Войти
Точки, прорисованные путем от A до B в R ². Однако разные пути могут отслеживать один и тот же набор точек. В математике путь в топологическом пространстве X является непрерывной функцией f от единичного интервала I = [0,1] до X
Начальной точкой пути является f (0), а конечная точка есть f (1). Часто говорят о «пути от x до y», где x и y - начальная и конечная точки пути. Обратите внимание, что путь - это не просто подмножество X, которое «выглядит как» кривая, он также включает в себя параметризацию . Например, карты f (x) = x и g (x) = x представляют два разных пути от 0 до 1 на реальной прямой.
A loop в пространстве X, основанном на x ∈ X, - это путь от x к x. Цикл можно одинаково хорошо рассматривать как отображение f: I → X с f (0) = f (1) или как непрерывное отображение от единичной окружности S до X
Это связано с тем, что S можно рассматривать как частное I при отождествлении 0 ∼ 1. Множество всех циклов в X образует пространство, называемое пространством циклов of X.
Топологическое пространство, для которого существует путь, соединяющий любые две точки, называется линейно связным. Любое пространство может быть разбито на компоненты с линейной связью. Набор компонент линейной связности пространства X часто обозначается π 0 (X) ;.
Можно также определить пути и петли в заостренных пространствах, что важно в теории гомотопии. Если X - топологическое пространство с базовой точкой x 0, то путь в X - это тот, начальная точка которого равна x 0. Аналогично, цикл в X - это цикл, основанный на x 0.
Гомотопия между двумя путями. Пути и петли являются центральными предметами изучения в области алгебраической топологии, называемой теорией гомотопии. гомотопия путей уточняет понятие непрерывного деформирования пути, сохраняя при этом его конечные точки фиксированными.
В частности, гомотопия путей, или гомотопия путей, в X - это семейство путей f t : I → X, проиндексированных I таким образом, что
Пути f 0 и f 1 соединены гомотопия называется гомотопической (или, точнее, гомотопической по пути, чтобы различать отношения, определенные на всех непрерывных функциях между фиксированными пространствами). Аналогичным образом можно определить гомотопию петель с фиксированной базовой точкой.
Отношение гомотопности - это отношение эквивалентности на путях в топологическом пространстве. класс эквивалентности пути f в этом отношении называется гомотопическим классом f, часто обозначаемым [f].
Составить пути в топологическом пространстве можно следующим образом. Предположим, что f - путь от x до y, а g - путь от y до z. Путь fg определяется как путь, полученный сначала путем обхода f, а затем перехода через g:
Очевидно, композиция пути определяется только тогда, когда конечная точка f совпадает с начальной точкой g. Если рассматривать все циклы, основанные на точке x 0, то композиция пути является бинарной операцией.
Композиция пути, если она определена, не является ассоциативной из-за разницы в параметризации. Однако он ассоциативен с точностью до гомотопии путей. То есть [(fg) h] = [f (gh)]. Композиция пути определяет структуру группы на множестве гомотопических классов циклов, основанных в точке x 0 в X. Результирующая группа называется фундаментальной группой из X основан на x 0, обычно обозначается π 1 (X, x 0).
В ситуациях, требующих ассоциативности композиции пути «на носу», путь в X может вместо этого быть определен как непрерывное отображение из интервала [0, a] в X для любого реального a ≥ 0. A такой путь f имеет длину | f | определяется как. Затем композиция пути определяется, как и раньше, со следующей модификацией:
В то время как в предыдущем определении все f, g и fg имеют длину 1 (длина области карты), в этом определении | fg | = | f | + | г |. Что сделало ассоциативность неудачной для предыдущего определения, так это то, что, хотя (fg) h и f (gh) имеют одинаковую длину, а именно 1, средняя точка (fg) h находится между g и h, тогда как средняя точка f (gh) находится между f и g. В этом модифицированном определении (fg) h и f (gh) имеют одинаковую длину, а именно | f | + | g | + | h |, и одну и ту же середину, находящуюся в (| f | + | g | + | h |) / 2 в (fg) h и f (gh); в общем, они имеют одинаковую параметризацию.
Существует категориальное изображение путей, которое иногда бывает полезно. Любое топологическое пространство X порождает категорию , где объекты - это точки X, а морфизмы - гомотопические классы путей. Поскольку любой морфизм в этой категории является изоморфизмом, эта категория является группоидом, который называется фундаментальным группоидом X. Петли в этой категории - это эндоморфизмы. (все они на самом деле автоморфизмы ). Группа автоморфизмов точки x 0 в X - это просто фундаментальная группа, основанная в x 0. В более общем смысле, можно определить фундаментальный группоид на любом подмножестве A в X, используя гомотопические классы путей, соединяющих точки A. Это удобно для теоремы Ван Кампена.
