Мнимое время

редактировать

Мнимое время - это математическое представление времени, которое используется в некоторых подходах к специальной теории относительности и квантовая механика. Он находит применение в соединении квантовой механики с статистической механикой и в некоторых космологических теориях.

Математически мнимое время - это реальное время, которое претерпело вращение фитиля, так что его координаты умножаются на мнимую единицу i. Мнимое время не является мнимым в том смысле, что оно нереально или выдумано (не более, чем, скажем, иррациональные числа бросают вызов логике), оно просто выражается в терминах того, что математики называют мнимыми числами..

Содержание

1 Происхождение
2 В космологии
3 В квантовой статистической механике
4 См. Также
5 Ссылки
- 5.1 Примечания
- 5.2 Библиография
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Истоки

Математически мнимое время $τ {\ displaystyle \ scriptstyle \ tau}$ $\scriptstyle\tau$ может быть получено из реального времени $t {\ displaystyle \ scriptstyle t}$ $\ scriptstyle t$ посредством поворота фитиля на $π / 2 {\ displaystyle \ scriptstyle \ pi / 2}$ $\ scriptstyle \ pi / 2$ в комплексе плоскость : $τ = it {\ displaystyle \ scriptstyle \ tau \ = \ it}$ $\ стиль сценария \ тау \ = \ it$ , где $i 2 {\ displaystyle i ^ {2}}$ $i ^ {2}$ Определяется как $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ , а $i {\ displaystyle i}$ $i$ известен как мнимая единица.

Стивен Хокинг популяризировал концепцию мнимого времени в своей книге Вселенная в двух словах.

Можно подумать, что это означает, что мнимые числа - это просто математическая игра, не имеющая ничего общего с реальным миром. Однако с точки зрения позитивистской философии нельзя определить, что реально. Все, что можно сделать, это выяснить, какие математические модели описывают Вселенную, в которой мы живем. Оказывается, математическая модель, включающая воображаемое время, предсказывает не только эффекты, которые мы уже наблюдали, но также эффекты, которые мы не могли измерить, но, тем не менее, верим в другие. причины. Итак, что реально, а что мнимо? Разве это различие только у нас в голове?

— Стивен Хокинг

На самом деле названия «реальный» и «воображаемый» для чисел - просто историческая случайность, во многом как имена «рациональное » и "иррациональный ":

... слова реальное и воображаемое являются живописными пережитками эпохи, когда природа комплексных чисел не была должным образом понята.

— HSM Кокстер

В космологии

В модели пространства-времени Минковского, принятой теорией относительности, пространство-время представлено как четырехмерная поверхность или многообразие. Его четырехмерный эквивалент расстояния в трехмерном пространстве называется интервалом. Предполагая, что определенный период времени представлен как действительное число таким же образом, как расстояние в пространстве, задается интервал $d {\ displaystyle d}$ $d$ в релятивистском пространстве-времени по обычной формуле, но с отрицанием времени:

d 2 = x 2 + y 2 + z 2 - t 2 {\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ { 2} -t ^ {2}}

{\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}

где $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $y {\ displaystyle y}$ $y$ и $z {\ displaystyle z}$ $z$ - это расстояния по каждой пространственной оси, а $t {\ displaystyle t}$ $t$ - период времени или «расстояние» по временной оси.

Математически это эквивалентно записи

d 2 = x 2 + y 2 + z 2 + (it) 2 {\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2} + (it) ^ {2}}

{\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + (it) ^ {2}}

В этом контексте $i {\ displaystyle i}$ $i$ может быть принят как признак взаимосвязи между пространством и реальное время, как указано выше, или его можно альтернативно включить в само время, так что значение $t {\ displaystyle t}$ $t$ само по себе является мнимым числом, и уравнение переписывается в нормализованном виде:

d 2 = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 {\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2}}

{\ displaystyle d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2 }}

Аналогично его четыре вектора могут быть записаны как

(x 0, x 1, x 2, x 3) {\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}

{\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}

где расстояния представлены как $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света и $x 0 = ict {\ displaystyle x_ {0} = ict}$ ${\ displaystyle x_ {0} = ict}$ .

В физической космологии мнимое время может быть включено в некоторые модели из вселенная, которые являются решениями уравнений общей теории относительности. В частности, мнимое время может помочь сгладить гравитационные сингулярности, где нарушаются известные физические законы, чтобы удалить сингулярность и избежать таких нарушений (см. состояние Хартла – Хокинга ). Большой взрыв, например, появляется как сингулярность в обычное время, но при моделировании мнимым временем сингулярность может быть удалена, и Большой взрыв функционирует как любая другая точка из четырех -мерное пространство-время. Любая граница пространства-времени - это форма сингулярности, в которой нарушается гладкая природа пространства-времени. Таким образом, со всеми такими сингулярностями, удаленными из Вселенной, у нее не может быть границ, и Стивен Хокинг предположил, что «граничным условием Вселенной может быть то, что у нее нет границ».

Однако недоказанная природа взаимосвязи между фактическим физическим и мнимым временем, включенная в такие модели, вызвала критику.

В квантовой статистической механике

Уравнения квантового поля можно получить, взяв преобразование Фурье уравнений статистической механики. Поскольку преобразование Фурье функции обычно проявляется как обратное, точечные частицы статистической механики при преобразовании Фурье становятся бесконечно протяженными гармоническими осцилляторами квантовой теории поля. Функция Грина неоднородного линейного дифференциального оператора, определенного в области с заданными начальными или граничными условиями, является его импульсной характеристикой, и математически мы определяем точечные частицы статистической механики как дельта-функции Дирака, которые являются сказать импульсы. При конечной температуре $T {\ displaystyle T}$ $T$ , функции Грина являются периодическими в мнимом времени с периодом $2 β = 2 / Т {\ Displaystyle \ scriptstyle 2 \ beta \ = \ 2 / T}$ $\ scriptstyle 2 \ beta \ = \ 2 / T$ . Следовательно, их преобразования Фурье содержат только дискретный набор частот, называемых частотами Мацубары.

Связь между статистической механикой и квантовой теорией поля также видна в амплитуде перехода $⟨F ∣ e - это H ∣ I⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle \ langle F \ mid e ^ {- itH} \ mid I \ rangle}$ $\ scriptstyle \ langle F \ mid e ^ {- itH} \ mid I \ rangle$ между начальным состоянием I и конечным состоянием F, где H - Гамильтониан этой системы. Если мы сравним это с функцией распределения $Z = Tr ⁡ e - β H {\ displaystyle \ scriptstyle Z \ = \ \ operatorname {Tr} \ e ^ {- \ beta H}}$ $\ scriptstyle Z \ = \ \ operatorname {Tr} \ e ^ {- \ beta H}$ , мы видите, что для получения статистической суммы из амплитуд переходов мы можем заменить $t = β / i {\ displaystyle \ scriptstyle t \, = \, \ beta / i}$ $\ scriptstyle t \, = \, \ beta / i$ , положим F = I = n и просуммируем по n. Таким образом, нам не нужно выполнять двойную работу, оценивая как статистические свойства, так и амплитуды переходов.

Наконец, используя вращение Вика, можно показать, что евклидова квантовая теория поля в (D + 1) -мерном пространстве-времени есть не что иное, как квантовая статистическая механика в D -мерное пространство.

См. Также

Ссылки

Примечания

Библиография

Стивен У. Хокинг (1998). Краткая история времени (Юбилейное издание к десятой годовщине). Bantam Books. п. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
Хокинг, Стивен (2001). Вселенная в двух словах. Соединенные Штаты и Канада: Bantam Books. Стр. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 0-553-80202-X. На сайте указан пустой неизвестный параметр: | coauthors =()

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Начало времени - Лекция Стивена Хокинга, в которой обсуждается мнимое время.
Вселенная Стивена Хокинга: объяснение странных вещей - сайт PBS о мнимом времени.
[ 1] - Лекция о взаимосвязи функции Грина и дельта-функции Дирака
[2] - Лекция по квантовой теории поля