Сбалансированная троичная система

редактировать

Сбалансированная тройная система - это нестандартная позиционная система счисления (сбалансированная форма ), который использовался в некоторых ранних компьютерах и был полезен при решении головоломок с балансом. Это троичная система счисления (с основанием 3), в которой цифры имеют значения –1, 0 и 1, в отличие от стандартной (несбалансированной) троичной системы, в которой цифры имеют значения 0, 1. и 2. Сбалансированная троичная система может представлять все целые числа без использования отдельного знака минус ; значение первой ненулевой цифры числа имеет знак самого числа. В то время как двоичные числа с цифрами 0 и 1 обеспечивают простейшую позиционную систему счисления для натуральных чисел (или для положительных целых чисел, если в качестве цифр используются 1 и 2), сбалансированная троичная система обеспечивает простейшую автономную позиционную систему счисления для целые числа.

В разных источниках используются разные глифы для представления трех цифр в сбалансированной троичной системе. В этой статье T (который напоминает лигатуру знака минус и 1) представляет -1, а 0 и 1 представляют сами себя. Другие соглашения включают использование '-' и '+' для обозначения -1 и 1 соответственно или использование греческой буквы тета (Θ), которая напоминает знак минус в круге, чтобы представляют -1. В публикациях о компьютере Сетунь, −1 представлен перевернутым 1: «1».

Сбалансированная троичная система впервые появляется в книге Майкла Стифеля «Арифметика». Интегра (1544 г.). Это также встречается в работах Иоганна Кеплера и Леона Лаланна. Связанные схемы подписанных цифр в других базах обсуждались Джоном Колсоном, Джоном Лесли, Огюстен-Луи Коши и, возможно, даже древним индийцем Веды.

Содержание

1 В компьютерном дизайне
2 Преобразование в десятичные
3 Преобразование в дробные и обратно
4 Иррациональные числа
5 Преобразование из троичных
6 Преобразование в сбалансированные тройные от любого целого числа с основанием
7 Сложение, вычитание, умножение и деление
- 7.1 Сложение и вычитание нескольких трех единиц
- 7.2 Умножение нескольких трех чисел
- 7.3 Деление нескольких трех чисел
8 Квадратных корней и кубических корней
9 Другие приложения
10 См. Также
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

В компьютерном дизайне

На заре вычислительной техники было построено несколько экспериментальных советских компьютеров с сбалансированная троичная система вместо двоичной, наиболее известной из которых является Сетунь, построенная Николаем Брусенцовым и Сергеем Соболевым. Обозначение имеет ряд вычислительных преимуществ перед традиционными двоичными и троичными. В частности, согласованность «плюс-минус» снижает скорость переноса при многозначном умножении, а эквивалентность округления-усечения снижает скорость переноса при округлении дробей. Однозначная таблица умножения не имеет сбалансированных троичных переносов, а таблица сложения имеет только два симметричных переноса вместо трех.

Поскольку сбалансированная троичная система обеспечивает единообразное самодостаточное представление для целых чисел, больше нет необходимости проводить различие между числами со знаком и без знака; тем самым устраняя необходимость дублировать наборы операторов в знаковые и беззнаковые варианты, как это делают в настоящее время большинство архитектур ЦП и многие языки программирования.

Преобразование в десятичное

В сбалансированной троичной системе значение цифры n разрядов слева от точки счисления - это произведение цифры и 3. Это полезно при преобразовании между десятичной и сбалансированной троичной. Далее в строках, обозначающих сбалансированную троичную систему, присутствует суффикс bal3. Например,

10bal3 = 1 × 3 + 0 × 3 = 3 10

10ᴛ bal3 = 1 × 3 + 0 × 3 + (−1) × 3 = 8 10

−910= −1 × 3 + 0 × 3 + 0 × 3 = ᴛ00 bal3

810= 1 × 3 + 0 × 3 + (−1) × 3 = 10ᴛ bal3

Аналогично первое место справа от точки счисления соответствует 3 = 1/3, второе место занимает 3 = 1/9 и так далее. Например,

−2/3 10 = −1 + 1/3 = −1 × 3 + 1 × 3 = ᴛ.1 bal3.

Dec	Bal3	Расширение	Dec	Bal3	Расширение
0	0	0
1	1	+1	−1	ᴛ	−1
2	1ᴛ	+ 3−1	−2	ᴛ1	−3 + 1
3	10	+3	−3	ᴛ0	- 3
4	11	+ 3 + 1	−4	ᴛᴛ	−3−1
5	1ᴛᴛ	+9−3−1	−5	ᴛ11	−9 + 3 + 1
6	1ᴛ0	+ 9−3	−6	ᴛ10	−9 + 3
7	1ᴛ1	+ 9−3 + 1	−7	ᴛ1ᴛ	−9 + 3−1
8	10ᴛ	+9−1	−8	ᴛ01	−9 + 1
9	100	+9	−9	ᴛ00	- 9
10	101	+9+1	−10	ᴛ0ᴛ	−9-1
11	11ᴛ	+9+ 3−1	−11	ᴛᴛ1	−9−3 + 1
12	110	+ 9 + 3	−12	ᴛᴛ0	−9−3
13	111	+9+3+1	−13	ᴛᴛᴛ	−9− 3−1

Целое число делится на три тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц равна нулю.

Мы можем проверить четность сбалансированного троичного целого числа, проверив четность суммы всех тритов. Эта сумма имеет ту же четность, что и само целое число.

Сбалансированная троичная система также может быть расширена до дробных чисел аналогично тому, как десятичные числа записываются справа от точки счисления.

Decimal	-0.9	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	−0,1
Сбалансированный тройной	ᴛ.010ᴛ	ᴛ.1ᴛᴛ1	ᴛ.10ᴛ0	ᴛ.11ᴛᴛ	0.ᴛ или ᴛ.1	0.ᴛᴛ11	0.ᴛ010	0.ᴛ11ᴛ	0,0ᴛ01
Десятичный	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0.2	0,1
Сбалансированный тройной	1.0ᴛ01	1.ᴛ11ᴛ	1.ᴛ010	1.ᴛᴛ11	0,1 или 1.ᴛ	0,11ᴛᴛ	0,10ᴛ0	0,1ᴛᴛ1	0,010ᴛ

В десятичном или двоичном формате целочисленные значения и завершающие дроби имеют несколько представлений. Например, 1/10 = 0,1 = 0,10 = 0,09. И 1/2 = 0,1 2 = 0,10 2 = 0,01 2. Некоторые сбалансированные троичные дроби также имеют несколько представлений. Например, 1/6 = 0,1ᴛ bal3 = 0,01 bal3. Конечно, в десятичном и двоичном формате мы можем опустить крайние правые конечные бесконечные нули после точки счисления и получить представление целого числа или конечной дроби. Но в сбалансированной троичной системе мы не можем опустить крайнее правое конечное число –1 после точки счисления, чтобы получить представление целого числа или конечной дроби.

Дональд Кнут указал, что усечение и округление - это одна и та же операция в сбалансированной троичной системе - они дают точно такой же результат (свойство, разделяемое с другими сбалансированными системами счисления). Число 1/2 не является исключением; он имеет два равнозначных представления и два одинаково допустимых усечения: 0,1 (округление до 0 и усечение до 0) и 1.ᴛ (округление до 1 и усечение до 1). При нечетной системе счисления , двойное округление также эквивалентно прямому округлению до конечной точности, в отличие от четной системы счисления.

Основные операции - сложение, вычитание, умножение и деление - выполняются как в обычной троичной системе. Умножение на два может быть выполнено путем прибавления числа к самому себе или вычитания самого себя после сдвига влево.

Арифметический сдвиг влево сбалансированного троичного числа эквивалентен умножению на (положительную, целую) степень 3; а арифметический сдвиг вправо сбалансированного троичного числа эквивалентен делению на (положительную, целую) степень 3.

Преобразование в дробь и обратно

Дробь	Сбалансированная троичная		Фракция	Сбалансированная тройная
1	1		1/11	0,01ᴛ11
1/2	0,1	1.ᴛ	1/12	0,01ᴛ
1/3	0,1		1/13	0,01ᴛ
1/4	0,1ᴛ		1/14	0,01ᴛ0ᴛ1
1/5	0,1ᴛᴛ1		1/15	0,01ᴛᴛ1
1 / 6	0,01	0,1ᴛ	1/16	0,01ᴛᴛ
1/7	0,0110ᴛᴛ		1/17	0,01ᴛᴛᴛ10ᴛ0ᴛ111ᴛ01
1/8	0.01		1/18	0.001	0,01ᴛ
1/9	0,01		1/19	0,00111ᴛ10100ᴛᴛᴛ1ᴛ0ᴛ
1/10	0,010ᴛ		1/20	0,0011

Преобразование повторяющегося сбалансированного троичного числа в дробь аналогично преобразованию повторяющегося десятичного числа. Например (из-за 111111 bal3 = (3 - 1/3 - 1) 10):

0,1 110 TT 0 ¯ = 1110 TT 0 - 1 111111 × 1 T × 10 = 1110 TTT 111111 × 1 T 0 = 111 × 1000 T 111 × 1001 × 1 T 0 = 1111 × 1 T 1001 × 1 T 0 = 1111 10010 = 1 T 1 T 1 TTT 0 = 101 1 T 10 {\ displaystyle 0,1 {\ overline {\ mathrm {110TT0}}} = {\ tfrac {\ mathrm {1110TT0-1}} {\ mathrm {111111 \ times 1T \ times 10}}} = {\ tfrac {\ mathrm {1110TTT} } {\ mathrm {111111 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {\ mathrm {111 \ times 1000T}} {\ mathrm {111 \ times 1001 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {\ mathrm {1111 \ раз 1T}} {\ mathrm {1001 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {1111} {10010}} = {\ tfrac {\ mathrm {1T1T}} {\ mathrm {1TTT0}}} = {\ tfrac { 101} {\ mathrm {1T10}}}}

{\ displaystyle 0.1 {\ overline {\ mathrm {110TT0}}} = {\ tfrac {\ mathrm {1110TT0-1}} {\ mathrm {111111 \ times 1T \ times 10}}} = {\ tfrac {\ mathrm { 1110TTT}} {\ mathrm {111111 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {\ mathrm {111 \ times 1000T}} {\ mathrm {111 \ times 1001 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {\ mathrm { 1111 \ times 1T}} {\ mathrm {1001 \ times 1T0}}} = {\ tfrac {1111} {10010}} = {\ tfrac {\ mathrm {1T1T}} {\ mathrm {1TTT0}}} = {\ tfrac {101} {\ mathrm {1T10}}}}

Иррациональные числа

Как и в любой другой базе целых чисел, алгебраические иррациональные и трансцендентные числа не заканчиваются и не повторяются. Например:

Десятичное сбалансированное тройное число 2 = 1,4142135623731... 1 T = 1,11 T 1 T T 00 T 00 T 01 T 0 T 00 T 00 T 01 T T... 3 = 1,7320508075689... 10 = 1 Т. T 1 TT 10 T 0000 TT 1100 T 0 TTT 011 T 0... 5 = 2.2360679774998... 1 TT = 1 T.1 T 0101010 TTT 1 TT 11010 TTT 01 T 1... ϕ = 1 + 5 2 = 1.6180339887499... ϕ = 1 + 1 TT 1 T = 1 T. T 0 T T 01 T T 0 T 10 T T 11 T 0011 T 10011... τ = 6,28318530717959... τ = 1 T 0,10 T T 0 T 1100 T 110 T T 0 T 1 T T 000001... π = 3,14159265358979... π = 10,011 T 111 T 000 T 011 T 1101 T 111111... e = 2,71828182845905... e = 10. T 0111 T T 0 T 0 T 111 T 0111 T 000 T 11 T... {\ displaystyle {\ begin {array} {r | l} {\ text {Decimal}} {\ text {Сбалансированный тройной}} \\\ hline {\ sqrt {2}} = 1.4142135623731... {\ sqrt {\ mathrm {1T}}} = \ mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT...} \\ {\ sqrt {3}} = 1.7320508075689... {\ sqrt {\ mathrm {10}}} = \ mathrm {1T. T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0...} \\ {\ sqrt {5}} = 2.2360679774998... {\ sqrt {\ mathrm {1TT}}} = \ mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1...} \\\ phi {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = 1,6180339887499... \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {\ mathrm {1TT}}}} {\ mathrm {1T}}} = \ mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011...} \\\ tau = 6.28318530717959... \ tau = \ mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001}... \\\ pi = 3.14159265358979... 10.011T111T000T011T1101T111111}... \\ e = 2.71828182845905... e = \ mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T}... \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {r | l} {\ text {Decimal}} {\ text {Сбалансированный тройной}} \\\ hline {\ sqrt {2}} = 1.4142135623731... {\ sqrt {\ mathrm {1T}}} = \ mathrm {1.11T1TT00T00 T01T0T00T00T01TT...} \\ {\ sqrt {3}} = 1.7320508075689... {\ sqrt {\ mathrm {10}}} = \ mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0...} \\ {\ sqrt {5} } = 2.2360679774998... {\ sqrt {\ mathrm {1TT}}} = \ mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1...} \\\ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2 }} = 1.6180339887499... \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {\ mathrm {1TT}}}} {\ mathrm {1T}}} = \ mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011...} \\ \ tau = 6.28318530717959... \ tau = \ mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001}... \\\ pi = 3.14159265358979... \ pi = \ mathrm {10.011T111T000T011T1101T11111190}... \. e = \ mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T}... \ end {array}}

Сбалансированное троичное расширение $\ pi {\ displaystyle }$ $\ pi$ представлен в OEIS как A331313, в $e {\ displaystyle e}$ $e$ в A331990.

Преобразование тройного

U Сбалансированную троичную систему можно преобразовать в сбалансированную троичную нотацию двумя способами:

Добавить 1 трита за тритом из первого ненулевого трита с переносом, а затем вычесть 1 трита за тритом из того же трита без заимствования. Например,
021 3 + 11 3 = 102 3, 102 3 - 11 3 = 1T1 bal3 = 7 10.
Если 2 присутствует в троичном формате, превратите его в 1T. Например,
0212 3 = 0010 bal3 + 1T00 bal3 + 001T bal3 = 10TT bal3. = 23 10

Сбалансированный	Логика	Без знака
1	Истина	2
0	Неизвестно	1
T	Ложь	0

Если три значения троичной логики являются ложными, неизвестными и истинными, и они отображаются в сбалансированную троичную систему как T, 0 и 1 и в обычные тернарные значения без знака как 0, 1 и 2, тогда сбалансированная троичная система может рассматриваться как смещенная система счисления, аналогичная смещение двоичной системы. Если троичное число имеет n тритов, то смещение b равно

b = ⌊ 3 n 2 ⌋ {\ displaystyle b = \ left \ lfloor {\ frac {3 ^ {n}} {2}} \ right \ rfloor }

{\ displaystyle b = \ left \ lfloor {\ frac {3 ^ {n}} {2}} \ right \ rfloor}

который представлен как все единицы в традиционной или смещенной форме.

В результате, если эти два представления используются для сбалансированных и беззнаковых троичных чисел, положительное тройное значение n-trit без знака может быть преобразованный в сбалансированную форму путем добавления смещения b, а положительное сбалансированное число можно преобразовать в беззнаковую форму путем вычитания смещения b. Кроме того, если x и y являются сбалансированными числами, их сбалансированная сумма равна x + y - b при вычислении с использованием традиционной тернарной арифметики без знака. Точно так же, если x и y являются обычными тернарными числами без знака, их сумма равна x + y + b при вычислении с использованием сбалансированной троичной арифметики.

Преобразование в сбалансированную троичную систему из любого целочисленного основания

Мы можем преобразовать в сбалансированную тройную систему по следующей формуле:

(anan - 1 ⋯ a 1 a 0. C 1 c 2 c 3 ⋯) b = ∑ k = 0 nakbk + ∑ k = 1 ∞ ckb - k. {\ displaystyle \ left (a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ {0}.c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ cdots \ right) _ {b} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} b ^ {- k}.}

{\ displaystyle \ left (a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ { 0}.c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ cdots \ right) _ {b} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} b ^ {- k}.}

где,

anan-1... a 1a0.c1c2c3... - исходное представление в исходной системе счисления.

b - исходное основание системы счисления. b равно 10 при преобразовании из десятичного числа.

akи c k - это цифры, расположенные на k позиций слева и справа от точки счисления соответственно.

Например,

−25,4 10 = - (1T × 101 + 1TT × 101 + 11 × 101) = - (1T × 101 + 1TT + 11 ÷ 101) = −10T1.11TT = T01T.TT11

1010.1 2 = 1T + 1T + 1T = 10T + 1T + 0,1 = 101,1

Сложение, вычитание, умножение и деление

Сложение, вычитание, умножение по одному элементу и таблицы деления показаны ниже. Для вычитания и деления, которые не являются коммутативными, первый операнд указывается слева от таблицы, а второй - вверху. Например, ответ на 1 - T = 1T находится в нижнем левом углу таблицы вычитания.

Сложение
+	T	0	1
T	T1	T	0
0	T	0	1
1	0	1	1T

Вычитание
−	T	0	1
T	0	T	T1
0	1	0	T
1	1T	1	0

Умножение
×	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

Деление
÷	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

Сложение и вычитание многотритов

Сложение и вычитание многотритов аналогично сложению и вычитанию двоичные и десятичные. Добавляйте и вычитайте трение за трением и соответствующим образом прибавляйте переносимость. Например:

1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 + 11T1.T - 11T1.T - 11T1.T → + TT1T.1 ______________ ______________ _______________ 1T0T10.1100TT1T1T1 + 1T + T T1 + TT ______________ ________________ ________________ 1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1 + T + T 1 + T 1 ______________ ________________ ________________ 1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

Мульти-тритное умножение 138>

Многоточечное умножение аналогично двоичному и десятичному умножению.

1TT1.TT × T11T.1 _____________ 1TT.1TT умножить 1 T11T.11 умножить T 1TT1T.T умножить 1 1TT1TT умножить 1 T11T11 умножить T _____________ 0T0000T.10T

Множественное деление

Сбалансированное троичное деление аналогично двоичному и десятичному делению.

Однако 0,5 10 = 0,1111... bal3 или 1.TTTT... bal3. Если дивиденд превышает делитель плюс или минус половины, дробь частного должна быть 1 или T. Если дивиденд находится между плюсом и минусом половины делителя, дробь частного равна 0. Величина делимого должна быть сравнивать с половиной делителя перед установкой частного trit. Например,

1TT1.TT частное 0,5 × делитель T01.0 _____________ делитель T11T.1) T0000T.10T делимое T11T1 T000 < T010, set 1 _______ 1T1T0 1TT1T 1T1T0>10T0, установите T _______ 111T 1TT1T 111T>10T0, установите T _______ T00. 1 T11T.1 T001 < T010, set 1 ________ 1T1.00 1TT.1T 1T100>10T0, установить T ________ 1T.T1T 1T.T1T 1TT1T>10T0, установить T ________ 0

Другой пример,

1TTT 0,5 × делитель 1T _______ Divisor 11) 1T01T 1T = 1T, но 1T.01>1T, установить 1 11 _____ T10 T10 < T1, set T TT ______ T11 T11 < T1, set T TT ______ TT TT < T1, set T TT ____ 0

Другой пример,

101.TTTTTTTT… или 100.111111111… 0,5 × делитель 1T _________________ делитель 11) 111T 11>1T, установить 1 11 _____ 1 T1 < 1 < 1T, set 0 ___ 1T 1T = 1T, trits end, set 1.TTTTTTTTT… or 0.111111111…

Квадратные корни и кубические корни

Процесс извлечения квадратного корня в сбалансированной троичной системе аналогичен процессу в десятичной или двоичный.

(10 x + y) 1 T - 100 ⋅ x 1 T = 1 T 0 ⋅ x ⋅ y + y 1 T = {T 10 x + 1, y = T 0, y = 0 1 T 0 ⋅ Икс + 1, Y знак равно 1 {\ Displaystyle (10 \ cdot x + y) ^ {\ mathrm {1T}} -100 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} = \ mathrm {1T0} \ cdot x \ cdot y + y ^ {\ mathrm {1T}} = {\ begin {cases} \ mathrm {T10} \ cdot x + 1, y = \ mathrm {T} \\ 0, y = 0 \\\ mathrm {1T0 } \ cdot x + 1, y = 1 \ end {cases}}}

(10 \ cdot x + y) ^ {\ mathrm {1T}} -100 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} = \ mathrm {1T0} \ cdot x \ cdot y + y ^ {\ mathrm {1T}} = {\ begin {cases} \ mathrm {T10} \ cdot x + 1, y = \ mathrm {T} \\ 0, y = 0 \\\ mathrm {1T0} \ cdot x + 1, y = 1 \ end {cases}}

Как и в случае деления, сначала мы должны проверить значение половины делителя. Например,

1. 1 1 T 1 TT 0 0... _________________________ √ 1T 1 <1T<11, set 1 − 1 _____ 1×10=10 1.0T 1.0T>0,10, установить 1 1T0 −1.T0 ________ 11 × 10 = 110 1T0T 1T0T>110, установить 1 10T0 −10T0 ________ 111 × 10 = 1110 T1T0T T1T0T 111T0, набор 1 10T110 −10T110 __________ 111T1 × 10 = 111T10 TT1TT0T TT1TT0T Извлечение кубического корня в сбалансированной троичной системе аналогично извлечению в десятичной или двоичной системе:
 $(10 ⋅ x + y) 10 - 1000 ⋅ x 10 = y 10 + 1000 ⋅ x 1 T ⋅ y + 100 ⋅ x ⋅ y 1 T = {T + T 000 ⋅ x 1 T + 100 ⋅ x, y = T 0, y = 0 1 + 1000 ⋅ Икс 1 T + 100 ⋅ Икс, Y знак равно 1 {\ displaystyle (10 \ cdot x + y) ^ {10} -1000 \ cdot x ^ {10} = y ^ {10} +1000 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} \ cdot y + 100 \ cdot x \ cdot y ^ {\ mathrm {1T}} = {\ begin {cases} \ mathrm {T} + \ mathrm {T000} \ cdot x ^ { \ mathrm {1T}} +100 \ cdot x, y = \ mathrm {T} \\ 0, y = 0 \\ 1 + 1000 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} +100 \ cdot x, y = 1 \ end {cases}}}$  $(10 \ cdot x + y) ^ {10} -1000 \ cdot x ^ {10} = y ^ {10} +1000 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} \ cdot y + 100 \ cdot x \ cdot y ^ {\ mathrm {1T}} = {\ begin {cases} \ mathrm {T} + \ mathrm {T000} \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} +100 \ cdot x, y = \ mathrm {T} \\ 0, y = 0 \\ 1 + 1000 \ cdot x ^ {\ mathrm {1T}} +100 \ cdot x, y = 1 \ end {cases}}$ 
Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например:
1. 1 T 1 0... _____________________ ³√ 1T - 1 1 <1T<10T,set 1 _______ 1.000 1×100=100 −0.100 borrow 100×, do division _______ 1TT 1.T00 1T00>1TT, установить 1 1 × 1 × 1000 + 1 = 1001 −1,001 __________ T0T000 11 × 100 - 1100 заимствовать 100 ×, сделать деление _________ 10T000 TT1T00 TT1T00 1T1T01TT, установить 1 11T × 11T × 1000 + 1 = 11111001 - 11111001 ______________ 1T10T000 11T1 × 100 - 11T100 заимствовать 100 ×, сделать деление __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11 <1T0T0T00<10T0T01TT, set 0 11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 return 100× _____________ 1T10T000000...
Следовательно √2 = 1,259921 89>= 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 bal3.
Другие приложения
Теорема о том, что каждое целое число имеет уникальное представление в сбалансированной троичной системе, была использована Леонардом Эйлером для подтверждения тождества формального степенного ряда 
 $∏ n = 0 ∞ (x - 3 n + 1 + x 3 n) = ∑ n = - ∞ ∞ xn. {\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (x ^ {- 3 ^ {n}} + 1 + x ^ {3 ^ {n}} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n}.}$  ${\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (x ^ {- 3 ^ {n}} + 1 + x ^ {3 ^ {n}} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n}.}$ 
У сбалансированной троичной системы есть и другие приложения помимо вычислений. Например, классические весы с двумя чашами , с одним грузом для каждой степени 3, могут точно взвешивать относительно тяжелые предметы с небольшим количеством гирь, перемещая гири между двумя весами и столом. Например, с гирями для каждой степени от 3 до 81 60-граммовый объект (60 10 = 1T1T0 bal3) будет идеально сбалансирован с 81-граммовым грузом на другой чаше., гиря 27 грамм в отдельной кастрюле, гиря 9 грамм в другую кастрюлю, гиря 3 грамма в собственной кастрюле и 1 грамм отложенный.
Аналогичным образом рассмотрим валютную систему с монетами достоинством 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Если у покупателя и продавца есть только по одной монете каждого вида, возможна любая транзакция до 121¤. Например, если цена составляет 7 центов (7 10 = 1T1 bal3), покупатель платит 1¤ + 9¤ и получает 3¤ сдачей.
Они также могут обеспечить более естественное представление для Qutrit и систем, которые его используют.
См. Также
Сетун, троичный компьютер 
троичная логика 
Система счисления 
Методы вычисления квадратных корней 
Табличка Саламина 
Кутрит 
Источники
Внешние ссылки
Викискладе есть материалы, связанные с Сбалансированной троичной системой.
Разработкой троичных компьютеров в МГУ 
Представление дробных чисел в сбалансированной троичной системе 
«Третье основание», троичная и сбалансированная троичная системы счисления
Сбалансированная троичная система счисления (включает десятичное целое в сбалансированный троичный преобразователь)
OEIS последовательность A182929 ( биномиальный треугольник, приведенный к сбалансированным троичным спискам) 
Сбалансированная (подписанная) троичная запись Брайан Дж. Шелберн (файл PDF)
Троичная вычислительная машина Томаса Фаулера Марка Гласкера