Схема Нётера

В алгебраической геометрии схема Нётера - это схема который допускает конечное покрытие открытыми аффинными подмножествами $Spec\; \; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\_\; \{i\}\}$, $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$нётеровых колец. В более общем смысле схема является локально нётеровой, если она покрывается спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема нётерова тогда и только тогда, когда она локально нётерова и квазикомпактна. Как и в случае с нётерскими кольцами, концепция названа в честь Эмми Нётер.

. Можно показать, что в локальной нётеровой схеме, если $Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$- открытое аффинное подмножество, тогда A - нетерово кольцо. В частности, $Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$является нётеровой схемой тогда и только тогда, когда A - нётеровское кольцо. Пусть X - локально нётерова схема. Тогда локальные кольца $O\; X,\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X,\; x\}\}$являются нётеровыми кольцами.

Нётерова схема - это нётеровское топологическое пространство. Но в целом обратное неверно; рассмотрим, например, спектр кольца нётеровых оценок.

Определения распространяются на формальные схемы.

• 1 Свойства и нётеровские гипотезы
  • 1.1 Девиссаж
  • 1.2 Количество неприводимых компонентов
  • 1.3 Морфизмы нётеровых схем являются квази -compact
  • 1.4 Гомологические свойства
    • 1.4.1 Когомологии Чеха и Шефа
    • 1.4.2 Совместимость копределов с когомологиями
    • 1.4.3 Производное прямое изображение
• 2 Примеры
  • 2.1 Локально конечных тип над нётеровой базой
  • 2.2 Квазипроективные многообразия
  • 2.3 Бесконечно малые деформации нётеровых схем
  • 2.4 Непримеры
    • 2.4.1 Схемы над адельскими базами
    • 2.4.2 Кольца целых чисел над бесконечностью extension
    • 2.4.3 Кольцо многочленов с бесконечным числом образующих
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Наличие (локально) нётеровой гипотезы для утверждения о схемах в целом делает многие проблемы более доступными, поскольку они достаточно жестко укрепляют многие из его свойств.

Девисаж

Одной из наиболее важных структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах является теорема Девиссажа. Эта теорема позволяет разложить аргументы о когерентных пучках на индуктивные аргументы. Это потому, что дана короткая точная последовательность когерентных пучков

$0\; \to \; E\; \prime \; \to \; E\; \to \; E\; ″\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \text{'}\backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; to\; 0\}$

доказательство того, что один из пучков обладает некоторым свойством, эквивалентно доказательству того, что два других обладают этим свойством. В частности, для фиксированной связной связки $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$и подкогерентной связки $F\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \text{'}\}$, показывающий, что $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$имеет какое-то свойство, можно свести к просмотру $F\text{'}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \text{'}\}$и $F\; /\; F\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; /\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\text{'}\}$. Поскольку этот процесс может быть применен только конечное число раз нетривиальным образом, это делает возможным множество индукционных аргументов.

Число неприводимых компонентов

Каждая нётерова схема может иметь только конечное число компонентов.

Морфизмы нётеровых схем квазикомпактны

Каждый морфизм из нётеровой схемы Схема Нётер $X\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; to\; S\}$квазикомпактная.

Гомологические свойства

У нётеровых схем есть много хороших гомологических свойств.

Когомологии Чеха и Шифа

Когомологии Чеха и когомологии пучков соглашаются на аффинное открытое покрытие. Это позволяет вычислить когомологии пучка для $PS\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{S\}\; ^\; \{n\}\}$с использованием когомологий Чеха для стандартных открыть крышку.

Совместимость копределов с когомологиями

Для прямой системы $\{F\; \alpha ,\; \varphi \; \alpha \; \beta \}\; \alpha \; \in \; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\}\}$пучков абелевых групп по нётеровой схеме, существует канонический изоморфизм

$lim\; \to \; \; ЧАС\; я\; (Икс,\; F\; \alpha )\; \to \; ЧАС\; я\; (Икс,\; lim\; \to \; \; F\; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varinjlim\; H\; ^\; \{я\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \backslash \; varinjlim\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\}$

, что означает функторы

$H\; i\; (X,\; -):\; Ab\; (X)\; \to \; Ab\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; -):\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (X)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\}$

сохранить прямые ограничения и сопродукции.

Производное прямое изображение

Дан морфизм локально конечного типа $f:\; X\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; S\}$в схему Нётер $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$и комплекс пучков $E\; \bullet \; \in \; DC\; ohb\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; \backslash \; in\; D\_\; \{Coh\; \}\; ^\; \{b\}\; (X)\}$с ограниченными когерентными когомологиями, такими что пучки $H\; i\; (E\; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\; \backslash \; bullet\})\}$иметь надлежащую поддержку более чем $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, затем производный pushforward $R\; f\; *\; (E\; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\}$имеет ограниченную когерентную когомологию над $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, что означает это объект в $DC\; ohb\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{Coh\}\; ^\; \{b\}\; (S)\}$.

Многие из схем, найденных в дикой природе, являются схемами Нётера.

Локально конечного типа над нётеровой базой

Другой класс примеров нётеровых схем - это семейства схем $X\; \to \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; to\; S\}$где основа $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- нётерский, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет конечный тип над $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \}$. Это включает в себя множество примеров, таких как компоненты связности схемы Гильберта, то есть с фиксированным многочленом Гильберта. Это важно, потому что это подразумевает, что многие пространства модулей, используемые в природе, являются нётеровыми, например, Модули алгебраических кривых и. Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле нетеровы.

Квазипроективные многообразия

В частности, квазипроективные многообразия являются нётеровыми схемами. К этому классу относятся алгебраические кривые, эллиптические кривые, абелевы разновидности, схемы калаби-яу, разновидности симура, K3 поверхности и кубические поверхности. Практически все объекты классической алгебраической геометрии вписываются в этот класс примеров.

Бесконечно малые деформации нётеровых схем

В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова нётеровы. Например, для кривой $C\; /\; Spec\; (F\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; /\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\})\}$, любое деформация $C\; /\; Spec\; (F\; q\; [\epsilon ]\; /\; (\epsilon \; n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; /\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\; \}\; [\backslash \; varepsilon]\; /\; (\backslash \; varepsilon\; ^\; \{n\}))\}$также является нётеровой схемой. Башню таких деформаций можно использовать для построения формальных нётеровых схем.

Непримеры

Схемы на основе аделических основ

Одно из естественных колец, не являющихся нётерскими, - это Кольцо аделей $AK\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \_\; \{K\}\}$для поля алгебраических чисел $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. Чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца. Существует понятие алгебраической геометрии над такими кольцами, развитое Вейлем и Александром Гротендиком.

Кольца целых чисел над бесконечными расширениями

Дано бесконечное расширение поля Галуа $K\; /\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; /\; L\}$, например $Q\; (\zeta \; \infty )\; /\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{\backslash \; infty\})\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\; \}\}$(путем объединения всех корней из единицы) кольцо целых чисел $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$не является Нётеровское кольцо размером $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$. Это разрушает интуицию о том, что конечномерные схемы обязательно нётеровы. Кроме того, этот пример дает мотивацию для изучения схем на основе, отличной от нетерова; то есть схемы $Sch\; /\; Spec\; (OE)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sch\}\}\; /\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{E\})\}$, может быть интересная и плодотворная тема.

Кольцо многочленов с бесконечным числом образующих

Другой пример нётеровой конечномерной схемы (на самом деле нульмерной) дается следующим фактором кольца многочленов с бесконечным числом образующих.

$Q\; [x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\dots ]\; (x\; 1,\; x\; 2\; 2,\; x\; 3\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{\; 2\},\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots]\}\; \{(x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{3\},\; \backslash \; ldots)\}\}\}$

• Превосходное кольцо - немного более жесткое, чем нётеровы кольца, но имеет лучшие свойства
• Основная теорема Зарисского
• Дуализующий комплекс
• Теорема Нагаты о компактификации

1. ^«Лемма 28.5.7 (0BA8) —Проект "Стек". stacks.math.columbia.edu. Проверено 24 июля 2020 г.
2. ^«Лемма 28.5.8 (01P0) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 24 июля 2020 г.
3. ^«Когомологии пучков» (PDF).
4. ^«Лемма 36.10.3 (08E2) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 24 июля 2020 г.
5. ^«Лемма 29.15.6 (01T6) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 24 июля 2020 г.
6. ^Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к адельным точкам» (PDF). Архивировано 21 июля 2018 г. (PDF).

• Робин Хартсхорн, Алгебраическая геометрия.
• Сложнее. Когомологии арифметических групп
• Нётерова схема. Энциклопедия математики. URL: