Войти
В математике два линейных оператора называются изоспектральными или коспектральными, если они имеют одинаковый спектр. Грубо говоря, они должны иметь одинаковые наборы из собственных значений, когда те, подсчитывается с кратностью.
Теория изоспектральных операторов заметно различается в зависимости от того, является ли пространство конечномерным или бесконечномерным. В конечномерном случае мы имеем дело с квадратными матрицами.
В бесконечных измерениях спектр не обязательно должен состоять только из отдельных собственных значений. Однако случай компактного оператора в гильбертовом пространстве (или банаховом пространстве ) по-прежнему разрешим, поскольку собственные значения не более чем счетны с не более чем одной предельной точкой λ = 0. Наиболее изученная изоспектральная проблема в бесконечных измерениях - это проблема изоспектрального анализа. оператор Лапласа в области из R 2. Две такие области называются изоспектральными, если их лапласианы изоспектральны. Проблема вывода геометрических свойств области из спектра ее лапласиана часто известна как определение формы барабана.
В случае операторов в конечномерных векторных пространствах для комплексных квадратных матриц отношение изоспектральности для двух диагонализуемых матриц является просто подобием. Однако это не снижает полностью интереса к концепции, поскольку мы можем иметь изоспектральное семейство матриц формы A ( t) = M ( t) −1AM ( t), зависящее от параметра t сложным образом. Это эволюция матрицы, которая происходит внутри одного класса подобия.
Фундаментальное понимание теории солитонов заключалось в том, что бесконечно малый аналог этого уравнения, а именно
стоял за законами сохранения, которые не давали солитонам рассеиваться. То есть сохранение спектра было интерпретацией механизма сохранения. Идентификация так называемых пар Лакса (P, L), приводящих к аналогичным уравнениям, Питером Лаксом, показала, как линейный механизм может объяснить нелинейное поведение.
Два замкнутых римановых многообразия называются изоспектральными, если собственные значения их оператора Лапласа – Бельтрами (лапласианы) с учетом кратностей совпадают. Одна из фундаментальных проблем спектральной геометрии состоит в том, чтобы спросить, в какой степени собственные значения определяют геометрию данного многообразия.
Есть много примеров изоспектральных многообразий, которые не являются изометричными. Первый пример был приведен в 1964 году Джоном Милнором. Он построил пару плоских торов 16 размерности, используя арифметические решетки, впервые изученные Эрнстом Виттом. После этого примера было построено множество изоспектральных пар в размерности два и выше (например, MF Vignéras, A. Ikeda, H. Urakawa, C. Gordon). В частности, Виньерас (1980) на основе формулы следа Сельберга для PSL (2, R) и PSL (2, C) построил примеры изоспектральных неизометрических замкнутых гиперболических 2-многообразий и 3-многообразий как частных гиперболических 2 -пространство и 3-пространство с помощью арифметических подгрупп, построенных с использованием кватернионных алгебр, связанных с квадратичными расширениями рациональных чисел теорией полей классов. В этом случае формула следа Сельберга показывает, что спектр лапласиана полностью определяет спектр длин, набор длин замкнутых геодезических в каждом свободном гомотопическом классе, а также скручивание вдоль геодезической в трехмерном случае.
В 1985 году Тошиказу Сунада нашел общий метод построения, основанный на технике покрытия пространства, который, в своей первоначальной или в некоторых обобщенных версиях, стал известен как метод Сунада или конструкция Сунада. Как и предыдущие методы, он основан на формуле трассировки через дзета-функцию Сельберга. Сунада заметил, что метод построения числовых полей с одной и той же дзета-функцией Дедекинда может быть адаптирован к компактным многообразиям. Его метод основан на том факте, что, если М представляет собой конечное покрытие компактного риманова многообразия М 0 с G на конечную группу из скольжений и H 1, H 2 являются подгруппы G, отвечающие каждому сопряженный класс G в том же числе элементов, то многообразия H 1 \ M и H 2 \ M изоспектральны, но не обязательно изометричны. Хотя это не повторяет арифметические примеры Милнора и Виньераса, метод Сунады дает много известных примеров изоспектральных многообразий. Это привело К. Гордона, Д. Уэбба и С. Вольперта к открытию в 1991 году контрпримера к проблеме Марка Каца « Можно ли услышать форму барабана? » Элементарное лечение, основанное на методе Сунады, было позже приведено в Buser et al. (1994).
Идея Сунады также стимулировала попытку найти изоспектральные примеры, которые не могли быть получены с помощью его техники. Среди множества примеров наиболее ярким является односвязный пример Schueth (1999).
