В математике взаимодействие между группой Галуа G расширения Галуа L числового поля K, и способ, которым простые идеалы P кольца целых чисел OKразлагаются на множители как произведения простых идеалов O L, составляет одну из самых богатых частей теории алгебраических чисел. расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписывают Дэвиду Гильберту, называя его теорией Гильберта . Для разветвленных покрытий римановых поверхностей существует геометрический аналог, который проще в том, что нужно рассматривать только один вид подгруппы G, а не два. Это, безусловно, было знакомо до Гильберта.
Пусть L / K будет конечным расширение числовых полей, и пусть O K и O L будет соответствующим кольцом целых чисел для K и L, соответственно, которые определены как целое замыкание целых чисел Z в рассматриваемом поле.
Наконец, пусть p ненулевой простой идеал в O K или, что то же самое, максимальный идеал, так что остаток O K / p является полем.
Из базовой теории одномерных мерных колец следует существование единственного разложения
идеального pO L, сгенерированного за O L на p в произведение различных максимальных идеалов P j с кратностями e j.
Поле F = O K / p естественным образом вкладывается в F j = O L/Pjдля каждого j, степень f j = [O L/Pj: O K / p] этого расширения поля остатка называется степенью инерции P j над p.
Кратность e j называется индексом разветвления P j над p. Если для некоторого j оно больше 1, расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L, или что оно разветвлено в L). В противном случае L / K называется неразветвленным на стр. Если это так, то по китайской теореме об остатках частное O L / pO L является произведением полей F j. Расширение L / K разветвлено ровно теми простыми числами, которые делят относительный дискриминант , следовательно, расширение неразветвлено во всех, кроме конечного числа простых идеалов.
Мультипликативность идеальной нормы подразумевает
Если f j = e j = 1 для каждого j (и, следовательно, g = [L: K]), мы говорим, что p полностью разделяет в L. Если g = 1 и f 1 = 1 ( и поэтому e 1 = [L: K]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L. Наконец, если g = 1 и e 1 = 1 (и поэтому f 1 = [L: K]), мы говорим, что p инертен в L.
В далее предполагается, что расширение L / K является расширением Галуа. Тогда группа Галуа действует транзитивно на P к. То есть простые идеальные множители p в L образуют единую орбиту при автоморфизмах L над K. Из этого и теоремы единственной факторизации следует следует, что f = f j и e = e j не зависят от j; то, что, конечно, не должно быть в случае расширений, не относящихся к Галуа. Затем основные отношения читаются следующим образом:
и
Приведенное выше соотношение показывает, что [L: K] / ef равно количеству g простых множителей p в O L. По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | G | / | D Pj| для каждого j, где D Pj, группа разложения для P j, является подгруппой элементов G, отправляющих данный P j себе. Поскольку степень L / K и порядок G равны по основной теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D Pjравен ef для любого j.
Эта группа разложения содержит подгруппу I Pj, называемую группой инерции группы P j, состоящую из автоморфизмов L / K, которые индуцируют тождественный автоморфизм на F j. Другими словами, I Pj- это ядро преобразования преобразования . Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что изоморфен до D Pj/IPj, а порядок группы инерции I Pjравен e.
Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент D Pj/IPjдля данного j, который соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа расширения конечного поля F к / Ф. В неразветвленном случае порядок D Pjравен f, а I Pjтривиален. Также элемент Фробениуса в этом случае является элементом D Pj(и, следовательно, также элементом G).
В геометрическом аналоге для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем понятия группы разложения и группы инерции совпадают.. Здесь, учитывая разветвленное покрытие Галуа, все точки, кроме конечного числа, имеют одинаковое количество прообразов.
. Расщепление простых чисел в расширениях, не являющихся Галуа, может быть изучено с помощью изначально поля расщепления, т.е. расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» полем степени 6, содержащим их.
В этом разделе описывается разбиение простых идеалов в расширении поля Q (i) / Q . То есть мы берем K = Q и L = Q (i), поэтому O K просто Z, а O L= Z[i] - кольцо целых гауссовских чисел. Хотя этот случай далеко не репрезентативный - в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию, а не так много квадратичных полей с уникальной факторизацией - это демонстрирует многие особенности теории.
Записывая G для группы Галуа Q (i) / Q, и σ для автоморфизма комплексного сопряжения в G, необходимо рассмотреть три случая.
Простое число 2 в Z разветвляется в Z [i]:
Следовательно, индекс ветвления здесь e = 2. Поле вычетов равно
, которое является конечным полем с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всей группе G, поскольку существует только одно простое число из Z [i] выше 2. Группа инерции также является всей группой G, поскольку
для любых целых чисел a и b, как .
Фактически, 2 - единственное простое число, которое разветвляется в Z [i], поскольку каждое простое число, которое разветвляется должен делить дискриминант на Z [i], который равен −4.
Любое простое число p ≡ 1 по модулю 4 разбивается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов. Например:
Группы разложения в этом случае являются тривиальной группой {1}; действительно, автоморфизм σ меняет местами два простых числа (2 + 3i) и (2 - 3i), поэтому он не может быть в группе разложения ни одного простого числа. Группа инерции, будучи подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Есть два поля остатка, по одному для каждого простого числа,
, которые оба изоморфны конечному полю с 13 элементами. Элемент Фробениуса - это тривиальный автоморфизм; это означает, что
для любых целых чисел a и b.
Любое простое число p ≡ 3 по модулю 4 остается инертным в Z [i]; то есть не расщепляется. Например, (7) остается простым в Z [i]. В этой ситуации группа разложения - это вся группа G, опять же потому, что есть только один простой фактор. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, поскольку теперь σ не действует тривиально на поле вычетов
- конечное поле из 7 = 49 элементов. Например, разница между 1 + i и σ (1 + i) = 1 - i равна 2i, что, конечно, не делится на 7. Следовательно, группа инерции - это тривиальная группа {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z/7Zимеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус - не кто иной, как σ; это означает, что
для любых целых чисел a и б.
Прайм в Z | Как он разделяется в Z [i] | Группа инерции | Группа разложения |
---|---|---|---|
2 | Разветвляется с индекс 2 | G | G |
p ≡ 1 mod 4 | Разбивается на два различных фактора | 1 | 1 |
p ≡ 3 mod 4 | Остается инертным | 1 | G |
Предположим что мы хотим определить факторизацию простого идеала P кольца O K на простые числа O L. Следующая процедура (Neukirch, p. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ в O L так, чтобы L генерировалось над K посредством θ (такое θ гарантированно существует по теореме о примитивных элементах ), а затем исследуем минимальный многочлен H (X) от θ над K; это монический многочлен с коэффициентами в O K. Сокращая коэффициенты H (X) по модулю P, мы получаем монический многочлен h (X) с коэффициентами из F, (конечное) поле вычетов O K / P. Предположим, что h (X) разлагается на множители в кольце многочленов F [X] как
где h j - различные монические неприводимые многочлены из F [X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:
где Q j - различные простые идеалы O L. Кроме того, степень инерции каждого Q j равна степени соответствующего полинома h j, и существует явная формула для Q j:
где h j обозначает здесь подъем многочлен h j к K [X].
В случае Галуа все степени инерции равны, а индексы ветвления e 1 =... = e n равны.
Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не обязательно выполняется, являются числами, не взаимно простыми с проводником кольца O K [θ]. Кондуктором считается идеал
он измеряет, насколько далеко порядок OK[θ] от быть целым кольцом целых чисел (максимальный порядок) O L.
Существенное предостережение состоит в том, что существуют примеры L / K и P, такие, что не существует доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., например). Следовательно, приведенный выше алгоритм не может быть использован для разложения такого P, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанный в.
Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел.. Возьмем θ как мнимую единицу i с минимальным многочленом H (X) = X + 1. Поскольку Z[] - это все кольцо целых чисел Q(), проводник является единичным идеалом, поэтому исключительных простых чисел нет.
Для P = (2) нам нужно работать в поле Z / (2) Z, что равносильно факторизации многочлена X + 1 по модулю 2 :
Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается как
следующий случай - P = (p) для простого p 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Многочлен X + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он задается формулой
последний случай - P = (p) для простого p ≡ 1 mod 4; снова возьмем P = (13). На этот раз у нас есть факторизация
Следовательно, есть два простых множителя, оба со степенью инерции и индексом ветвления 1. Они задаются формулой
и