Альфапедия

Матрицы Гелл-Манна

редактировать
Набор матриц, полезных при изучении сильного взаимодействия

Гелл-Манн м матрицы, разработанные Мюррей Гелл-Манн, представляют собой набор из восьми линейно независимых 3 × 3 бесследных используемых эрмитовых матриц при изучении сильного взаимодействия в физике элементарных частиц. Они охватывают алгебру Ли группы SU (3) в определяющем представлении.

Содержание
  • 1 Матрицы
  • 2 Свойства
    • 2.1 Ортонормальность следа
    • 2.2 Коммутационные соотношения
    • 2.3 Отношения полноты Фирца
  • 3 Теория представлений
    • 3.1 Операторы и инварианты Казимира
  • 4 Приложение к квантовой хромодинамике
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
Матрицы
λ 1 = (0 1 0 1 0 0 0 0 0) {\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}} λ 2 = (0 - i 0 i 0 0 0 0 0) {\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ begin {pmatrix } 0 -i 0 \\ i 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 -i 0 \\ i 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}} λ 3 = (1 0 0 0 - 1 0 0 0 0) {\ displaystyle \ lambda _ {3} = {\ begin {pmatrix } 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}
λ 4 = (0 0 1 0 0 0 1 0 0) {\ displaystyle \ lambda _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 0 1 \\ 0 0 0 \\ 1 0 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 0 1 \\ 0 0 0 \\ 1 0 0 \ end {pmatrix}} λ 5 = (0 0 - i 0 0 0 i 0 0) {\ displaystyle \ lambda _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 0 - я \\ 0 0 0 \\ я 0 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 0 -i \\ 0 0 0 \\ i 0 0 \ end {pmatrix}}
λ 6 = (0 0 0 0 0 1 0 1 0) {\ displaystyle \ lambda _ {6} = {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {6} = {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \ end {pmatrix}} λ 7 = (0 0 0 0 0 - я 0 я 0) {\ displaystyle \ lambda _ {7} = {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 -i \\ 0 i 0 \ end {pmatrix}}}\ lambda _ {7} = {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 -i \\ 0 i 0 \ end {pmatrix}} λ 8 = 1 3 (1 0 0 0 1 0 0 0 - 2). {\ displaystyle \ lambda _ {8} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -2 \ end {pmatrix}}.}{\ displaystyle \ lambda _ {8} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -2 \ end {pmatrix} }.}
Свойства

Эти матрицы являются бесследными, эрмитовыми (поэтому они могут генерировать унитарную матрицу групповые элементы посредством возведения в степень) и подчиняются соотношению ортонормированности дополнительного следа. Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, потому что они затем естественным образом обобщают матрицы Паули для SU (2) на SU (3), которые легли в основу Кварковая модель Гелл-Манна. Обобщение Гелл-Манна распространяется на общий SU (n). Чтобы узнать об их связи со стандартным базисом алгебр Ли, см. базис Вейля – Картана.

Ортонормальность следа

В математике ортонормированность обычно подразумевает норму, которая имеет значение единство (1). Однако матрицы Гелл-Манна нормализованы до значения 2. Таким образом, след попарного произведения приводит к условию ортонормировки

tr ⁡ (λ i λ j) = 2 δ ij, {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ lambda _ {i} \ lambda _ {j}) = 2 \ delta _ {ij},}{\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ lambda _ {i} \ lambda _ {j}) = 2 \ delta _ {ij},}

где δ ij {\ displaystyle \ delta _ { ij}}\ delta _ {ij} - дельта Кронекера.

. Это значит, что встроенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам SU (2), обычно нормализуются. В этом трехмерном матричном представлении подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц λ 3 {\ displaystyle \ lambda _ {3}}\ лямбда _ {3} и λ 8 {\ displaystyle \ lambda _ {8}}\ lambda _ {8} , которые коммутируют друг с другом.

Существует три независимых SU (2) подалгебры:

  • {λ 1, λ 2, λ 3} {\ displaystyle \ {\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3} \}}\ {\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3} \}
  • {λ 4, λ 5, x}, {\ displaystyle \ {\ lambda _ {4}, \ lambda _ {5}, x \},}{\ displaystyle \ {\ lambda _ {4}, \ лямбда _ {5}, x \},} и
  • {λ 6, λ 7, y}, {\ displaystyle \ {\ lambda _ {6}, \ lambda _ {7}, y \},}{\ displaystyle \ {\ lambda _ {6}, \ lambda _ {7}, y \},}

где x и y являются линейными комбинациями λ 3 {\ displaystyle \ lambda _ {3}}\ лямбда _ {3} и λ 8 {\ displaystyle \ lambda _ {8}}\ lambda _ {8} . SU (2) Казимиры этих подалгебр взаимно коммутируют.

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр приведет к подалгебрам SU (2). Таких преобразований несчетное количество.

Коммутационные соотношения

8 генераторов SU (3) удовлетворяют коммутационным и антикоммутационным соотношениям

[λ a, λ b] = 2 i ∑ cfabc λ c, {λ a, λ b} знак равно 4 3 δ ab I + 2 ∑ cdabc λ c, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \ right] = 2i \ sum _ {c} f ^ {abc} \ lambda _ {c}, \\\ {\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \} = {\ frac {4} {3} } \ delta _ {ab} I + 2 \ sum _ {c} d ^ {abc} \ lambda _ {c}, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [ \ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \ right] = 2i \ sum _ {c} f ^ {abc} \ lambda _ {c}, \\\ {\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \} = {\ frac {4} {3}} \ delta _ {ab} I + 2 \ sum _ {c} d ^ {abc} \ lambda _ {c}, \ end {выровнено} }}

со структурными константами

fabc = - 1 4 i tr ⁡ (λ a [λ b, λ c]), dabc = 1 4 tr ⁡ (λ a {λ b, λ c}). {\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {abc} = - {\ frac {1} {4}} i \ operatorname {tr} (\ lambda _ {a} [\ lambda _ {b}, \ lambda _ {c}]), \\ d ^ {abc} = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {tr} (\ lambda _ {a} \ {\ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} \}). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {abc} = - {\ frac {1} { 4}} i \ operatorname {tr} (\ lambda _ {a} [\ lambda _ {b}, \ lambda _ {c}]), \\ d ^ {abc} = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {tr} (\ lambda _ {a} \ {\ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} \}). \ end {align}}}

Структурные константы fabc {\ displaystyle f ^ {abc}}f ^ {abc} полностью антисимметричны в три индекса, обобщающие антисимметрию символа Леви-Чивиты ϵ jkl {\ displaystyle \ epsilon _ {jkl}}\ epsilon_ {jkl} в SU (2). Для текущего порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения

f 123 = 1, f 147 = f 165 = f 246 = f 257 = f 345 = f 376 = 1 2, f 458 = f 678 = 3 2.. {\ displaystyle f ^ {123} = 1 \, \ quad f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = {\ frac {1} {2}} \, \ quad f ^ {458} = f ^ {678} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \.}f ^ {123} = 1 \, \ quad f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246 } = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = {\ frac {1} {2}} \, \ quad f ^ {458} = f ^ {678} = {\ frac { \ sqrt {3}} {2}} \.

Как правило, они равны нулю, если только они не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующих антисимметричным (мнимым) λs.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

λ a λ b = 1 2 ([λ a, λ b] + {λ a, λ b}) = 2 3 δ ab I + ∑ с (dabc + ifabc) λ c, {\ displaystyle \ lambda _ {a} \ lambda _ {b} = {\ frac {1} {2}} ([\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}] + \ {\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \}) = {\ frac {2} {3}} \ delta _ {ab} I + \ sum _ {c } \ left (d ^ {abc} + if ^ {abc} \ right) \ lambda _ {c},}{\ displaystyle \ lambda _ {a} \ lambda _ {b} = {\ frac {1} {2}} ([\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}] + \ {\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \}) = {\ frac {2} {3}} \ delta _ {ab} I + \ sum _ {c} \ left (d ^ {abc} + if ^ {abc} \ right) \ lambda _ {c},}

где I - единичная матрица.

Отношения полноты Фирца

Поскольку восемь матриц и тождество представляют собой полный набор ортогональных следов, охватывающий все матрицы 3 × 3, легко найти два отношения полноты Фирца, (Li Cheng, 4.134), аналогично тому, что удовлетворяется матрицами Паули. А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для их индексов строки / столбца, выполняются следующие тождества:

δ β α δ δ γ = 1 3 δ δ α δ β γ + 1 2 λ δ α ⋅ λ β γ {\ Displaystyle \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ delta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {3}} \ delta _ {\ delta } ^ {\ alpha} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} + {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ beta} ^ {\ gamma}}{\ displaystyle \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ delta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {3}} \ delta _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} + {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ beta} ^ {\ gamma}}

и

λ β α ⋅ λ δ γ = 16 9 δ δ α δ β γ - 1 3 λ δ α ⋅ λ β γ. {\ displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = {\ frac {16} {9}} \ delta _ {\ delta} ^ {\ альфа} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} - {\ frac {1}} \ lambda _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ beta} ^ {\ gamma } ~.}{\ displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = {\ frac {16} {9}} \ delta _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} - {\ frac {1} {3}} \ lambda _ {\ delta} ^ {\ alpha } \ cdot \ lambda _ {\ beta} ^ {\ gamma} ~.}

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеперечисленного,

λ β α ⋅ λ δ γ = 2 δ δ α δ β γ - 2 3 δ β α δ δ γ. {\ displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = 2 \ delta _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} - {\ frac {2} {3}} \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ delta} ^ {\ gamma} ~.}{\ displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = 2 \ delta _ {\ delta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ beta} ^ {\ gamma} - {\ frac { 2} {3}} \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ delta _ {\ delta} ^ {\ gamma} ~.}
Теория представлений

Конкретный выбор матриц называется представлением группы, потому что любой элемент SU (3) может быть записан в форме exp (i θ jgj) {\ displaystyle \ mathrm { exp} (i \ theta ^ {j} g_ {j})}{\ displaystyle \ mathrm {exp} (i \ theta ^ {j} g_ {j})} , где восемь θ j {\ displaystyle \ theta ^ {j}}\ theta ^ {j } - действительные числа и подразумевается сумма по индексу j. Для одного представления эквивалентное может быть получено произвольным унитарным преобразованием подобия, поскольку при этом коммутатор остается неизменным.

Матрицы могут быть реализованы как представление инфинитезимальных генераторов специальной унитарной группы , называемой SU (3). Алгебра Ли этой группы (на самом деле настоящая алгебра Ли) имеет размерность восемь, поэтому у нее есть некоторый набор с восемью линейно независимыми образующими, которые можно записать как gi {\ displaystyle g_ {i}}g_ {i} , где i принимает значения от 1 до 8.

Операторы и инварианты Казимира

Квадрат суммы матриц Гелл-Манна дает квадратичный оператор Казимира, групповой инвариант,

C = ∑ i = 1 8 λ i λ i = 16 3 I {\ displaystyle C = \ sum _ {i = 1} ^ {8} \ lambda _ {i} \ lambda _ {i} = {\ frac {16} {3}} I}{\ displaystyle C = \ sum _ {i = 1} ^ {8} \ lambda _ {i} \ lambda _ {i} = {\ frac {16} {3}} I}

где I {\ displaystyle I \,}{\ displaystyle I \,} равно 3 × 3 единичная матрица. Также существует другой, независимый, кубический оператор Казимира.

Применение к квантовой хромодинамике

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветных) вращений глюонных полей, связанных с цветными кварками кванта. хромодинамика (ср. цвета глюона ). Калибровочное вращение цвета - это пространственно-временной элемент группы SU (3) U = exp ⁡ (i θ k (r, t) λ k / 2) {\ displaystyle U = \ exp (i \ theta ^ {k } ({\ mathbf {r}}, t) \ lambda _ {k} / 2)}{\ displaystyle U = \ exp (i \ theta ^ {k} ({\ mathbf {r}}, t) \ лямбда _ {к} / 2)} , где подразумевается суммирование по восьми индексам k.

См. Также
Литература
Последняя правка сделана 2021-05-21 14:05:06
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте