Теорема о горном перевале

редактировать

Теорема о горном перевале - это теорема существования из вариационного исчисления, первоначально разработанная Антонио Амброзетти и Полом Рабиновичем. При определенных условиях на функцию теорема демонстрирует существование седловой точки. Теорема необычна тем, что существует много других теорем о существовании экстремумов, но мало о седловых точках.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Заявление
2 Визуализация
3 Более слабая формулировка
4 ссылки
5 Дальнейшее чтение

Заявление

Предположения теоремы:

${\ displaystyle I}$ $я$ является функционалом из гильбертова пространства H в вещественные числа,
${\ displaystyle I \ in C ^ {1} (H, \ mathbb {R})}$ $Я \ в C ^ 1 (H, \ mathbb {R})$ и является липшицевы на ограниченных подмножеств Н, ${\ displaystyle I '}$ $Я'$
${\ displaystyle I}$ $я$ удовлетворяет условию компактности Пале – Смейла,
${\ displaystyle I [0] = 0}$ $I [0] = 0$ ,
существуют положительные постоянные r и a такие, что если, и ${\ displaystyle I [u] \ geq a}$ $Я [u] \ geq a$ ${\ Displaystyle \ Vert и \ Vert = r}$ $\ Vert u \ Vert = r$
существует с таким, что. ${\ displaystyle v \ in H}$ $v \ in H$ ${\ displaystyle \ Vert v \ Vertgt; r}$ $\ Vert v \ Vertgt; r$ ${\ Displaystyle I [v] \ leq 0}$ $I [v] \ leq 0$

Если мы определим:

{\ Displaystyle \ Gamma = \ {\ mathbf {g} \ in C ([0,1]; H) \, \ vert \, \ mathbf {g} (0) = 0, \ mathbf {g} (1) = v \}}

\ Gamma = \ {\ mathbf {g} \ in C ([0,1]; H) \, \ vert \, \ mathbf {g} (0) = 0, \ mathbf {g} (1) = v \ }

а также:

{\ displaystyle c = \ inf _ {\ mathbf {g} \ in \ Gamma} \ max _ {0 \ leq t \ leq 1} I [\ mathbf {g} (t)],}

c = \ inf _ {\ mathbf {g} \ in \ Gamma} \ max_ {0 \ leq t \ leq 1} I [\ mathbf {g} (t)],

то заключение теоремы является то, что с является критическим значением I.

Визуализация

Интуиция, стоящая за теоремой, заложена в названии «горный перевал». Считайте, что я описываю высоту. Тогда мы знаем две низкие точки на ландшафте: исходную точку, потому что и удаленную точку v где. Между ними находится горный хребет (в), где высота над уровнем моря высока (выше, чем а gt; 0). Чтобы пройти путь g от начала координат до точки v, мы должны пройти через горы, то есть подняться, а затем спуститься. Поскольку I несколько сглажен, должна быть критическая точка где-то посередине. (Подумайте в духе теоремы о среднем значении. ) Горный перевал пролегает вдоль тропы, которая проходит на самой низкой отметке через горы. Обратите внимание, что этот горный перевал почти всегда является перевалочной точкой. ${\ displaystyle I [0] = 0}$ $I [0] = 0$ ${\ Displaystyle I [v] \ leq 0}$ $I [v] \ leq 0$ ${\ Displaystyle \ Vert и \ Vert = r}$ $\ Vert u \ Vert = r$

Для доказательства см. Раздел 8.5 Эванса.

Более слабая формулировка

Позвольте быть банаховым пространством. Предположения теоремы: ${\ displaystyle X}$ $Икс$

${\ Displaystyle \ Phi \ в С (Х, \ mathbf {R})}$ $\ Phi \ в C (X, \ mathbf R)$ и имеют производную Гато, которая является непрерывной, когда и наделены сильной топологией и слабой топологией * соответственно. ${\ displaystyle \ Phi '\ двоеточие X \ to X ^ {*}}$ $\ Phi '\ двоеточие X \ to X ^ *$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$
Существует такое, что с помощью ${\ displaystyle rgt; 0}$ $гgt; 0$ ${\ Displaystyle \ | х '\ |gt; г}$ $\ | х '\ |gt; г$

{\ Displaystyle \ макс \, (\ Phi (0), \ Phi (x ')) lt;\ inf \ limits _ {\ | x \ | = r} \ Phi (x) =: m (r)}

\ max \, (\ Phi (0), \ Phi (x ')) lt;\ inf \ limits _ {\ | x \ | = r} \ Phi (x) =: m (r)

${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ удовлетворяет слабому условию Пале – Смейла на. ${\ Displaystyle \ {Икс \ в Икс \ середине м (г) \ Leq \ Phi (х) \}}$ $\ {x \ in X \ mid m (r) \ le \ Phi (x) \}$

В этом случае существует критическая точка из удовлетворяющих. Более того, если мы определим ${\ displaystyle {\ overline {x}} \ in X}$ $\ overline x \ in X$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ ${\ Displaystyle м (г) \ leq \ Phi ({\ overline {x}})}$ $м (г) \ le \ Phi (\ overline x)$

{\ Displaystyle \ Gamma = \ {c \ in C ([0,1], X) \ mid c \, (0) = 0, \, c \, (1) = x '\}}

\ Gamma = \ {c \ in C ([0,1], X) \ mid c \, (0) = 0, \, c \, (1) = x '\}

тогда

{\ Displaystyle \ Phi ({\ overline {x}}) = \ Inf _ {с \, \ in \, \ Gamma} \ max _ {0 \ Leq т \ Leq 1} \ Phi (с \, (т)).}

\ Phi (\ overline x) = \ inf_ {c \, \ in \, \ Gamma} \ max_ {0 \ le t \ le 1} \ Phi (c \, (t)).

Для доказательства см. Раздел 5.5 Обена и Экланда.

Рекомендации

дальнейшее чтение

Обен, Жан-Пьер; Экеланд, Ивар (2006). Прикладной нелинейный анализ. Dover Книги. ISBN 0-486-45324-3.
Бисгард, Джеймс (2015). «Горные перевалы и перевалочные точки». SIAM Обзор. 57 (2): 275–292. DOI : 10.1137 / 140963510.
Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
Джабри, Юсеф (2003). Теорема о горном перевале, варианты, обобщения и некоторые приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-82721-3.
Mawhin, Жан ; Виллем, Мишель (1989). "Теорема о горном перевале и периодические решения сверхлинейных выпуклых автономных гамильтоновых систем". Теория критических точек и гамильтоновы системы. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 92–97. ISBN 0-387-96908-X.
Макоуэн, Роберт С. (1996). «Горные перевалы и перевалочные точки». Уравнения с частными производными: методы и приложения. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 206–208. ISBN 0-13-121880-8.