно так же, поскольку 10 × (28) = 280 = 1 mod 31, мы получаем дополнительное правило y + 28x того же типа - наш выбор сложения или вычитания продиктован арифметическим удобством меньшего значения. Фактически, это правило для простых делителей, кроме 2 и 5, на самом деле является правилом делимости на любое целое число, относительно простое с 10 (включая 33 и 39; см. Таблицу ниже). Вот почему главное условие делимости в таблицах выше и ниже любого числа, сравнительно простое до 10, имеет одинаковую формулу (добавление или вычитание некоторого кратного последней цифры из остальной части числа).

Примечательные примеры

В приведенных ниже приведенных правилах для некоторых наиболее примечательных делителей:

Делитель	Условие делимости	Примеры
31	Трижды вычитание последней цифра из остальных.	837: 83 - 3 × 7 = 62
32	Число, образованное последними пятью цифрами, делится на 32.	25,135,520: 35,520 = 1110 × 32
	Если десять Цифра тысяч четная, изучите число, образованное последними четырьмя цифрами.	41,312: 1312.
	Если цифра тысяч нечетная, проверьте число, образованное последними четырьмя цифрами плюс 16.	254,176: 4176 + 16 = 4192.
	Добавьте последние две цифры к 4-кратному остатку.	1312: (13 × 4) + 12 = 64.
33	Добавить 10 раз последнюю цифру к оставшейся части.	627: 62 + 10 × 7 = 132,. 13 + 10 × 2 = 33.
	Сложите цифры в блоках по два справа налево.	2145: 21 + 45 = 66.
	Оно делится на 3 и на 11.	627: 62 - 7 = 55 и 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	Число должно делиться на 7, оканчиваясь на 0 или 5.
37	Возьмите цифры в блоках по три справа налево и сложите каждый блок.	2 651 272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37 × 25.
	Вычтите 11 раз последнюю цифру из оставшейся части.	925: 92 - (5 × 11) = 37.
39	Оно делится на 3 и на 13.	351: 35 - 1 = 34 и 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
	4 раза прибавить последнюю цифру к остатку.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	Суммируйте цифры в блоках по пять налево.	72 841 536 727: 7 + 28 415 + 36 727 = 65 149 = 41 × 1589.
	Вычтите в 4 раза последнюю цифру из оставшейся части.	738: 73 - 8 × 4 = 41.
43	Добавьте 13 раз последнюю цифру к оставшейся части.	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741,. 374 + 1 × 13 = 387,. 38 + 7 × 13 = 129,. 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
	Вычтите 3 раза последние две цифры из остальных.	36,249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	Число должно делиться на 9, заканчиваться на 0 или 5.	2025: оканчивается на 5 и 2+ 0 + 2 + 5 = 9.
47	Вычтите 14 последнюю цифру из оставшейся части.	1,642,979: 164297 - 9 × 14 = 164171,. 16417 - 14 = 16403,. 1640 - 3 × 14 = 1598,. 159 - 8 × 14 = 47.
	Добавьте последние две цифры к 6-кратному остатку.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	Добавьте 5 раз последнюю цифру к оставшейся части.	1,127: 112+ (7 × 5) = 147.. 147: 14 + (7 × 5) = 49
	Сложите последние две цифры к двойному остатку.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	Последние две цифры - 00 или 50.	134,250: 50.
51	Число должно делиться на 3 и 17.	459: 4 × 2 - 59 = -51 и 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	Вычтите 5 раз последнюю цифру из оставшейся части.	204: 20- (4 × 5) = 0
	Вычтите две последние цифры из двукратного остатка.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	Добавить последнюю цифру в 16 раз к оставшейся части.	3657: 365+ (7 × 16) = 477 = 9 × 53
	Вычтите последние две цифры из 6-кратного остатка.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	Число должно делиться на 11, оканчиваясь на 0 или 5.
57	Число должно делиться на 3 и 19.	3591 : 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19 и 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
	Вычтите 17 раз последнюю цифру из оставшейся части.	3591: 359 - 17 = 342,. 34 - 2 × 17 = 0.
59	Добавить 6 раз последнюю цифру к оставшейся части.	295: 29 + 5 × 6 = 59
61	Вычтите 6 раз последнюю цифру из оставшейся части.	732: 73- (2 × 6) = 61
64	Число, образованное последними шестью цифрами, должно делиться на 64.	2 640 000 делится на 64.
65	Число должен делиться на 13, оканчиваясь на 0 или 5.
67	Вычтите два последних цифры из оставшейся части.	9112: 91 - 12 × 2 = 67
	Вычтите последнюю цифру в 20 раз из остатка.	4489: 448-9 × 20 = 448-180 = 268.
69	Число должно делиться на 3 и 23.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, и 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
	Сложить 7 раз последняя цифра к остальным.	345: 34 + 5 × 7 = 69
71	Вычтите 7 раз последнюю цифру из остатка.	852: 85- (2 × 7) = 71
73	Сформируйте переменную сумму блоков по четыре справа налево.	220,241: 241 - 22 = 219.
	Сложить последнюю цифру 22 раза из оставшейся части.	5329: 532 + 22 × 9 = 730,. 7 + 22 × 3 = 73.
75	Число должно делиться на 3, оканчиваясь на 00, 25, 50 или 75.
77	Число делится на 7 и 11.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6 и 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
	Сформируйте чередующуюся сумму блоков трех справа налево.	76,923: 923 - 76 = 847.
79	Добавьте 8 раз последнюю цифру к оставшейся части.	711: 71 + 1 × 8 = 79
81	Вычтите 8 раз последнюю цифру из остатка.	162: 16- (2 × 8) = 0
83	Добавить последнюю цифру в 25 раз к оставшейся части.	581: 58+ (1 × 25) = 83
	Добавить последние три цифры к четырехкратному остатку.	38,014: (4 × 38) + 14 = 166
85	Число должно делиться на 17 и оканчиваться на 0 или 5.	30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17 × 18. И число заканчивается на 5.
87	Вычтите 26 раз последнюю цифру из оставшейся части.	15138: 1513 - 8 × 26 = 1305,. 130 - 5 × 26 = 0.
89	Добавить 9 раз последнюю цифру к оставшейся части.	801: 80 + 1 × 9 = 89
	Сложите последние две цифры к одиннадцатикратному остатку.	712: 12 + (7 × 11) = 89
91	Вычтите 9 раз последнюю цифру из оставшейся части.	182: 18 - (2 × 9) = 0
	Сформировать переменную сумму блоков из трех справа налево.	5,274,997: 5 - 274 + 997 = 728
	Число делится на 7 и 13.	8281: 828 + 4 = 832,83 + 8 = 91 828- 2 = 826. 82-12 = 70.
95	Число должно делиться на 19 и оканчиваться на 0 или 5.	51,585: 5158 + 10 = 5168,. 516 + 16 = 532,. 53 + 4 = 57 = 19 × 3. И число заканчивается на 5.
97	Вычтите последнюю цифру 29 раз из оставшейся части.	291: 29 - (1 × 29) = 0
	Добавить последние две цифры к трехкратному остатку.	485: (3 × 4) + 85 = 97
99	Число делится на 9 и 11.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
	Сложите цифры в блоках по два справа налево.	144,837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	Заканчивается минимум двумя нулями.	14100: В конце два нуля.
101	Сформируйте чередующуюся сумму двух блоков справа налево.	40,299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	Добавить 31 раз последнюю цифру к оставшейся части.	585658: 58565 + (8 × 31) = 58813. 58813: 103 = 571
	Вычтите две последние цифры из трехкратного остатка.	5356: (53 × 3) - 56 = 103
107	Вычтите 32 раза последнюю цифру из оставшейся части.	428: 42 - (8 × 32) = -214
	Вычтите последние две цифры из 7-кратного остатка.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	Добавьте 11 раз последнюю цифру к оставшейся части.	654: 65 + (11 × 4) = 109
111	Сложите цифры в блоках по три справа налево.	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	Добавить в 34 раза последнюю цифру из оставшейся части.	3842: 384 + 34 × 2 = 452,. 45 + 34 × 2 = 113.
121	12-кратное вычитание последней цифры из оставшейся части.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	Число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 125.	2125 делится на 125.
127	Вычтите 38 раз последнюю цифру из оставшейся части.	4953: 495 - 38 × 3 = 381,. 38 - 38 × 1 = 0.
128	Число, образованное последними семью цифрами, должно делиться на 128.	11,280,000 делится на 128.
131	Вычтите последнюю цифру в 13 раз из оставшейся части.	1834: 183 - 13 × 4 = 131,. 13 - 13 = 0.
137	Сформируйте переменную сумму четырех блоков справа налево.	340,171: 171 - 34 = 137.
139	Сложить в 14 раз последнюю цифру из оставшейся части.	1946: 194 + 14 × 6 = 278,. 27 + 14 × 8 = 139.
143	Сформируйте чередующуюся сумму блоков трех справа налево.	1,774,487: 1 - 774 + 487 = -286
	Добавить 43 раза последнюю цифру к оставшейся части.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001,. 100 + 43 = 143.
149	Складываем последнюю цифру в 15 раз из оставшейся части.	2235: 223 + 15 × 5 = 298,. 29 + 15 × 8 = 149.
151	Вычтите 15 раз последнюю цифру из оставшейся части.	66,893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151 × 44.
157	Вычтите в 47 раз последнюю цифру из оставшейся части.	7536: 753 - 47 × 6 = 471,. 47 - 47 = 0.
163	Добавить в 49 раз последнюю цифру к оставшейся части.	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163 × 19.
167	Вычтите 5 раз последние две цифры из оставшейся части.	53,774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	Добавить 52 раза последнюю цифру к оставшейся части.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211,. 121 + 52 = 173.
179	Добавить 18 раз последнюю цифру к оставшейся части.	3222: 322 + 18 × 2 = 358,. 35 + 18 × 8 = 179.
181	Вычтите 18 раз последнюю цифру из оставшейся части.	3258: 325 - 18 × 8 = 181,. 18 - 18 = 0.
191	Вычтите последнюю цифру 19 раз из оставшейся части.	3629: 362-19 × 9 = 191,. 19-19 = 0.
193	Добавить 58-кратную последнюю цифру к оставшейся части.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351,. 135 + 58 = 193.
197	Вычтите 59 раз последнюю цифру из оставшейся части.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	Сложить последнюю цифру в 20 раз к оставшейся части.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Последние две цифры номера равны «00», а третья последняя цифра является четным числом.	34 400: третья последняя цифра - 4, а последние две цифры - нули.
211	Вычтите последнюю цифру 21 раз из оставшейся части.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431,. 443 - 21 × 1 = 422,. 42 - 21 × 2 = 0.
223	Добавить в 67 раз последнее цифра остальным.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575,. 557 + 67 × 5 = 892,. 89 + 67 × 2 = 223.
225	Две последние цифры номера число равно «00», «25», «50» или «75», а сумма цифр кратна 9.	15 075: 75 в конце и 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2 × 9.
227	Вычтите последнюю цифру в 68 раз из оставшейся части.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767,. 476 - 68 × 7 = 0.
229	Добавить 23 раза последнюю цифру к оставшейся части.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267,. 526 + 23 × 7 = 687,. 68 + 23 × 7 = 229.
233	Добавить в 70 раз последнее цифра остальным.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058,. 605 + 70 × 8 = 1165,. 116 + 70 × 5 = 466,. 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Возьмите цифры в блоках по семь справа налево и сложите каждый блок.	1,560,000,083: 156 + 83 = 239.
	К оставшейся части прибавить 24 раза последнюю цифру.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736,. 573 + 24 × 6 = 717,. 71 + 24 × 7 = 239.
241	Вычесть в 24 раза последнее цифра остальным.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784,. 578 - 24 × 4 = 482,. 48 - 24 × 2 = 0.
250	Число, образованное последние три цифры должны делиться на 250.	1,327,750 делится на 250.
251	Вычесть последнюю цифру 25 раз из оставшейся части.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275,. 627 - 25 × 5 = 502,. 50 - 25 × 2 = 0.
256	Число, образованное последние восемь цифр должны делиться на 256.	225,600,000 делятся на 256.
257	Вычтите 77 раз последнюю цифру из оставшейся части.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911,. 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	Добавить 79 раз последнюю цифру к оставшейся части.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627,. 762 + 79 × 7 = 1315,. 131 + 79 × 5 = 526,. 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	К оставшейся части прибавить 27 раз последнюю цифру.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263,. 726 + 27 × 3 = 807,. 80 + 27 × 7 = 269.
271	Взять цифры в блоках из пяти справа налево и добавьте каждый блок.	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93224 = 271 × 344.
	Вычтите в 27 раз последнюю цифру из оставшейся части.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317,. 731 - 27 × 7 = 542,. 54 - 27 × 2 = 0.
277	Вычтите в 83 раза последнее цифра от остальных.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925,. 692 - 83 × 5 = 277.
281	Вычтите 28 раз последнюю цифру из оставшейся части.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868,. 786 - 28 × 8 = 562,. 56 - 28 × 2 = 0.
283	Добавить в 85 раз последнее цифра остальным.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773,. 877 + 85 × 3 = 1132,. 113 + 85 × 2 = 283.
293	Добавить в 88 раз последнее цифра остальным.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376,. 937 + 88 × 6 = 1465,. 146 + 88 × 5 = 586,. 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Последние две цифры числа равны «00», и результат суммы цифр должен делиться на 3.	3,300: Результат суммы цифр равен 6, а последние две цифры - нули.
329	Добавьте 33 раза последнюю цифру к оставшейся части.	9541: 954 + 1 × 33 = 954 + 33 = 987. 987 = 3 × 329.
331	Вычтите в 33 раза последнюю цифру из оставшейся части.	22177: 2217-231 = 1986. 1986 = 6 × 331.
333	Сложите цифры по три справа налево.	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	Возьмите цифры в блоках по пять справа налево и сложите каждый блок.	50243409: 43409 + 502 = 43911. 43911 = 369 × 119.
	Добавьте 37 раз последнюю цифру к оставшейся части.	8487: 848 + 7 × 37 = 848 + 259 = 1107.
375	Число, образованное последними 3 цифрами, должно делиться на 125, а сумма всех цифр кратна 3.	140,625: 625 = 125 × 5 и 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6 × 3.
499	Складываем последние три цифры к двойному остатку.	74,351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Заканчивается на 000 или 500.	47,500 делится на 500.
512	Число образованный последними девятью цифрами, должен делиться на 512.	1,512,000,000 делится на 512.
625	Заканчивается на 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 или 9375. Или число, образованное последними четырьмя цифрами, делится на 625.	567,886,875: 6875.
983	Добавить последнее три цифры в семнадцать раз больше остальных.	64878: 64 × 17 + 878 = 1966. 1966 = 2 × 983
987	Сложите последние три цифры к тринадцатикратному остатку.	30597: 30 × 13 + 597 = 987
	Число должно делиться на 329, при этом сумма всех цифр делится на 3.	547785: 5 + 4 + 7 + 7 + 8 + 5 = 36. 36 = 3 × 12 54778 + 5 × 33 = 54943. 5494 + 3 × 33 = 5593. 559 + 3 × 33 = 658. 658 = 2 × 329.
989	Сложите последние три цифры к одиннадцатым оставшимся цифрам.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
	Число должно делиться на 23 и 43.	1978: 197 + 56 = 253. 253 = 11 × 23 197 + 104 = 301. 301 = 7 × 43.
993	Сложите последние три цифры к семикратному остатку.	986049: 49 + 6902 = 6951. 6951 = 7 × 993.
	Число должно делиться на 331, при этом сумма всех цифр должна делиться на 3.	8937: 8 + 7 = 15. 15 = 3 × 5. (Примечание: 9 и 3 не обязательно должны быть в сумме, они делятся на 3.). 893-231 = 662. 662 = 2 × 331.
997	Сложите последние три цифры к трехкратному остатку.	157,526: 157 × 3 + 526 = 997
999	Сложите цифры блоками по три справа налево.	235,764: 235 + 764 = 999
1000	Заканчивается минимум тремя нулями.	2000 заканчивается тремя нулями

Чтобы проверить делимость на D, где D заканчивается на 1, 3, 7 или 9, можно использовать следующий метод. Найдите любое число, кратное D, оканчивающееся на 9. (Если D заканчивается соответственно на 1, 3, 7 или 9, тогда умножьте на 9, 3, 7 или 1.) Затем добавьте 1 и разделите на 10, обозначив результат как m. Тогда число N = 10t + q делится на D тогда и только тогда, когда mq + t делится на D. Если число слишком велико, вы также можете разбить его на несколько строк по e цифр в каждой, удовлетворяя либо 10 = 1 или 10 = -1 (mod D). Сумма (или альтернативная сумма) чисел имеет ту же делимость, что и исходная.

Например, чтобы определить, делится ли 913 = 10 × 91 + 3 на 11, найдите, что m = (11 × 9 + 1) ÷ 10 = 10. Тогда mq + t = 10 × 3 + 91 = 121; это делится на 11 (с частным 11), поэтому 913 также делится на 11. В качестве другого примера, чтобы определить, делится ли 689 = 10 × 68 + 9 на 53, найдите, что m = (53 × 3 + 1) ÷ 10 = 16. Тогда mq + t = 16 × 9 + 68 = 212, что делится на 53 (с частным 4); поэтому 689 также делится на 53.

В качестве альтернативы любое число Q = 10c + d делится на n = 10a + b, так что gcd (n, 2, 5) = 1, если c + D ( n) d = An для некоторого целого числа A, где: $D\; (n)\; \equiv \; \{9\; a\; +\; 1,\; если\; n\; =\; 10a\; +\; 1\; 3\; a\; +\; 1,\; если\; n\; =\; 10a\; +\; 3\; 7\; a\; +\; 5,\; если\; n\; =\; 10a\; +\; 7\; a\; +\; 1,\; если\; n\; =\; 10a\; +\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 9a\; +\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{=\; 10a\; +\; 1\; \}\}\; \backslash \backslash \; 3a\; +\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{=\; 10a\; +\; 3\}\}\; \backslash \backslash \; 7a\; +\; 5,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{=\; 10a\; +\; 7\; \}\}\; \backslash \backslash \; a\; +\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{=\; 10a\; +\; 9\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; \backslash \}$

Первые несколько членов последовательности, сгенерированной D ( n) равны 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (последовательность A333448 в OEIS ).

Кусочная форма D (n) и порожденная ею последовательность были впервые опубликованы болгарским математиком Иваном Стойковым в марте 2020 года.

Доказательство с использованием базовой алгебры

Многие из более простых правил можно создать, используя только алгебраические манипуляции, создавая биномы и переставляя их. Путем записи числа в виде суммы каждой цифры, умноженной на степень 10, можно управлять мощностью каждой цифры индивидуально.

Случай, когда все цифры суммируются

Этот метод работает для делителей, которые являются множителями 10-1 = 9.

Используя 3 в качестве примера, 3 делит 9 = 10-1. Это означает $10\; \equiv \; 1\; (mod\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\}$(см. модульная арифметика ). То же самое для всех высших степеней 10: $10\; n\; \equiv \; 1\; n\; \equiv \; 1\; (mod\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\}$Все они конгруэнтны 1 по модулю 3. Так как две вещи, конгруэнтные по модулю 3, либо оба делятся на 3, либо оба нет, мы можем поменять местами значения, конгруэнтные по модулю 3. Итак, в таком числе, как следующее, мы можем заменить все степени 10 на 1:

$100\; \cdot \; a\; +\; 10\; \cdot \; b\; +\; 1\; \cdot \; c\; \equiv \; (1)\; a\; +\; (1)\; b\; +\; (1)\; c\; (\; mod\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 10\; \backslash \; cdot\; b\; +\; 1\; \backslash \; cdot\; c\; \backslash \; Equiv\; (1)\; a\; +\; (1)\; b\; +\; (1)\; c\; \{\backslash \; pmod\; \{3\}\}\}$

, что и есть сумма цифр.

Случай, когда используется переменная сумма цифр.

Этот метод работает для делителей, которые являются множителями 10 + 1 = 11.

Используя 11 в качестве примера, 11 делит 11 = 10 + 1. Это означает $10\; \equiv \; -\; 1\; (mod\; 11)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; Equiv\; -1\; \{\backslash \; pmod\; \{11\}\}\}$. Для старших степеней 10 они конгруэнтны 1 для четных степеней и конгруэнтны -1 для нечетных степеней:

$10\; n\; \equiv \; (-\; 1)\; n\; \equiv \; \{1,\; если\; n\; четно\; -\; 1,\; если\; n\; нечетно\; (мод\; 11).\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{четно\}\}\; \backslash \backslash \; -\; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{is\; odd\}\}\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\; \{\backslash \; pmod\; \{11\}\}.\}$

Как и в предыдущем случае, мы можем заменить степени 10 на конгруэнтные значения:

$1000\; \cdot \; a\; +\; 100\; \cdot \; b\; +\; 10\; \cdot \; c\; +\; 1\; \cdot \; d\; \equiv \; (-\; 1)\; a\; +\; (1)\; b\; +\; (-\; 1)\; c\; +\; (1)\; d\; (mod\; 11)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1000\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 100\; \backslash \; cdot\; b\; +\; 10\; \backslash \; cdot\; c\; +\; 1\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; a\; +\; (1)\; b\; +\; (-\; 1)\; c\; +\; (1)\; d\; \{\backslash \; pmod\; \{11\}\}\}$

который также является разница между суммой цифр в нечетных позициях и суммой цифр в четных позициях.

Случай, когда важна только последняя цифра.

Это применимо к делителям, которые являются коэффициентом степени 10. Это связано с тем, что достаточно высокие степени основания кратны делителю и могут быть исключены.

Например, в базе 10 множители 10 включают 2, 5 и 10. Следовательно, делимость на 2, 5 и 10 зависит только от того, делится ли последняя 1 цифра на эти делители. Множители 10 включают 4 и 25, и делимость на них зависит только от последних двух цифр.

Случай, когда удаляется только последняя цифра (и)

Большинство чисел не делят 9 или 10 равномерно, но делят более высокую степень 10 или 10 - 1. В этом случае число все еще записывается в степенях 10, но не до конца.

Например, 7 не делит 9 или 10, но делит 98, что близко к 100. Таким образом, исходите из

$100\; \cdot \; a\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; cdot\; a\; +\; b\}$

где в данном случае a - любое целое число, а b может находиться в диапазоне от 0 до 99. Далее,

$(98\; +\; 2)\; \cdot \; a\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (98\; +\; 2)\; \backslash \; cdot\; a\; +\; b\}$

и снова расширяем

$98\; \cdot \; a\; +\; 2\; \cdot \; a\; +\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; 98\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 2\; \backslash \; cdot\; a\; +\; b,\}$

и после исключения известного кратного 7 результат будет

$2\; \cdot \; a\; +\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; cdot\; a\; +\; b,\}$

которое является правилом «удвойте число, образованное всеми, кроме последних двух цифр, затем добавьте последние две цифры».

Случай, когда последняя цифра (цифры) умножается на коэффициент

Представление числа также может быть умножено на любое число, относительно простое с делителем, без изменения его делимости. Заметив, что 7 делит 21, мы можем выполнить следующее:

$10\; \cdot \; a\; +\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; cdot\; a\; +\; b,\}$

после умножения на 2 это становится

$20\; \cdot \; a\; +\; 2\; \cdot \; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; 20\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 2\; \backslash \; cdot\; b,\}$

и затем

$(21-1)\; \cdot \; a\; +\; 2\; \cdot \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; (21-1)\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 2\; \backslash \; cdot\; b.\}$

Исключение 21 дает

$-\; 1\; \cdot \; a\; +\; 2\; \cdot \; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; -1\; \backslash \; cdot\; a\; +\; 2\; \backslash \; cdot\; b,\}$

и умножение на −1 дает

$a\; -\; 2\; \cdot \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; a-2\; \backslash \; cdot\; b.\}$

Можно использовать любое из двух последних правил, в зависимости от того, какое проще выполнить. Они соответствуют правилу «вычтите дважды последнюю цифру из оставшейся части».

Доказательство с использованием модульной арифметики

В этом разделе будет проиллюстрирован основной метод; все правила можно получить, выполнив одну и ту же процедуру. Следующее требует базовых знаний в модульной арифметике ; для делимости, отличной от 2 и 5, доказательства основываются на основном факте, что 10 mod m обратимо, если 10 и m взаимно просты.

Для 2 или 5:

Необходимо проверять только последние n цифр.

$10\; n\; =\; 2\; n\; \cdot \; 5\; n\; \equiv \; 0\; (mod\; 2\; или\; 5\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; =\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; 5\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash \; или\; \backslash \}\; 5\; ^\; \{n\}\}\}\}$

Представление x как $10\; n\; \cdot \; y\; +\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; y\; +\; z,\}$

$Икс\; =\; 10\; N\; \cdot \; Y\; +\; Z\; \equiv \; Z\; (по\; модулю\; 2\; ни\; 5\; N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; =\; 10\; ^\; \{n\}\; \backslash \; CDOT\; Y\; +\; Z\; \backslash \; Equiv\; Z\; \{\backslash \; pmod\{2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash \; или\; \backslash \}\; 5\; ^\; \{n\}\}\}\}$

и делимость x такая же, как и делимость z.

Для 7:

Поскольку 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7), мы можем сделать следующее:

Представляя x как $10\; \cdot \; y\; +\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; cdot\; y\; +\; z,\}$

$-\; 2\; x\; \equiv \; y\; -\; 2\; z\; (mod\; 7),\; \{\backslash \; displaystyle\; -2x\; \backslash \; Equiv\; y-2z\; \{\backslash \; pmod\; \{7\}\},\}$

так x делится на 7 тогда и только тогда, когда y - 2z делится на 7.

• Деление на ноль
• Четность (математика)

1. ^Gardner, Martin (сентябрь 1962 г.). «Математические игры: тесты, которые показывают, можно ли разделить большое число на число от 2 до 12». Scientific American. 207 (3): 232–246. DOI : 10.1038 / Scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.
2. ^ Это следует из критерия Паскаля. См. Кисачанин (1998), стр. 100–101
3. ^ Число делится на 2, 5 или 10 тогда и только тогда, когда число, образованное последними m цифрами, делится на это число. См. Richmond Richmond (2009), стр. 105
4. ^ Апостол (1976), с. 108
5. ^ Ричмонд и Ричмонд (2009), Раздел 3.4 (Тесты делимости), стр. 102–108
6. ^ Ричмонд и Ричмонд (2009), раздел 3.4 (Тесты делимости), теорема 3.4.3, с. 107
7. ^ Кисачанин (1998), с. 101
8. ^Харди, Г. Х. ; Райт, Э. М. (17 апреля 1980 г.). Введение в теорию чисел. Издательство Оксфордского университета. п. 264. ISBN 0-19-853171-0.
9. ^Су, Фрэнсис Э. "" Делимость на семь "забавных математических фактов Мадда". Проверено 12 декабря 2006 г.
10. ^страница 274, Ведическая математика: шестнадцать простых математических формул, Свами Шанкарачарья, опубликовано Мотилалом Банарсидасс, Варанаси, Индия, 1965, Дели, 1978, 367 страниц.
11. ^Дункелс, Андрейс, «Комментарии к примечанию 82.53 - обобщенный тест на делимость», Mathematical Gazette 84, март 2000, 79-81.
12. ^Стойков, Иван (март 2020 г.). «OEIS A333448». OEIS A333448.

• Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
• Кисачанин, Бранислав (1998). Математические проблемы и доказательства: комбинаторика, теория чисел, геометрия. Пленум Пресс. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Ричмонд, Беттина; Ричмонд, Томас (2009). Дискретный переход к высшей математике. Чистые и прикладные тексты для бакалавров. 3 . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

• Критерии делимости в разрубить узел
• Глупые уловки делимости Правила делимости для 2–100.