Войти
В логике, трехзначной логике (также тройная логика, трехвалентная, тройная или трилевая, иногда сокращенно 3VL ) - любое нескольких систем многозначной логики, в которых есть три значения истинности, указывающие истинное, ложное и некоторое неопределенное третье значение. Это контрастирует с более широко известной бивалентной логикой (например, классической сентенциональной или булевой логикой ), которые предусматривают только истину и ложь.
Эмилю Леону Посту часто приписывают первое введение дополнительных логических степеней истинности в его теорию элементарных предложений 1921 года. Тем не менее, более десяти лет назад Чарльз Сандерс Пирс уже определил многозначную логическую систему. Просто он этого не опубликовал. Фактически, он даже не пронумеровал три страницы заметок, где определял свои трехзначные операторы. Пирс категорически отверг идею, что все предложения должны быть либо истинными, либо ложными; он пишет, что граничные предложения находятся «на границе между Р и не Р». Однако как бы он ни был уверен в том, что «Триадическая логика универсальна», он также записал, что «Все это очень близко к чепухе». Возможно, неудивительно, что только в 1966 году, когда Макс Фиш и Этвелл Туркетт начали публиковать то, что они заново открыли в его неопубликованных рукописях, триадные эксперименты Пирса стали широко известны.
Концептуальная форма и основные идеи были первоначально созданы Ян Лукасевич и Кларенс Ирвинг Льюис. Затем они были переформулированы Григоре Константином Мойсилом в аксиоматической алгебраической форме, а также расширены до n-значной логики в 1945 году.
Как и в случае с бивалентной логикой, значения истинности в троичной логике могут быть представлены численно с использованием различных представлений троичной система счисления. Вот несколько наиболее распространенных примеров:
Внутри троичного компьютера троичные значения представлены троичными сигналами.
Эта статья в основном иллюстрирует систему троичной логики высказываний с использованием значений истинности {false, unknown, true} и расширяет обычные логические связки на трехвалентный контекст. Также существуют тернарные логики предикатов ; они могут иметь показания квантора , отличные от классической (двоичной) логики предикатов, и могут также включать альтернативные кванторы.
Где логическая логика имеет 2 = 4 унарных операторов, добавление третьего значения в тернарной логике приводит к всего 3 = 27 различных операторов для одного входного значения. Аналогично, если в булевой логике 2 = 16 различных бинарных операторов (операторов с 2 входами), то в тернарной логике 3 = 19 683 таких оператора. Где мы можем легко назвать значительную часть логических операторов (не, и, or, nand, или, эксклюзивный или, эквивалентность, импликация ), неразумно пытаться назвать все, кроме небольшой части возможных тернарных операторов.
Ниже приводится набор таблиц истинности, показывающих логические операции для «строгой логики неопределенности» Стивена Коула Клини и «логики Грэма Приста парадокс".
| (F, ложь; U, неизвестно; T, истина) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (−1, ложь; 0, неизвестно; +1, истина) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В этих таблицах истинности неизвестное состояние не может считаться ни истинным, ни ложным в логике Клини, или как истинным и ложным. в жреческой логике. Разница заключается в определении тавтологий. Там, где единственным обозначенным значением истинности логики Клини является T, обозначенными значениями истинности логики Жреца являются как T, так и U. В логике Клини знание того, представляет ли какое-либо конкретное неизвестное состояние тайно истинное или ложное в любой момент времени, недоступно. Однако некоторые логические операции могут дать однозначный результат, даже если они включают хотя бы один неизвестный операнд. Например, поскольку истина ИЛИ истина равна истине, а истина ИЛИ ложь также равна истине, можно сделать вывод, что истинное ИЛИ неизвестно также равно истине. В этом примере, поскольку любое двухвалентное состояние может лежать в основе неизвестного состояния, но любое состояние также дает тот же результат, окончательные истинные результаты во всех трех случаях.
Если числовые значения, например сбалансированные тернарные значения присваиваются значениям false, unknown и true, так что false меньше, чем unknown, а unknown, меньше true, тогда A AND B AND C... = MIN (A, B, C...) и A OR B OR C... = MAX (A, B, C...).
Материальное значение для логики Клини можно определить как:
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, который отличается от логики Лукасевича (описанной ниже).
Логика Клини не имеет тавтологий (действительных формул), потому что всякий раз, когда всем атомарным компонентам правильно сформированной формулы присваивается значение Неизвестно, сама формула также должна иметь значение Неизвестно. (И единственное обозначенное значение истинности для логики Клини - Истина.) Однако отсутствие действительных формул не означает, что в ней отсутствуют действительные аргументы и / или правила вывода. Аргумент семантически действителен в логике Клини, если всякий раз (для любой интерпретации / модели) все его посылки истинны, вывод также должен быть истинным. (Обратите внимание, что Logic of Paradox (LP) имеет те же таблицы истинности, что и логика Клини, но имеет два обозначенных значения истинности вместо одного; это: Истина и Оба (аналог Неизвестного), поэтому у этого LP есть тавтологии, но меньше действительных правил вывода.)
В логике Лукасевича Ł3 такие же таблицы для И, ИЛИ и НЕ, что и в логике Клини, приведенной выше, но отличается в своем определении импликации тем, что «неизвестное подразумевает неизвестное» равно истинно . Этот раздел следует за презентацией главы Малиновского Справочника по истории логики, том 8.
Материальное значение для логической таблицы истинности Лукасевича:
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фактически, используя импликацию и отрицание Лукасевича, другие обычные связки могут быть получены как:
Также возможно вывести несколько других полезных унарных операторов (сначала выведено Тарским в 1921 г.):
У них есть следующие таблицы истинности:
|
|
|
M читается как «это не ложь, что...» или в (неудачной) попытке Тарского – Лукасевича аксиоматизировать модальную логику с использованием трехзначного логика, «возможно, что...» L читается «верно, что...» или «необходимо, чтобы...» Наконец, меня читают «неизвестно, что...» или «возможно, что...»
В Ł3 Лукасевича истинно, что означает, что только предложение наличие этого значения везде считается тавтологией. Например, A → A и A ↔ A - тавтологии в Ł3, а также в классической логике. Не все тавтологии классической логики переводятся в Ł3 «как есть». Например, закон исключенного третьего, A ∨ ¬A, и закон непротиворечивости, ¬ (A ∧ ¬A) не являются тавтологиями в Ł3. Однако, используя оператор I, определенный выше, можно указать тавтологии, являющиеся их аналогами:
Некоторые 3VL были введены совсем недавно, мотивированные проблемами схем, а не философскими вопросами:
Язык структурных запросов базы данных SQL реализует троичную логику как средство обработки сравнений с содержимым поля NULL. Первоначальное намерение NULL в SQL состояло в том, чтобы представить отсутствующие данные в базе данных., т. е. предположение, что фактическое значение существует, но значение в настоящее время не записано в базе данных. SQL использует общий фрагмент логики Kleene K3, ограниченный к таблицам И, ИЛИ и НЕ.
В SQL промежуточное значение должно интерпретироваться как НЕИЗВЕСТНО. Явное сравнение с NULL, включая сравнение другого NULL, дает UNKNOWN. Однако от этого выбора семантики отказываются для некоторых операций над наборами, например UNION или INTERSECT, где NULL считаются равными друг другу. Критики утверждают, что эта несогласованность лишает SQL интуитивной семантики при обработке значений NULL. Стандарт SQL определяет необязательную функцию под названием F571, которая добавляет несколько унарных операторов, среди которых IS UNKNOWN, соответствующий ukasiewicz I в этой статье. Добавление IS UNKNOWNк другим операторам трехзначной логики SQL делает трехзначную логику SQL функционально завершенной, то есть ее логические операторы могут выражать (в сочетании) любые мыслимые три -значная логическая функция.
Философский портал 