Интегральное уравнение электрического поля

редактировать

Интегральное уравнение электрического поля - это соотношение, которое позволяет расчет электрического поля (E), создаваемого распределением электрического тока (Дж ).

Содержание

1 Вывод
2 Интерпретация
3 Примечания
4 Ссылки

Вывод

Когда учитываются все величины в частотной области, зависимость от времени $e + jwt {\ displaystyle e ^ {+ jwt} \,}$ $e ^ {{+ jwt}} \,$ , который везде подавляется.

Начиная с уравнений Максвелла, связывающих электрическое и магнитное поля, и предполагая линейную, однородную среду с проницаемость $μ {\ displaystyle \ mu \,}$ $\ mu \,$ и permittivity $ϵ {\ displaystyle \ epsilon \,}$ $\ epsilon \,$ :

∇ × E = - J ω μ H {\ Displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu {\ textbf {H}} \,}

\ nabla \ times {\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu {\ textbf {H} } \,

∇ × H = j ω ϵ E + J {\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {H}} = j \ omega \ epsilon {\ textbf {E}} + {\ textbf {J}} \,}

\ nabla \ times {\ textbf {H}} = j \ omega \ epsilon {\ textbf {E}} + {\ textbf {J}} \,

Следуя третьему уравнению, включающему расхождение из H

∇ ⋅ H = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {H}} = 0 \,}

\ nabla \ cdot {\ textbf {H}} = 0 \,

с помощью векторного исчисления, мы можем записать любое бездивергентное вектор как curl другого вектора, следовательно,

∇ × A = H {\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {A}} = {\ textbf {H}} \,}

\ nabla \ times {\ textbf {A}} = {\ textbf {H}} \,

, где A называется векторным магнитным потенциалом. Подставляя это в приведенное выше, мы получаем

∇ × (E + j ω μ A) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times ({\ textbf {E}} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}})) = 0 \,}

\ nabla \ times ({ \ textbf {E}} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}}) = 0 \,

и любой вектор без завитков можно записать как градиент скаляра, следовательно,

E + j ω μ A = - ∇ Φ {\ displaystyle {\ textbf {E}} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}} = - \ nabla \ Phi}

{\ textbf {E }} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}} = - \ nabla \ Phi

где $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ - это электрический скалярный потенциал. Эти отношения теперь позволяют нам записать

∇ × ∇ × A - k 2 A = J - j ω ϵ ∇ Φ {\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ times {\ textbf {A}} - k ^ {2 } {\ textbf {A}} = {\ textbf {J}} - j \ omega \ epsilon \ nabla \ Phi \,}

\ nabla \ times \ nabla \ times {\ textbf {A}} - k ^ {{2}} {\ textbf {A}} = {\ textbf {J}} - j \ omega \ epsilon \ nabla \ Phi \,

где $k = ω μ ϵ {\ displaystyle k = \ omega {\ sqrt {\ mu \ epsilon}}}$ $k = \ omega {\ sqrt {\ mu \ epsilon}}$ , который можно переписать с помощью векторного тождества как

∇ (∇ ⋅ A) - ∇ 2 A - k 2 A = J - j ω ϵ ∇ Φ { \ displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ textbf {A}} - k ^ {2} {\ textbf {A}} = {\ textbf {J }} - j \ omega \ epsilon \ nabla \ Phi \,}

\ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {A}}) - \ nabla ^ {{2}} {\ textbf {A}} - k ^ {{2}} {\ textbf {A}} = {\ textbf {J}} - j \ omega \ epsilon \ nabla \ Phi \,

Поскольку мы указали только локон A, мы можем определить дивергенцию и выбрать следующее:

∇ ⋅ A = - j ω ϵ Φ {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {A}} = - j \ omega \ epsilon \ Phi \,}

\ nabla \ cdot {\ textbf {A}} = - j \ omega \ epsilon \ Phi \,

, которое называется условием калибровки Лоренца. Предыдущее выражение для A теперь сокращается до

∇ 2 A + k 2 A = - J {\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ textbf {A}} + k ^ {2} { \ textbf {A}} = - {\ textbf {J}} \,}

\ nabla ^ {{2}} {\ textbf { A}} + k ^ {{2}} {\ textbf {A}} = - {\ textbf {J}} \,

который является векторным уравнением Гельмгольца. Решение этого уравнения для A :

A (r) = 1 4 π ∭ J (r ′) G (r, r ′) dr ′ {\ displaystyle {\ textbf {A}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ textbf {J}} ({\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \ G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \ d {\ textbf {r}} ^ {\ prime} \,}

{\ textbf {A}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ textbf {J}} ({\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \ G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \ d {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}} \,

где $G (r, r ′) {\ displaystyle G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \,}$ $G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \,$ - трехмерная однородная функция Грина, заданная по

G (r, r ′) = e - jk | г - г '| | г - г '| {\ displaystyle G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) = {\ frac {e ^ {- jk | {\ textbf {r}} - {\ textbf {r }} ^ {\ prime} |}} {| {\ textbf {r}} - {\ textbf {r}} ^ {\ prime} |}} \,}

G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{ \ prime}}) = {\ frac {e ^ {{- jk | {\ textbf {r}} - {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}} |}}} {| {\ textbf {r }} - {\ te xtbf {r}} ^ {{\ prime}} |}} \,

Теперь мы можем написать то, что называется электрическим интегральное уравнение поля (EFIE), связывающее электрическое поле E с векторным потенциалом A

E = - j ω μ A + 1 j ω ϵ ∇ (∇ ⋅ A) {\ displaystyle {\ textbf { E}} = - j \ omega \ mu {\ textbf {A}} + {\ frac {1} {j \ omega \ epsilon}} \ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {A}}) \,}

{\ textbf {E}} = - j \ omega \ му {\ textbf {A}} + {\ frac {1} {j \ omega \ epsilon}} \ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {A}}) \,

Далее мы можем представить EFIE в диадической форме как

E = - j ω μ ∫ V dr ′ G (r, r ′) ⋅ J (r ′) {\ displaystyle {\ textbf {E}} = -j \ omega \ mu \ int _ {V} d {\ textbf {r}} ^ {\ prime} {\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \ cdot {\ textbf {J}} ({\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \,}

{\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu \ int _ {V} d {\ textbf {r} } ^ {{\ prime}} {\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \ cdot {\ textbf {J}} ({ \ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \,

где $G (r, r ') {\ displaystyle {\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \,}$ ${\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) \,$ вот диадическая однородная функция Грина, задаваемая

G ( р, г ') знак равно 1 4 π [я + ∇ ∇ К 2] г (г, г') {\ Displaystyle {\ текст bf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ textbf {I}} + {\ frac {\ nabla \ nabla} {k ^ {2}}} \ right] G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ prime}) \,}

{\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [ {\ textbf {I}} + {\ frac {\ nabla \ nabla} {k ^ {2}}} \ right] G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {{\ prime }}) \,

Интерпретация

EFIE описывает излучаемое поле E с учетом набора источников J, и как таковое это фундаментальное уравнение, используемое в антенне анализ и дизайн. Это очень общее соотношение, которое можно использовать для вычисления излучаемого поля антенны любого типа, если известно распределение тока на ней. Наиболее важным аспектом EFIE является то, что он позволяет нам решать проблему излучения / рассеяния в неограниченной области или в той, граница которой расположена на бесконечности. Для закрытых поверхностей можно использовать интегральное уравнение магнитного поля или комбинированное интегральное уравнение поля, оба из которых приводят к набору уравнений с улучшенным числом обусловленности по сравнению с EFIE. Однако MFIE и CFIE все еще могут содержать резонансы.

В задачах рассеяния желательно определить неизвестное поле рассеяния $E s {\ displaystyle E_ {s}}$ $E _ {{s}}$ , которое возникает из-за известного поля инцидента $E я {\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ . К сожалению, EFIE связывает рассеянное поле с J, а не с полем инцидента, поэтому мы не знаем, что такое J . Проблема такого рода может быть решена путем наложения граничных условий на поле инцидента и рассеянного поля, что позволяет записать EFIE в терминах $E i {\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ и J одни. Как только это будет сделано, интегральное уравнение может быть решено численным методом, соответствующим интегральным уравнениям, таким как метод моментов.

Примечания

По теореме Гельмгольца векторное поле полностью описывается своей дивергенцией и ротором. Поскольку расхождение не было определено, мы оправданы выбором условия калибровки Лоренца выше при условии, что мы последовательно используем это определение расхождения A во всех последующих анализах. Однако другие варианты для $∇ ⋅ A {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ $\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}}$ также действительны и приводят к другим уравнениям, которые все описывают те же явления, и решения уравнений для любого выбора $∇ ⋅ A {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ $\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}}$ приводят к одним и тем же электромагнитным полям, и одни и те же физические предсказания относительно полей и зарядов являются ускоренный ими.

Естественно думать, что если величина демонстрирует такую степень свободы в своем выборе, то ее нельзя интерпретировать как реальную физическую величину. В конце концов, если мы можем свободно выбрать $∇ ⋅ A {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ $\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}}$ как что угодно, тогда $A {\ displaystyle \ mathbf {A} }$ $\ mathbf {A}$ не уникален. Может возникнуть вопрос: каково «истинное» значение $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , измеренное в эксперименте? Если $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ не уникально, тогда единственный логический ответ должен заключаться в том, что мы никогда не сможем измерить значение $A {\ displaystyle \ mathbf {A }}$ $\ mathbf {A}$ . На этом основании часто утверждается, что это не реальная физическая величина, и считается, что поля $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ и $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ - истинные физические величины.

Однако существует по крайней мере один эксперимент, в котором значение $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ и $B {\ displaystyle \ mathbf {B }}$ $\ mathbf {B}$ оба равны нулю в месте нахождения заряженной частицы, но, тем не менее, на них влияет присутствие локального магнитного векторного потенциала; подробнее см. эффект Ааронова – Бома. Тем не менее, даже в эксперименте Ааронова-Бома расхождение $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ никогда не учитывается в расчетах; только $∇ × A {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A}}$ $\ nabla \ times {\ mathbf {A}}$ вдоль пути частицы определяет измеримый эффект.

Ссылки

Гибсон, Уолтон К. Метод моментов в электромагнетизме. Chapman Hall / CRC, 2008. ISBN 978-1-4200-6145-1
Харрингтон, Роджер Ф. Гармонические во времени электромагнитные поля. McGraw-Hill, Inc., 1961. ISBN 0-07-026745-6.
Баланис, Константин А. Передовая инженерная электромагнетизм. Wiley, 1989. ISBN 0-471-62194-3.
Chew, Weng C. Волны и поля в неоднородных средах. IEEE Press, 1995. ISBN 0-7803-4749-8.
Рао, Уилтон, Глиссон. Электромагнитное рассеяние на поверхностях произвольной формы. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol, AP-30, No. 3, May 1982. doi:10.1109/TAP.1982.1142818