Интеграл Бохнера

редактировать

В математике интеграл Бохнера, названный в честь Саломона Бохнера, расширяет определение интеграла Лебега на функции, которые принимают значения в банаховом пространстве, как предел интегралов простых функций.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Свойство Радона – Никодима
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

Пусть (X, Σ, μ) - пространство с мерой, а B - банахово пространство. Интеграл Бохнера определяется почти так же, как интеграл Лебега. Во-первых, простая функция - это любая конечная сумма вида

s (x) = ∑ i = 1 n χ E i (x) bi {\ displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}

s (x) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ chi _ {{E_ {i}}} (x) b_ {i}

где E i - непересекающиеся члены σ-алгебры Σ, b i - различные элементы B, а χ E - характеристическая функция E. Если μ (E i) конечно, когда b i ≠ 0, то простая функция интегрируема, и тогда интеграл определяется как

∫ X [∑ i = 1 n χ E i (x) bi] d μ = ∑ i = 1 N μ (E i) би {\ Displaystyle \ int _ {X} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ right ] \, d \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}

\ int _ {X} \ left [\ sum _ {{i = 1} } ^ {n} \ chi _ {{E_ {i}}} (x) b_ {i} \ right] \, d \ mu = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}

точно так же, как для обычного интеграла Лебега.

Измеримая функция ƒ: X → B интегрируема по Бохнеру, если существует последовательность интегрируемых простых функций s n такая, что

lim n → ∞ ∫ Икс ‖ е - sn ‖ В d μ знак равно 0, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu = 0,}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu = 0,

где интеграл в левой части - обычный интеграл Лебега.

В этом случае интеграл Бохнера определяется как

∫ X f d μ = lim n → ∞ ∫ X s n d μ. {\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu.}

\ int _ {X} f \, d \ mu = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu.

Может быть показано что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она лежит в пространстве Бохнера $L 1 {\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ .

Свойства

Многие из знакомых свойства интеграла Лебега остаются в силе для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий Бохнера интегрируемости, который утверждает, что если (X, Σ, μ) является пространством с мерой, то измеримая по Бохнеру функция ƒ: X → B интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда

∫ X ‖ f ‖ B d μ < ∞. {\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty.}

\ int _ {X} \ | f \ | _ {B} \, d \ mu <\ infty.

Функция ƒ: X → B называется измеримой по Бохнеру, если она равна μ-почти всюду функции g, принимающей значения в сепарабельном подпространстве B 0 в B, и такая, что прообраз g (U) любого открытого множества U в B принадлежит Σ. Эквивалентно, является пределом μ-почти всюду последовательности простых функций.

Если $T {\ displaystyle T}$ $T$ является непрерывным линейным оператором, а $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируется по Бохнеру, то $T f {\ displaystyle Tf}$ $Tf$ интегрируется по Бохнеру и интегрируется, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ можно менять местами:

∫ XT fd μ = T ∫ X fd μ. {\ displaystyle \ int _ {X} Tfd \ mu = T \ int _ {X} fd \ mu.}

\ int _ {X} T fd \ mu = T \ int _ {X} fd \ mu.

Это также верно для закрытых операторов, учитывая, что $T f {\ displaystyle Tf}$ $Tf$ сам по себе может быть интегрируемым (что в соответствии с упомянутым выше критерием тривиально верно для ограниченного $T {\ displaystyle T}$ $T$ ).

Версия теоремы о доминирующей сходимости также верна для интеграла Бохнера. В частности, если ƒ n : X → B - последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящаяся к предельной функции ƒ, и если

‖ fn (x) ‖ B ≤ g ( x) {\ displaystyle \ | f_ {n} (x) \ | _ {B} \ leq g (x)}

\ | f_ {n} (x) \ | _ {B} \ leq g (x)

почти для каждого x ∈ X и g ∈ L (μ), тогда

∫ Икс ‖ е - fn ‖ B d μ → 0 {\ displaystyle \ int _ {X} \ | f-f_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu \ to 0}

\ int _ {X} \ | f-f_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu \ to 0

как n → ∞ и

∫ E fnd μ → ∫ E fd μ {\ displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu \ to \ int _ {E} f \, d \ mu}

\ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu \ to \ int _ {E} f \, d \ mu

для всех E ∈ Σ.

Если ƒ интегрируема по Бохнеру, то выполняется неравенство

‖ ∫ E fd μ ‖ B ≤ ∫ E ‖ f ‖ B d μ {\ displaystyle \ left \ | \ int _ {E} f \, d \ mu \ right \ | _ {B} \ leq \ int _ {E} \ | f \ | _ {B} \, d \ mu}

\ left \ | \ int _ {E} f \, d \ mu \ right \ | _ {B} \ leq \ int _ {E} \ | f \ | _ {B} \, d \ mu

выполняется для всех E ∈ Σ. В частности, функция множества

E ↦ ∫ E fd μ {\ displaystyle E \ mapsto \ int _ {E} f \, d \ mu}

E \ mapsto \ int _ {E} f \, d \ mu

определяет счетно-аддитивную B-значную векторную меру на X, который абсолютно непрерывен относительно μ.

Свойство Радона – Никодима

Важным фактом об интеграле Бохнера является то, что теорема Радона – Никодима в общем случае не выполняется. Это приводит к важному свойству банаховых пространств, известному как свойство Радона – Никодима. В частности, если μ - мера на (X, Σ), то B обладает свойством Радона – Никодима относительно μ, если для каждой счетно-аддитивной векторной меры $γ {\ displaystyle \ gamma }$ $\ gamma$ на (X, Σ) со значениями в B, который имеет ограниченную вариацию и абсолютно непрерывен относительно μ, существует μ-интегрируемая функция g: X → B такая, что

γ (E) = ∫ E gd μ {\ displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, d \ mu}

\ gamma (E) = \ int _ {E} g \, d \ mu

для любого измеримого множества E ∈ Σ.

Банахово пространство B обладает свойством Радона – Никодима, если B обладает свойством Радона – Никодима относительно любой конечной меры. Известно, что пространство $l 1 {\ displaystyle l_ {1}}$ $l_ {1}$ имеет свойство Радона – Никодима, но $c 0 {\ displaystyle c_ {0}}$ $c_ { 0}$ и пробелы $L ∞ (Ω) {\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega)}$ $L ^ {{\ infty}} (\ Omega)$ , $L 1 (Ω) {\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ $L ^ {{1} } (\ Omega)$ для $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ открытое ограниченное подмножество $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ и $C (K) {\ displaystyle C (K)}$ $C (K)$ для K бесконечного компактного пространства - нет. Пространства со свойством Радона – Никодима включают сепарабельные двойственные пространства (это теорема Данфорда – Петтиса ) и рефлексивные пространства, которые включают, в частности, гильбертовы пространства.

См. также

Ссылки

Бохнер, Саломон (1933), «Интеграция фон Функционен, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind» ( PDF), Fundamenta Mathematicae, 20: 262–276
Cohn, Donald (2013), Measure Theory, Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Springer, doi : 10.1007 / 978 -1-4614-6956-8, ISBN 978-1-4614-6955-1
Йосида, Косаку (1980), Функциональный анализ, Классика математики, 123, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-61859-8, ISBN 978-3-540- 58654-8
Дистел, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Graduate Texts in Mathematics, 92, Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5200-9, ISBN 978-0- 387-90859-5
Дистел; Uhl (1977), Векторные меры, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1515-1
Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф (1957), Функциональный анализ и полугруппы, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1031-6
Ланг, Серж ( 1993), Реальный и функциональный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0387940014
Соболев В.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
van Dulst, D. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press