Резольвент (теория Галуа)

редактировать

В теории Галуа, дисциплине в области абстрактной алгебры, резольвента для группы перестановок G - это многочлен, коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов данного многочлена p и имеет, грубо говоря, рациональный корень тогда и только тогда, когда уравнение Галуа группа из р входит в G. Точнее, если группа Галуа входит в G, то резольвента имеет рациональный корень, и обратное верно, если рациональный корень является простым корнем. Резольвенты были введены Жозефом Луи Лагранжем и систематически использовались Эваристом Галуа. В настоящее время они по-прежнему являются основным инструментом для вычисления групп Галуа. Простейшие примеры резольвент:

${\ Displaystyle X ^ {2} - \ Delta}$ $X ^ {2} - \ Delta$ где - дискриминант, являющийся резольвентой знакопеременной группы. В случае кубического уравнения эту резольвенту иногда называют квадратичной резольвентой ; его корни явно входят в формулы для корней кубического уравнения. ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Дельта$
Кубические резольвентный из уравнения четвертого степени, которая является резольвентной для двугранной группы из 8 элементов.
Резольвентные Кэли является резольвентной для максимальных подбивать Галуа групп в пятой степени. Это полином шестой степени.

Эти три резольвенты обладают свойством всегда быть отделимыми, что означает, что если они имеют кратный корень, то многочлен p не является неприводимым. Неизвестно, существует ли всегда разделимая резольвента для каждой группы перестановок.

Для любого уравнения корни могут быть выражены через радикалы и корень резольвенты для разрешимой группы, потому что группа Галуа уравнения над полем, порожденным этим корнем, разрешима.

Содержание

1 Определение
2 Терминология
3 Резольвентный метод
4 ссылки

Определение

Пусть n будет положительным целым числом, которое будет степенью уравнения, которое мы будем рассматривать, и ( X 1,..., X n ) упорядоченный список неопределенных. Это определяет общий многочлен степени n

{\ Displaystyle F (X) = X ^ {n} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i} E_ {i} X ^ {ni} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X-X_ {i}),}

F (X) = X ^ {n} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {i} E_ {i} X ^ {{ni}} = \ prod _ {{ я = 1}} ^ {n} (X-X_ {i}),

где E i - i- ^й элементарный симметричный многочлен.

Симметричная группа S п действует на X я перестановка их, и это индуцирует действие на многочленах в X я. Стабилизатор данного многочлена при этом действиях, как правило, тривиален, но некоторые многочлены имеют больший стабилизатор. Например, стабилизатором элементарного симметрического многочлена является вся группа S n. Если стабилизатор нетривиален, многочлен фиксируется некоторой нетривиальной подгруппой G ; говорится об инвариант из G. Обратно, подгруппа G из S п, инвариант G является резольвентным инвариант для G, если она не является инвариант любой большей подгруппы S н.

Найти инварианты для данной подгруппы G в S n относительно легко; можно просуммировать орбиту монома под действием S n. Однако может случиться так, что полученный многочлен будет инвариантом для большей группы. Например, рассмотрим случай подгруппы G группы S 4 порядка 4, состоящей из (12) (34), (13) (24), (14) (23) и единицы (обозначения см. В разделе Группа перестановок ). Моном X 1 X 2 дает инвариант 2 ( X 1 X 2 + X 3 X 4 ). Это не резольвентное инвариант для G, как инвариант (12), на самом деле, это резольвентное инвариант для двуграннога подгруппы ⟨(12), (1324)⟩, и используется для определения резольвенты кубической из квартика уравнение.

Если Р является резольвентным инвариантным для группы G с индексом т, то его орбиты под S п имеет порядок т. Пусть P 1,..., P m - элементы этой орбиты. Тогда многочлен

{\ Displaystyle R_ {G} = \ prod _ {я = 1} ^ {m} (Y-P_ {я})}

R_ {G} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {m} (Y-P_ {i})

инвариантен относительно S n. Таким образом, при раскрытии его коэффициенты являются многочленами от X i, которые инвариантны под действием группы симметрии и, таким образом, могут быть выражены как многочлены от элементарных симметричных многочленов. Другими словами, R G представляет собой неприводимый многочлен в Y, коэффициенты которого являются многочленом коэффициентов F. Имея в качестве корня инвариант резольвенты, оно называется резольвентой (иногда резольвентным уравнением ).

Рассмотрим теперь неприводимый многочлен

{\ displaystyle f (X) = X ^ {n} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X ^ {ni} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -x_ {i}),}

f (X) = X ^ {n} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} X ^ {{ni}} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n } (X-x_ {i}),

с коэффициентами в данном поле K (обычно поле рациональных чисел ) и корнями x i в алгебраически замкнутом расширении поля. Подставляя X я в й я и коэффициентах F тех из F в то, что предшествует, мы получим многочлен, называемую также резольвенту или специализированные резольвенты в случае неясности). Если группа Галуа для f содержится в G, специализация резольвентного инварианта инвариантна G и, таким образом, является корнем, принадлежащим K (рациональным на K). И наоборот, если имеет рациональный корень, который не является кратным корнем, группа Галуа F содержится в G. ${\ Displaystyle R_ {G} ^ {(е)} (Y)}$ $R_ {G} ^ {{(f)}} (Y)$ ${\ Displaystyle R_ {G} ^ {(е)} (Y)}$ $R_ {G} ^ {{(f)}} (Y)$ ${\ Displaystyle R_ {G} ^ {(е)} (Y)}$ $R_ {G} ^ {{(f)}} (Y)$

Терминология

Есть несколько вариантов терминологии.

В зависимости от авторов или контекста резольвента может относиться к инварианту резольвенты, а не к уравнению резольвенты.
Галуа резольвентное является резольвентной таким образом, что резольвентное инвариант является линейным в корнях.
Резольвенты Лагранжа может относиться к линейному полиномом

{\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п-1} X_ {я} \ омега ^ {я}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} X_ {i} \ omega ^ {i}

где - примитивный корень n- й степени из единицы. Это резольвентный инвариант резольвенты Галуа для группы идентичностей.

{\ displaystyle \ omega}

\омега

Относительно резольвентное определяется аналогично резольвентным, но учитывая только действие элементов данной подгруппы Н из S п, обладающие тем свойством, что если относительная резольвентное для подгруппы G из H имеет рациональный корень простой и Галуа группа F содержится в H, то группа Галуа F содержится в G. В этом контексте обычная резольвента называется абсолютной резольвентой.

Резольвентный метод

Группа Галуа многочлена степени является его собственной подгруппой. Если многочлен отделим и неприводим, то соответствующая группа Галуа является транзитивной подгруппой. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$

Транзитивные подгруппы образуют ориентированный граф: одна группа может быть подгруппой нескольких групп. Одна резольвента может сказать, является ли группа Галуа многочлена (не обязательно собственной) подгруппой данной группы. Метод резольвенты - это просто систематический способ проверки групп одну за другой, пока не станет возможной только одна группа. Это не означает, что нужно проверять каждую группу: каждая резольвента может аннулировать множество возможных групп. Например, для многочленов пятой степени никогда не требуется резольвента: резольвенты и дают желаемую информацию. ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ ${\ displaystyle D_ {5}}$ $D_ {5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ ${\ displaystyle M_ {20}}$ $M _ {{20}}$

Один из способов - начать с максимальных (транзитивных) подгрупп до тех пор, пока не будет найдена правая, а затем продолжить с максимальных подгрупп из них.

Рекомендации

Диксон, Леонард Э. (1959). Алгебраические теории. Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. ix + 276. ISBN 0-486-49573-6.
Гирстмэр, К. (1983). «О вычислении резольвент и групп Галуа». Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. DOI : 10.1007 / BF01165834. S2CID 123752910.