Коэффициенты Эйнштейна

редактировать

Линии излучения и линии поглощения в сравнении с непрерывным спектром

Коэффициенты Эйнштейна являются математическими величинами, которые являются мерой вероятность поглощения или излучения света атомом или молекулой. Коэффициенты Эйнштейна A связаны со скоростью спонтанного излучения света, а коэффициенты Эйнштейна B связаны с поглощением и стимулированным излучением света.

Содержание

1 Спектральные линии
2 Коэффициенты излучения и поглощения
- 2.1 Условия равновесия
3 Коэффициенты Эйнштейна
- 3.1 Различные составы
- 3.2 Спонтанное излучение
- 3.3 Вынужденное излучение
- 3.4 Поглощение фотонов
4 Детальная балансировка
5 Сила осцилляторов
6 См. Также
7 Ссылки
- 7.1 Цитированная библиография
8 Прочие источники
9 Внешние ссылки

Спектральные линии

В физике спектральная линия рассматривается с двух точек зрения.

Линия излучения образуется, когда атом или молекула совершает переход с определенного дискретного энергетического уровня E2атома на более низкий энергетический уровень E 1, излучая фотон определенной энергии и длины волны. Спектр многих таких фотонов покажет выброс излучения на длине волны, связанной с этими фотонами.

Линия поглощения образуется, когда атом или молекула совершает переход из более низкого, E 1, в более высокое дискретное энергетическое состояние, E 2, с фотон поглощается в процессе. Эти поглощенные фотоны обычно происходят из фонового континуального излучения (полный спектр электромагнитного излучения), и спектр будет показывать спад непрерывного излучения на длине волны, связанной с поглощенными фотонами.

Эти два состояния должны быть связанными состояниями, в которых электрон связан с атомом или молекулой, поэтому переход иногда называют переходом «связанный-связанный», в отличие от переход, при котором электрон полностью выбрасывается из атома (переход «связанный-свободный») в состояние континуума, оставляя ионизированный атом и генерируя излучение континуума.

A фотон с энергией, равной разности E 2 - E 1 между уровнями энергии, высвобождается или поглощается в процессе. Частота ν, на которой возникает спектральная линия, связана с энергией фотона условием частоты Бора E2- E 1 = hν, где h обозначает постоянную Планка.

Эмиссия и поглощение коэффициенты

Атомная спектральная линия относится к событиям излучения и поглощения в газе, в котором $n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ - это плотность атомов в верхнем энергетическое состояние линии, а $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ - плотность атомов в состоянии с более низкой энергией для линии.

Эмиссия атомной линии излучения на частоте ν может быть описана коэффициентом излучения $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ с единицами энергии / ( время × объем × телесный угол). ε dt dV dΩ - это энергия, излучаемая элементом объема $d V {\ displaystyle dV}$ $dV$ за время $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ в телесный угол $d Ω {\ displaystyle d \ Omega}$ $d \ Omega$ . Для излучения атомной линии

ϵ = h ν 4 π n 2 A 21, {\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} n_ {2} A_ {21},}

{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} n_ {2} A_ {21},}

, где $A 21 {\ displaystyle A_ {21}}$ $A_ {21}$ - коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, который фиксируется внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии.

Поглощение излучения атомных линий может быть описано с помощью коэффициента поглощения $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ с единицей измерения 1 / длина. Выражение κ 'dx дает долю интенсивности, поглощаемую световым лучом с частотой ν при прохождении расстояния dx. Коэффициент поглощения определяется как

κ ′ = h ν 4 π (n 1 B 12 - n 2 B 21), {\ displaystyle \ kappa '= {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} ( n_ {1} B_ {12} -n_ {2} B_ {21}),}

\kappa '={\frac {h\nu }{4\pi }}(n_{1}B_{12}-n_{2}B_{21}),

где $B 12 {\ displaystyle B_ {12}}$ $B_ {12}$ и $B 21 { \ displaystyle B_ {21}}$ $B_ {21}$ - коэффициенты Эйнштейна для поглощения фотонов и индуцированного излучения соответственно. Как и коэффициент $A 21 {\ displaystyle A_ {21}}$ $A_ {21}$ , они также фиксируются внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии. Для термодинамики и для применения закона Кирхгофа необходимо, чтобы полное поглощение выражалось как алгебраическая сумма двух компонентов, описываемых, соответственно, как $B 12 {\ displaystyle B_ {12}}$ $B_ {12}$ и $B 21 {\ displaystyle B_ {21}}$ $B_ {21}$ , которые можно рассматривать как положительное и отрицательное поглощение, которые, соответственно, являются прямым поглощением фотонов и обычно называется стимулированным или индуцированным излучением.

В приведенных выше уравнениях не учитывается влияние формы спектроскопической линии. Чтобы быть точным, приведенные выше уравнения необходимо умножить на (нормализованную) форму спектральной линии, и в этом случае единицы измерения изменятся, чтобы включить член 1 / Гц.

В условиях термодинамического равновесия числовые плотности $n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ и $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ , коэффициенты Эйнштейна и спектральная плотность энергии предоставляют достаточную информацию для определения скорости поглощения и излучения.

Условия равновесия

Числовые плотности $n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ спектр и $n 1 {\ displaystyle n_ {1} }$ $n_ {1}$ задаются физическим состоянием газа, в котором находится спектральная линия, включая локальную спектральную яркость (или, в некоторых представлениях, локальную спектральную плотность энергии излучения). Когда это состояние является либо одним из строгого термодинамического равновесия, либо одним из так называемого «локального термодинамического равновесия», тогда распределение атомных состояний возбуждения (которое включает $n 2 {\ displaystyle n_ { 2}}$ $n_ {2}$ и $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ ) определяет скорости атомных выбросов и поглощений так, чтобы закон равенства Кирхгофа коэффициент излучения и коэффициент излучения в силе. В строгом термодинамическом равновесии поле излучения называется излучением черного тела и описывается законом Планка. Для локального термодинамического равновесия поле излучения не обязательно должно быть полем черного тела, но скорость межатомных столкновений должна значительно превышать скорости поглощения и испускания квантов света, так что межатомные столкновения полностью доминируют в распределении состояний возбуждения атомов. Возникают обстоятельства, при которых локальное термодинамическое равновесие не преобладает, потому что сильные радиационные эффекты подавляют тенденцию к распределению Максвелла – Больцмана молекулярных скоростей. Например, в атмосфере Солнца преобладает большая сила излучения. В верхних слоях атмосферы Земли, на высотах более 100 км, решающее значение имеет редкость межмолекулярных столкновений.

В случаях термодинамического равновесия и локального термодинамического равновесия числовые плотности атомов, как возбужденных, так и невозбужденных, могут быть рассчитаны из Распределение Максвелла – Больцмана, но для других случаев (например, лазеры ) расчет более сложен.

Коэффициенты Эйнштейна

В 1916 году Альберт Эйнштейн предположил, что при формировании спектральной линии атома происходят три процесса. Эти три процесса называются спонтанным излучением, вынужденным излучением и поглощением. С каждым связан коэффициент Эйнштейна, который является мерой вероятности того, что этот конкретный процесс произойдет. Эйнштейн рассмотрел случай изотропного излучения с частотой ν и спектральной плотностью энергии ρ (ν).

Различные формулировки

Хилборн сравнил различные формулировки для выводов коэффициентов Эйнштейна, сделанные разными авторами. Например, Герцберг работает с освещенностью и волновым числом; Ярив работает с энергией на единицу объема на единицу частотного интервала, как и в более поздней формулировке (2008 г.). Михалас и Вайбель-Михалас работают с сиянием и частотой; также Чандрасекар; также Гуди и Юнг; Loudon использует угловую частоту и яркость.

Спонтанное излучение

Схематическая диаграмма спонтанного излучения атомов

Спонтанное излучение - это процесс, при котором электрон «спонтанно» (то есть без какого-либо внешнего воздействия) распадается из более высокого уровень энергии на более низкий. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна A 21 (s), который дает вероятность в единицу времени, что электрон в состоянии 2 с энергией $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ { 2}$ самопроизвольно распадется в состояние 1 с энергией $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ , испуская фотон с энергией E 2 - E 1 = hν. Из-за принципа неопределенности энергия-время переход фактически производит фотоны в узком диапазоне частот, называемом спектральной шириной линии. Если $ni {\ displaystyle n_ {i}}$ $п_ {я}$ - это числовая плотность атомов в состоянии i, то изменение числовой плотности атомов в состоянии 2 в единицу времени из-за спонтанного излучения будет

(dn 2 dt) спонтанный = - A 21 n 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {2}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous}} = - A_ {21} n_ {2}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {2}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous} } = - A_ {21} n_ {2}.}

Тот же процесс приводит к увеличение заселенности состояния 1:

(dn 1 dt) спонтанное = A 21 n 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous}} = A_ {21} n_ {2}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous}} = A_ {21} n_ {2}.}

Вынужденное излучение

Схема диаграмма атомной стимулированной эмиссии

Стимулированная эмиссия (также известная как индуцированная эмиссия) - это процесс, при котором электрон вынужден перескакивать с более высокого уровня энергии на более низкий из-за присутствия электромагнитного излучения на (или около него)) частота перехода. С термодинамической точки зрения этот процесс следует рассматривать как отрицательное поглощение. Этот процесс описывается коэффициентом Эйнштейна $B 21 {\ displaystyle B_ {21}}$ $B_ {21}$ (м Дж · с), который дает в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения вероятность того, что электрон в состоянии 2 с энергией $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ { 2}$ распадется в состояние 1 с энергией $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ , излучающий фотон с энергией E 2 - E 1 = hν. Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за индуцированной эмиссии будет

(d n 1 d t) neg. впитывать. Знак равно В 21 N 2 ρ (ν), {\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {neg. поглощать.}} = B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu),}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {neg. поглощать.}} = B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu),}

где $ρ (ν) {\ displaystyle \ rho (\ nu)}$ $\ rho (\ nu)$ обозначает яркость в полосе частот 1 Гц поля изотропного излучения на частоте перехода (см. закон Планка ).

Вынужденное излучение - один из фундаментальных процессов, которые привели к созданию лазера. Однако лазерное излучение очень далеко от настоящего случая изотропного излучения.

Поглощение фотона

Схематическая диаграмма атомного поглощения

Поглощение - это процесс, при котором фотон поглощается атомом, заставляя электрон перескакивать с более низкого энергетического уровня на более высокий. Этот процесс описывается коэффициентом Эйнштейна $B 12 {\ displaystyle B_ {12}}$ $B_ {12}$ (м Дж · с), который дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения, что электрон в состоянии 1 с энергией $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ поглотит фотон с энергией E 2 - E 1 = hν и перейти в состояние 2 с энергией $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ { 2}$ . Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за поглощения будет

(d n 1 d t) pos. впитывать. = - B 12 n 1 ρ (ν). {\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {pos. абсорбировать.}} = - B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}

{\ displaystyle \ left ({\ frac { dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {pos. поглощать.}} = - B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}

Детальная балансировка

Коэффициенты Эйнштейна представляют собой фиксированные вероятности на время, связанные с каждым атомом, и не зависят от от состояния газа, частью которого являются атомы. Следовательно, любое соотношение, которое мы можем вывести между коэффициентами, скажем, при термодинамическом равновесии, будет иметь универсальное значение.

При термодинамическом равновесии у нас будет простая балансировка, при которой чистое изменение количества любых возбужденных атомов равно нулю, уравновешиваясь потерями и прибылью из-за всех процессов. Что касается переходов с привязкой к границе, у нас также будет подробная балансировка, в которой указано, что чистый обмен между любыми двумя уровнями будет сбалансирован. Это связано с тем, что на вероятность перехода не может повлиять присутствие или отсутствие других возбужденных атомов. Подробный баланс (действителен только в состоянии равновесия) требует, чтобы изменение во времени числа атомов на уровне 1 из-за вышеупомянутых трех процессов было равно нулю:

0 = A 21 n 2 + B 21 n 2 ρ (ν) - B 12 n 1 ρ (ν). {\ displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2} + B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu) -B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}

{\ displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2} + B_ {21} n_ { 2} \ rho (\ nu) -B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}

Вместе с детальная балансировка, при температуре T мы можем использовать наши знания о равновесном распределении энергии атомов, как указано в распределении Максвелла – Больцмана, и о равновесном распределении фотонов, как указано в Планке закон излучения черного тела для вывода универсальных соотношений между коэффициентами Эйнштейна.

Из распределения Больцмана мы имеем для числа возбужденных атомных частиц i:

nin = gie - E i / k TZ, {\ displaystyle {\ frac {n_ {i}} {n}} = {\ frac {g_ {i} e ^ {- E_ {i} / kT}} {Z}},}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {i}} {n}} = {\ frac {g_ {i} e ^ {- E_ {i} / kT}} {Z }},}

где n - общая численность атомных частиц, возбужденных и невозбужденных, k равно Постоянная Больцмана, T - температура, $gi {\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ - вырождение (также называемое множественностью) состояния i, а Z - статистическая сумма . Из закона Планка о излучении абсолютно черного тела при температуре T мы имеем для спектральной яркости (яркость - это энергия в единицу времени на единицу телесного угла на единицу площади проекции, при интегрировании по соответствующему спектральному интервалу) на частоте ν

ρ ν ( ν, T) знак равно F (ν) 1 а ν / К T - 1, {\ Displaystyle \ rho _ {\ nu} (\ Nu, T) = F (\ nu) {\ frac {1} {e ^ { час \ nu / kT} -1}},}

{\ displaystyle \ rho _ {\ nu} (\ nu, T) = F (\ nu) {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}},}

где

F (ν) = 2 час ν 3 c 3, {\ displaystyle F (\ nu) = {\ frac {2h \ nu ^ {3 }} {c ^ {3}}},}

{\ displaystyle F (\ nu) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}},}

где $c {\ displaystyle c}$ $с$ - скорость света и $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка.

Подставив эти выражения в уравнение детальной балансировки и помня, что E 2 - E 1 = hν дает

A 21 g 2 e - h ν / k T + B 21 g 2 e - h ν / k TF (ν) eh ν / k T - 1 = B 12 g 1 F (ν) eh ν / k T - 1, {\ displaystyle A_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} + B_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} {\ frac {F (\ nu)} {e ^ {h \ nu / kT} -1}} = B_ {12} g_ {1} {\ frac {F (\ nu)} {e ^ {h \ nu / kT} -1}}, }

{ \ Displaystyle A_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} + B_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} {\ frac {F (\ nu)} { e ^ {h \ nu / kT} -1}} = B_ {12} g_ {1} {\ frac {F (\ nu)} {e ^ {h \ nu / kT} -1}},}

separa ting to

A 21 g 2 (e h ν / k T - 1) + B 21 g 2 F (ν) = B 12 g 1 e h ν / k T F (ν). {\ displaystyle A_ {21} g_ {2} (e ^ {h \ nu / kT} -1) + B_ {21} g_ {2} F (\ nu) = B_ {12} g_ {1} e ^ { h \ nu / kT} F (\ nu).}

{\ displaystyle A_ {21} g_ {2} (e ^ {h \ nu / kT} -1) + B_ {21 } g_ {2} F (\ nu) = B_ {12} g_ {1} e ^ {h \ nu / kT} F (\ nu).}

Вышеприведенное уравнение должно выполняться при любой температуре, поэтому

B 21 g 2 = B 12 g 1, {\ displaystyle B_ {21} g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}

{\ displaystyle B_ {21} g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}

- A 21 g 2 + B 21 g 2 F (ν) = 0. {\ displaystyle -A_ {21} g_ {2} + B_ { 21} g_ {2} F (\ nu) = 0.}

{\ displaystyle -A_ {21} g_ {2} + B_ {21} g_ { 2} F (\ nu) = 0.}

Следовательно, три коэффициента Эйнштейна взаимосвязаны следующим образом:

A 21 B 21 = F (ν) {\ displaystyle {\ frac {A_ {21} } {B_ {21}}} = F (\ nu)}

{\ displaystyle {\ frac {A_ {21}} {B_ {21}}} = F (\ nu)}

B 21 B 12 = g 1 g 2. {\ displaystyle {\ frac {B_ {21}} {B_ {12}}} = {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {B_ {21}} {B_ {12}}} = {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}}.}

Когда это соотношение вставляется в исходное уравнение, можно также найти связь между $A 21 {\ displaystyle A_ {21}}$ $A_ {21}$ и $B 12 {\ displaystyle B_ {12}}$ $B_ {12}$ , включая Закон Планка.

Сила осциллятора

Сила осциллятора $f 12 {\ displaystyle f_ {12}}$ $f_{12}$ определяется следующим соотношением с поперечным сечением $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ для поглощения:

σ = e 2 4 ε 0 mecf 12 ϕ ν = π e 2 2 ε 0 mecf 12 ϕ ω, {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ nu} = {\ frac {\ pi e ^ {2} } {2 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ omega},}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ varepsilon _ { 0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ nu} = {\ frac {\ pi e ^ {2}} {2 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c }} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ omega},}

где $e {\ displaystyle e}$ $e$ - заряд электрона, $me {\ displaystyle m_ {e}}$ $m_ {e}$ - масса электрона, а $ϕ ν {\ displaystyle \ phi _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ nu}}$ и $ϕ ω {\ displaystyle \ phi _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ omega}}$ - нормализованные функции распределения i n частота и угловая частота соответственно. Это позволяет выразить все три коэффициента Эйнштейна в терминах силы одного осциллятора, связанной с конкретной атомной спектральной линией: