Аксиома набора мощности

редактировать

Элементы набора степеней множества {x, y, z} упорядочены относительно включения.

В математике, аксиома силового множества является одной из аксиом Цермело – Френкеля теории аксиоматических множеств.

. На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля, аксиома гласит:

∀ x ∃ y ∀ z [z ∈ y ⟺ ∀ w (w ∈ z ⇒ w ∈ x)] {\ displaystyle \ forall x \, \ exists y \, \ forall z \, [z \ in y \ iff \ forall w \, (w \ in z \ Rightarrow w \ in x)]}

{\ displaystyle \ forall x \, \ exists y \, \ forall z \, [z \ in y \ iff \ forall w \, (w \ in z \ Rightarrow w \ in x)]}

где y - набор степеней x, $P (x) { \ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ .

На английском языке это означает :

Для любого набора x, существует набор

P (x) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}

таким образом, что для любого набора z этот набор z является членом

P (x) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}

тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x.

Более кратко: для каждого набора $x {\ displaystyle x}$ $x$ существует набор $P (x) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ , состоящий в точности из подмножеств $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Обратите внимание на отношение subset $⊆ {\ displaystyle \ substeq}$ $\ substeq$ не используется в формальном определении, поскольку подмножество не является примитивным отношением в формальной теории множеств; скорее, подмножество определяется в терминах членства в множестве, $∈ {\ displaystyle \ in}$ $\ in$ . Согласно аксиоме расширенности, набор $P (x) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ уникален.

Аксиома степенного множества встречается в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя теория конструктивного множества предпочитает более слабую версию, чтобы разрешить опасения по поводу предикативности.

Последствия

Аксиома Power Set позволяет дать простое определение Декартово произведение двух наборов $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ :

X × Y = {(x, y): x ∈ X ∧ y ∈ Y}. {\ displaystyle X \ times Y = \ {(x, y): x \ in X \ land y \ in Y \}.}

X \ times Y = \ {(x, y): x \ in X \ land y \ in Y \}.

Обратите внимание, что

x, y ∈ X ∪ Y {\ displaystyle x, y \ в Икс \ чашка Y}

x, y \ in X \ cup Y

{x}, {x, y} ∈ P (X ∪ Y) {\ displaystyle \ {x \}, \ {x, y \} \ in {\ mathcal {P }} (X \ cup Y)}

\ {x \}, \ {x, y \} \ in {\ mathcal {P}} (X \ cup Y)

и, например, рассмотрение модели с использованием упорядоченной пары Куратовского,

(x, y) = {{x}, {x, y}} ∈ P (П (Икс ∪ Y)) {\ Displaystyle (х, у) = \ {\ {х \}, \ {х, у \} \} \ в {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P} } (X \ cup Y))}

(x, y) = \ {\ {x \}, \ {x, y \} \} \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y))

и, следовательно, декартово произведение - это множество, поскольку

X × Y ⊆ P (P (X ∪ Y)). {\ displaystyle X \ times Y \ substeq {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y)).}

X \ times Y \ substeq {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y)).

Можно определить декартово произведение любого конечного коллекция наборов рекурсивно:

X 1 × ⋯ × X n = (X 1 × ⋯ × X n - 1) × X n. {\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n} = (X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n-1}) \ times X_ {n}.}

X_ {1 } \ times \ cdots \ times X_ {n} = (X_ {1} \ times \ cdots \ times X _ {{n-1}}) \ times X_ {n}.

Обратите внимание, что существование декартова произведения может быть доказано без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке – Платека.

Литература

Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.

Эта статья включает материал из Axiom of power, установленный на PlanetMath, который распространяется по лицензии Creative Лицензия Commons Attribution / Share-Alike.