Кристаллическая оптика

Кристаллическая оптика - это ветвь оптики, которая описывает поведение света в анизотропных средах, то есть средах (таких как кристаллы ), в которых свет ведет себя по-разному в зависимости от того, в каком направлении распространяется. Показатель преломления зависит как от состава, так и от кристаллической структуры и может быть рассчитан с использованием соотношения Гладстона – Дейла. Кристаллы часто по своей природе анизотропны, и в некоторых средах (например, жидких кристаллах ) можно вызвать анизотропию путем приложения внешнего электрического поля.

• 1 Изотропная среда
  • 1.1 Электрическая восприимчивость
• 2 Анизотропная среда
• 3 Другие эффекты
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Типичные прозрачные среды, такие как очки, являются изотропными, что означает, что свет ведет себя одинаково независимо от того, в каком направлении он движется в среде. В терминах уравнений Максвелла в диэлектрике это дает связь между полем электрического смещения Dи электрическим полем E:

$D\; =\; \epsilon \; 0\; E\; +\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$

, где ε 0 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства и P - электрическая поляризация (векторное поле, соответствующее электрическим дипольным моментам, присутствующим в среде). Физически поле поляризации можно рассматривать как реакцию среды на электрическое поле света.

Электрическая восприимчивость

В изотропной и линейной среде это поле поляризации P пропорционально и параллельно электрическому поле E:

$P\; =\; \chi \; \epsilon \; 0\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; chi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$

, где χ - электрическая восприимчивость Средняя. Соотношение между D и E таково:

$D\; =\; \epsilon \; 0\; E\; +\; \chi \; \epsilon \; 0\; E\; =\; \epsilon \; 0\; (1\; +\; \chi )\; E\; =\; \epsilon \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; \backslash \; chi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; (1+\; \backslash \; chi)\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$

где

$\epsilon \; =\; \epsilon \; 0\; (1\; +\; \chi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; (1+\; \backslash \; chi)\}$

- это диэлектрическая проницаемость среды. Значение 1 + χ называется относительной диэлектрической проницаемостью среды и связано с показателем преломления n для немагнитных сред следующим образом:

$n\; =\; 1\; +\; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; chi\}\}\}$

В анизотропной среде, такой как кристалл, поле поляризации P не обязательно совпадает с электрическим полем свет E . В физической картине это можно представить как диполи, индуцированные в среде электрическим полем, имеющим определенные предпочтительные направления, связанные с физической структурой кристалла. Это можно записать как:

$P\; =\; \epsilon \; 0\; \chi \; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chi\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}.\}$

Здесь χ не число, как раньше, а тензор ранга 2, тензор электрической восприимчивости. В терминах компонентов в трех измерениях:

$(P\; x\; P\; y\; P\; z)\; =\; \epsilon \; 0\; (\chi \; xx\; \chi \; xy\; \chi \; xz\; \chi \; yx\; \chi \; yy\; \chi \; yz\; \chi \; zx\; \chi \; zy\; \chi \; zz)\; (E\; x\; E\; y\; E\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; P\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{z\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{xx\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{xy\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{xz\}\; \backslash \backslash \backslash \; chi\; \_\; \{yx\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{yy\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{yz\}\; \backslash \backslash \backslash \; chi\; \_\; \{zx\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{zy\; \}\; \backslash \; chi\; \_\; \{zz\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; E\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; E\_\; \{z\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

или с помощью суммирования соглашение:

$P\; i\; =\; \epsilon \; 0\; j\; \in \; \{x,\; y,\; z\}\; \chi \; ij\; E\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; \{x,\; y,\; z\; \backslash \}\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{ij\}\; E\_\; \{j\}\; \backslash \; quad.\}$

Поскольку χ - тензор, P не обязательно коллинеарен с E.

. В немагнитных и прозрачных материалах χ ij = χ ji, т.е. тензор χ действительный и симметричный. В соответствии со спектральной теоремой , таким образом, можно диагонализовать тензор, выбрав соответствующий набор координатных осей, обнуляя все компоненты тензора, кроме χ xx, χ yy и χ zz. Это дает набор отношений:

$P\; x\; =\; \epsilon \; 0\; \chi \; xx\; E\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{xx\}\; E\_\; \{x\}\}$

$P\; y\; =\; \epsilon \; 0\; \chi \; yy\; E\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{yy\}\; E\_\; \{y\}\}$

$P\; z\; =\; \epsilon \; 0\; \chi \; zz\; E\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{z\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{zz\}\; E\_\; \{z\}\}$

Направления x, y и z в этом случае известны как главные оси среды. Обратите внимание, что эти оси будут ортогональными, если все элементы тензора χ действительны, что соответствует случаю, когда показатель преломления действителен во всех направлениях.

Отсюда следует, что D и E также связаны тензором:

$D\; =\; \epsilon \; 0\; E\; +\; P\; =\; \epsilon \; 0\; E\; +\; \epsilon \; 0\; \chi \; E\; =\; \epsilon \; 0\; (I\; +\; \chi )\; E\; =\; \epsilon \; 0\; \epsilon \; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chi\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; (I\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chi\}\})\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \}.\}$

Здесь ε известен как тензор относительной диэлектрической проницаемости или тензор диэлектрической проницаемости. Следовательно, показатель преломления среды также должен быть тензором. Рассмотрим световую волну, распространяющуюся вдоль главной оси z поляризованной, так что электрическое поле волны параллельно оси x. Волна испытывает восприимчивость χ xx и диэлектрическую проницаемость ε xx. Таким образом, показатель преломления равен:

$n\; x\; x\; =\; (1\; +\; \chi \; x\; x)\; 1/2\; =\; (\epsilon \; x\; x)\; 1/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{xx\}\; =\; (1+\; \backslash \; chi\; \_\; \{xx\})\; ^\; \{1/2\}\; =\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{xx\})\; ^\; \{1/2\}.\}$

Для волны, поляризованной в Направление y:

$nyy\; =\; (1\; +\; \chi \; yy)\; 1/2\; =\; (\epsilon \; yy)\; 1/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{yy\}\; =\; (1+\; \backslash \; chi\; \_\; \{yy\})\; ^\; \{1/2\}\; =\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{yy\})\; ^\; \{1/2\}.\}$

Таким образом, эти волны увидят два разные показатели преломления и перемещаются с разной скоростью. Это явление известно как двойное лучепреломление и встречается в некоторых распространенных кристаллах, таких как кальцит и кварц.

Если χ xx = χ yy χ zz, кристалл известен как одноосный . (См. Оптическая ось кристалла.) Если χ xx ≠ χ yy и χ yy ≠ χ zz кристалл называется двухосным . Одноосный кристалл показывает два показателя преломления: «обычный» показатель (n o) для света, поляризованного в направлениях x или y, и «необычный» показатель (n e) для поляризация в направлении z. Одноосный кристалл является «положительным», если n e>no, и «отрицательным», если n e< no. Свет, поляризованный под некоторым углом к ​​осям, будет иметь разную фазовую скорость для разных компонент поляризации и не может быть описан одним показателем преломления. Это часто изображают как эллипсоид показателей .

Определенные нелинейно-оптические явления, такие как электрооптический эффект, вызывают изменение тензор диэлектрической проницаемости среды при приложении внешнего электрического поля, пропорциональный (в низшем порядке) напряженности поля. Это вызывает вращение главных осей среды и изменяет поведение света, проходящего через нее; эффект может быть использован для создания модуляторов света.

В ответ на магнитное поле некоторые материалы могут иметь комплексный диэлектрический тензор - эрмитов ; это называется гиромагнитным или магнитооптическим эффектом. В этом случае главные оси представляют собой комплексные векторы, соответствующие эллиптически поляризованному свету, и симметрия относительно обращения времени может быть нарушена. Это может быть использовано, например, для разработки оптических изоляторов.

Тензор диэлектрической проницаемости, который не является эрмитовым, порождает комплексные собственные значения, которые соответствуют материалу с усилением или поглощением на определенной частоте.

1. ^Амнон Ярив, Почи Йе. (2006). Фотоника, оптическая электроника в современной связи (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 30-31.

• Виртуальный поляризационный микроскоп