Теорема Гурвица (композиционные алгебры)

В математике, теорема Гурвица является теорема Адольфа Гурвица (1859-1919), опубликованной посмертно в 1923 году, решая задачу Гурвица для конечномерных унитальных вещественных неассоциативных алгебр, наделенных положительно определенной квадратичной формы. Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные действительные числа на ненулевую части алгебры, то алгебра должна быть изоморфна с вещественными числами, в комплексных числа, в кватернионах, или октонионов. Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Гурвица, являются примерами композиционных алгебр.

Впоследствии теория композиционных алгебр была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля. Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях, результат, первоначально доказанный Гурвицем в 1898 году. Это частный случай проблемы Гурвица, решенный также в Радоне (1922). Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманном (1943) с использованием теории представлений конечных групп и Ли (1948) и Шевалле (1954) с использованием алгебр Клиффорда. Теорема Гурвица была применена в алгебраической топологии к задачам о векторных полей на сфере и гомотопических групп этих классических групп, так и в квантовой механике к классификации простых алгебр Иордании.

• 1 Евклидовы алгебры Гурвица
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Классификация
• 2 Другие доказательства
• 3 Приложения к йордановым алгебрам
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение

Определение

Гурвицева алгебра или композиционная алгебра является конечномерен не обязательно ассоциативная алгебра с единицей, снабженное невырожденной квадратичной формы Q таким образом, что д ( A B) = Q ()  д ( б). Если базовое поле коэффициентов - это вещественные числа, а q положительно определено, так что ( a,  b) = 1/2[ q ( a + b) - q ( a) - q ( b)] - скалярное произведение, тогда A называется евклидовой алгеброй Гурвица или (конечномерной) нормированной алгеброй с делением.

Если A - евклидова алгебра Гурвица и a принадлежит A, определите инволюцию и операторы правого и левого умножения следующим образом:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {*} = - a + 2 (a, 1) 1, \, \, \, L (a) b = ab, \, \, \, R (a) b = ba.}}$

Очевидно, инволюция имеет период два и сохраняет внутренний продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

• инволюция является антиавтоморфизмом, т.е. ( a b) * = b *  a *
• а а * = ‖  а  ‖ ²  1 = а *  а
• L ( a *) = L ( a) *, R ( a *) = R ( a) *, так что инволюция на алгебре соответствует взятию сопряженных
• Re ( a b) = Re ( b a), если Re  x = ( x + x *) / 2 = ( x, 1) 1
• Re ( a b)  c = Re  a ( b c)
• L ( a ²) = L ( a) ², R ( a ²) = R ( a) ², так что A - альтернативная алгебра.

Эти свойства доказываются, исходя из поляризованной версии тождества ( a b,  a b) = ( a,  a) ( b,  b):

${\ displaystyle \ displaystyle {2 (a, b) (c, d) = (ac, bd) + (ad, bc).}}$

Установка b = 1 или d = 1 дает L ( a *) = L ( a) * и R ( c *) = R ( c) *.

Следовательно, Re ( a b) = ( a b, 1) 1 = ( a,  b *) 1 = ( b a, 1) 1 = Re ( b a).

Аналогично Re ( a b) c = (( a b) c, 1) 1 = ( a b,  c *) 1 = ( b,  a *  c *) 1 = ( bc, a *) 1 = ( a ( bc), 1) 1 = Re a ( b c).

Следовательно (( ab) *, c) = ( ab, c *) = ( b, a * c *) = (1, b * ( a * c *)) = (1, ( b * a *) c *) = ( b * a *, c), так что ( ab) * = b * a *.

По поляризованному тождеству ‖  a  ‖ ²  ( c,  d) = ( a c,  a d) = ( a * ( a c),  d), поэтому L ( a *)  L ( a) = L (‖  a  ‖ ²). В применении к 1 это дает a *  a = ‖  a  ‖ ² 1. Замена на в * дает другую личность.

Подстановка формулы для a * в L ( a *)  L ( a) = L ( a *  a) дает L ( a) ² = L ( a ²). Формула R ( a ²) = R ( a) ² доказывается аналогично.

Классификация

Обычно проверяют, что действительные числа R, комплексные числа C и кватернионы H являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Есть, кроме того естественные включения R ⊂ C ⊂ H.

Анализ такого включения приводит к конструкции Кэли – Диксона, формализованной А. А. Альбертом. Пусть A - евклидова алгебра Гурвица, а B - собственная подалгебра с единицей, то есть евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор J в A ортогональна к B. Поскольку ( j, 1) = 0, то j * = - j и, следовательно, j ² = −1. Пусть C - подалгебра, порожденная B и j. Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим законам умножения Кэли-Диксона :

${\ displaystyle \ displaystyle {C = B \ oplus Bj, \, \, \, (a + bj) ^ {*} = a ^ {*} - bj, \, \, \, (a + bj) (c + dj) = (ac-d ^ {*} b) + (bc ^ {*} + da) j.}}$

B и B J ортогональны, так как J ортогонален B. Если a находится в B, то j a = a *  j, поскольку по ортогональному 0 = 2 ( j,  a *) = j a - a *  j. Формула инволюции следующая. Для того, чтобы показать, что B ⊕ B J замкнуто относительно умножения Bj = J B. Поскольку B j ортогонален 1, ( b j) * = - b j.

• b ( c j) = ( c b) j, поскольку ( b,  j) = 0, так что для x в A, ( b ( c j),  x) = ( b ( j x),  j ( c j)) = - ( b ( jx),  c *) = - ( c b, ( j x) *) = - (( c b) j,  x *) = (( c b) j,  x).
• ( j c) b = j ( b c) с учетом вышеупомянутых сопряженных элементов.
• ( b j) ( c j) = - c *  b, поскольку ( b,  c j) = 0, так что для x в A, (( b j) ( c j),  x) = - (( c j) x *,  b j) = ( b x *, ( c j) j) = - ( c *  b,  x).

Наложение мультипликативности нормы на C для a + b j и c + d j дает:

${\ displaystyle \ displaystyle {(\ | a \ | ^ {2} + \ | b \ | ^ {2}) (\ | c \ | ^ {2} + \ | d \ | ^ {2}) = \ | ac-d ^ {*} b \ | ^ {2} + \ | bc ^ {*} + da \ | ^ {2},}}$

что приводит к

${\ displaystyle \ displaystyle {(ac, d ^ {*} b) = (bc ^ {*}, da).}}$

Следовательно, d ( a c) = ( d a) c, так что B должен быть ассоциативным.

Этот анализ применит к включению R в C и C в H. Взяв O = H ⊕ H с указанным выше произведением и внутренним произведением, получаем некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную J = (0, 1). Это восстанавливает обычное определение октонионов или чисел Кэли. Если евклидово алгебра, она должна содержать R. Если это строго больше, чем R, аргумент выше, показывает, что она содержит C. Если он больше, чем C, он содержит H. Если он больше еще, она должна содержать O. Но на этом процесс должен остановиться, потому что O не ассоциативен. На самом деле Н не является коммутативным и ( б J) = ( б а) J ≠ ( а б) J в O.

Теорема. Единственные евклидовы алгебры Гурвица - это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Доказательства Ли (1948) и Шевалле (1954) используют алгебры Клиффорда, чтобы показать, что размерность N матрицы A должна быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы L ( a) с ( a, 1) = 0 удовлетворяют L ( a) ² = −‖  a  ‖ ² и, таким образом, образует вещественную алгебру Клиффорда. Если единичный вектор, то L () кососим- сопряженный с квадратным - я. Таким образом, N должно быть либо четным, либо 1 (в этом случае A не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Реальная алгебра Клиффорда и ее комплексификация действуют на комплексификацию A, N -мерного комплексного пространства. Если N четно, N - 1 нечетно, поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два комплексных неприводимых представления размерности 2 ^{N / 2 - 1}. Так что сила 2 должна разделить N. Легко видеть, что это означает, что N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экмана (1954) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп, которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взяв ортонормированный базис e i ортогонального дополнения к единице, мы получим операторы U i = L ( e i), удовлетворяющие Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFEckmann1954 ( справка )

${\ displaystyle \ displaystyle {U_ {i} ^ {2} = - I, \, \, \, U_ {i} U_ {j} = - U_ {j} U_ {i} \, \, (i \ neq j).}}$

Это проективное представление прямого произведения N - 1 групп порядка 2. ( Предполагается, что N больше 1.) Операторы U i по построению кососимметричны и ортогональны. Фактически Экманн построил операторы этого типа несколько другим, но эквивалентным способом. Фактически, это метод, первоначально использованный Гурвицем (1923). Предположим, что существует закон композиции для двух форм

${\ displaystyle \ displaystyle {(x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {N} ^ {2}) (y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {N} ^ {2}) = z_ {1} ^ {2} + \ cdots + z_ {N} ^ {2},}}$

где z i является билинейным по x и y. Таким образом

${\ displaystyle \ displaystyle {z_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} a_ {ij} (x) y_ {j}}}$

где матрица T ( x) = ( a ij) линейна по x. Приведенные выше отношения эквивалентны

${\ displaystyle \ displaystyle {T (x) T (x) ^ {t} = x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {N} ^ {2}.}}$

Пишу

${\ displaystyle \ displaystyle {T (x) = T_ {1} x_ {1} + \ cdots + T_ {N} x_ {N},}}$

отношения становятся

${\ displaystyle \ displaystyle {T_ {i} T_ {j} ^ {t} + T_ {j} T_ {i} ^ {t} = 2 \ delta _ {ij} I.}}$

Теперь положим V i = ( T N) ^t T i. Таким образом, V N = I и V 1,...,  V N - 1 кососопряжены, ортогональны, удовлетворяя точно тем же соотношениям, что и U i:

${\ displaystyle \ displaystyle {V_ {i} ^ {2} = - I, \, \, \, V_ {i} V_ {j} = - V_ {j} V_ {i} \, \, (i \ neq j).}}$

Поскольку V i - ортогональная матрица с квадратом - I в вещественном векторном пространстве, N четно.

Пусть G - конечная группа, порожденная такими элементами v i, что

${\ displaystyle \ displaystyle {v_ {i} ^ {2} = \ varepsilon, \, \, \, v_ {i} v_ {j} = \ varepsilon v_ {j} v_ {i} \, \, (i \ neq j),}}$

где ε центральная порядка 2. Коммутатор [ G,  G ] как раз образован из 1 и ε. Если N нечетно, это совпадает с центром, а если N четно, центр имеет порядок 4 с дополнительными элементами γ = v 1... v N - 1 и ε  γ. Если g в G не находится в центре, его класс сопряженности в точности равен g и ε g. Таким образом, существует 2 ^{N - 1} + 1 классов сопряженности для N нечетных и 2 ^{N - 1} + 2 для N четных. G имеет | G / [ G,  G ] | = 2 ^{N - 1} одномерных комплексных представлений. Общее количество неприводимых комплексных представлений - это количество классов сопряженности. Итак, поскольку N четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов измерений равна | G  | и размеры разделяют | G  |, две неприводимые должны иметь размерность 2 ^{( N - 2) / 2}. Когда N четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, так же как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь размерность 2 ^{( N - 2) / 2}. Пространство, в котором действует V i, может быть комплексным. Она будет иметь комплексную размерность N. Он распадается на некоторые сложные неприводимые представления группы G, все из которых имеют размерность 2 ^{( N - 2) / 2}. В частности, это измерение ≤ N, поэтому N меньше или равно 8. Если N = 6, размер равен 4, что не делит 6. Таким образом, N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Пусть алгебра евклидовой Гурвица и пусть М п () алгебра п матрицу с размерностью п матриц над А. Это единичная неассоциативная алгебра с инволюцией, заданной формулой

${\ displaystyle \ displaystyle {(x_ {ij}) ^ {*} = (x_ {ji} ^ {*}).}}$

След Tr ( X) определяется как сумма диагональных элементов X и вещественного следа формулой Tr R ( X) = Re Tr ( X). След с действительным знаком удовлетворяет:

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {\ mathbf {R}} XY = \ operatorname {Tr} _ {\ mathbf {R}} YX, \ qquad \ operatorname {Tr} _ {\ mathbf {R}} (XY) Z = \ operatorname {Tr} _ {\ mathbf {R}} X (YZ).}$

Это непосредственные следствия известных тождеств при n = 1.

В A определите ассоциатор как

${\ displaystyle \ displaystyle {[a, b, c] = a (bc) - (ab) c.}}$

Оно трилинейно и тождественно обращается в нуль, если A ассоциативно. Поскольку A - альтернативная алгебра, [ a,  a,  b ] = 0 и [ b,  a,  a ] = 0. Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в трех своих элементах. Кроме того, если a, b или c лежат в R, то [ a,  b,  c ] = 0. Из этих фактов следует, что M 3 ( A) обладает некоторыми коммутационными свойствами. Фактически, если X - матрица в M 3 ( A) с действительными элементами на диагонали, то

${\ displaystyle \ displaystyle {[X, X ^ {2}] = aI,}}$

с в A. Фактически, если Y = [ X,  X ² ], то

${\ displaystyle \ displaystyle {y_ {ij} = \ sum _ {k, \ ell} [x_ {ik}, x_ {k \ ell}, x _ {\ ell j}].}}$

Поскольку диагональные элементы X действительны, недиагональные элементы Y равны нулю. Каждый диагональный элемент из Y представляет собой сумму двух ассоциаторами с участием только от диагональных членов X. Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок, диагональные элементы Y равны.

Пусть H n ( A) - пространство самосопряженных элементов в M n ( A) с произведением X ∘ Y =1/2( X Y + Y X) и внутренний продукт ( X,  Y) = Tr R ( X Y).

Теорема. H n ( A) является евклидовой йордановой алгеброй, если A ассоциативна (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и n ≥ 3 или если A неассоциативна (октонионы) и n = 3.

Исключительная йорданова алгебра Н 3 ( О) называется алгебра Альберт после того, как А. Альберт.

Чтобы проверить, что H n ( A) удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, вещественный след определяет симметричную билинейную форму с ( X,  X) = Σ ‖  x ij  ‖ ². Так что это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности ( Z ∘ X,  Y) = ( X,  Z ∘ Y) из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, - это условие Жордана для операторов L ( X), определенных формулой L ( X) Y = X ∘ Y:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (X), L (X ^ {2})] = 0.}}$

Это легко проверить, когда A ассоциативна, поскольку M n ( A) - ассоциативная алгебра, поэтому йорданова алгебра с X ∘ Y =1/2( X Y + Y X). Когда A = O и n = 3, требуется специальный аргумент, один из самых коротких из которых принадлежит Фройденталю (1951).

Фактически, если T находится в H 3 ( O) с Tr  T = 0, то

${\ Displaystyle \ Displaystyle {D (X) = TX-XT}}$

определяет кососопряженное дифференцирование H 3 ( O). Действительно,

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (T (X (X ^ {2})) - T (X ^ {2} (X))) = \ operatorname {Tr} T (aI) = \ operatorname {Tr} ( T) a = 0,}$

так что

${\ displaystyle (D (X), X ^ {2}) = 0.}$

Поляризационные выходы:

${\ Displaystyle (D (X), Y \ circ Z) + (D (Y), Z \ circ X) + (D (Z), X \ circ Y) = 0.}$

Установка Z = 1 показывает, что D кососопряжен. Свойство вывода D ( X ∘ Y) = D ( X) ∘ Y + X ∘ D ( Y) следует из этого и из свойства ассоциативности скалярного произведения в приведенном выше тождестве.

С A и n, как в формулировке теоремы, пусть K - группа автоморфизмов E = H n ( A), оставляющих инвариантным скалярное произведение. Это замкнутая подгруппа в O ( E), а значит, компактная группа Ли. Его алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фройденталь (1951) показал, что для данного X в E существует автоморфизм k в K такой, что k ( X) - диагональная матрица. (По самосопряженности диагональные элементы будут реальными.) Диагонализация Фрейденталь теорема непосредственно вытекает условие Жордана, так как продукты Иордана реальных диагональных матриц коммутировать на М п ( А) для любой не-ассоциативной алгебры A.

Для доказательства теоремы диагонализационном взять X в E. По компактности k можно выбрать в K, минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов k ( X). Поскольку K сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k ( X). Замена X с помощью K X, можно предположить, что максимум достигается при X. Поскольку симметрическая группа S n, действующая путем перестановки координат, лежит в K, если X не диагонально, можно предположить, что x 12 и присоединенный к нему x 21 ненулевые. Пусть Т быть косого присоединенная матрица с (2, 1) ввода а, (1, 2) запись - * и 0 в других местах, и пусть D будет вывод объявления Т из Е. Пусть к т = ехр  Td в K. Тогда только первые две диагональные элементы в X ( т) = к т Х отличаются от X. Диагональные записи настоящие. Производная x 11 ( t) при t = 0 является координатой (1, 1) [ T,  X ], то есть a *  x 21 + x 12  a = 2 ( x 21,  a). Эта производная не равна нулю, если a = x 21. С другой стороны, группа k t сохраняет действительный след. Поскольку он может изменять только x 11 и x 22, он сохраняет их сумму. Однако на прямой x + y = constant, x ² + y ² не имеет локального максимума (только глобальный минимум); противоречие. Следовательно, X должен быть диагональным.

• Мультипликативная квадратичная форма
• Число Радона – Гурвица
• Теорема Фробениуса

• Альберт, AA (1934), "Об одной алгебре квантовой механики", Ann. математики., 35 (1): 65-73, DOI : 10,2307 / 1968118, JSTOR   1968118
• Chevalley, C. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда, Columbia University Press
• Экманн, Бено (1943), "Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition quadratischer Formen", Комментарий. Математика. Helv., 15: 358-366, DOI : 10.1007 / bf02565652, S2CID   123322808
• Экманн, Бено (1989), "Матрицы Гурвица – Радона и периодичность по модулю 8", Enseign. Математика., 35: 77–91, архивировано с оригинала 16.06.2013.
• Экманн, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ - отношения и недостающие звенья», Notices Amer. Математика. Soc., 46: 520–527
• Faraut, J.; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах, Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN   978-0198534778
• Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
• Freudenthal, Hans (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata, 19: 7-63, DOI : 10.1007 / bf00233101, S2CID   121496094 (перепечатка статьи 1951 г.)
• Херштейн, И. Н. (1968), Некоммутативные кольца, Математические монографии Каруса, 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN   978-0883850152
• Гурвиц, А. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von correbig vielen Variabeln", Goett. Nachr.: 309–316
• Гурвиц, А. (1923), "Über die Komposition der quadratischen Formen", Math. Анна., 88 (1-2): 1-25, DOI : 10.1007 / bf01448439, S2CID   122147399
• Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39, Американское математическое общество
• Jordan, P.; von Neumann, J.; Вигнер, Э. (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Ann. математики., 35 (1): 29-64, DOI : 10,2307 / 1968117, JSTOR   1968117
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN   978-0-8218-1095-8, Руководство по ремонту   2104929, Zbl   1068.11023
• Ли, Х.К. (1948), "Sur le théorème de Hurwitz-Radon для композиции квадратичных форм", Комментарий. Математика. Helv., 21: 261–269, doi : 10.1007 / bf02568038, S2CID   121079375, заархивировано из оригинала 03.05.2014.
• Портеус, И. Р. (1969), Топологическая геометрия, Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN   978-0-442-06606-2, Zbl   0186,06304
• Постников М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, Мир
• Радон, Дж. (1922), "Lineare scharen orthogonaler matrizen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1: 1–14, doi : 10.1007 / bf02940576, S2CID   120583389
• Rajwade, AR (1993), Squares, Серия лекций Лондонского математического общества, 171, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-42668-8, Zbl   0785,11022
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры, Dover Publications, ISBN   978-0-486-68813-8, Zbl   0145.25601
• Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм, De Gruyter Expositions in Mathematics, 33, Walter de Gruyter, ISBN   978-3-11-012629-7, Zbl   0954,11011

• Баэз, Джон С. (2002), «Октонионы», Bull. Амер. Математика. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X, S2CID   586512
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия, А.К. Петерс, ISBN   978-1568811345
• Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1989), "Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица"., Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры, Пер. А. Шеницер (2-е изд.), Springer-Verlag, p.  121, ISBN   978-0-387-96980-0, Zbl   0669,17001
• Макс Кехера amp; Reinhold Remmert (1990) "Теорема Композиционные алгебры Гурвица. - Алгебры Вектор-Продукт", глава 10 из чисел от Heinz-Dieter Эббингауза. И др, Springer, ISBN   0-387-97202-1
• Springer, TA ; Ф. Д. Вельдкамп (2000), октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer-Verlag, ISBN   978-3-540-66337-9