Арифметизация анализа

арифметизация анализа была программой исследования основ математики, проводившейся во второй половине XIX века.

• 1 История
• 2 Исследовательская программа
• 3 Наследие
• 4 Цитаты
• 5 Ссылки

Кронекер впервые ввел термин арифметизация анализа, что он имел в виду его конструктивизацию в контексте натуральных чисел (см. цитату внизу страницы). Позже значение термина изменилось, чтобы обозначить теоретико-множественное построение вещественной прямой. Его главным сторонником был Вейерштрасс, который утверждал, что геометрические основы исчисления недостаточно прочны для строгой работы.

Основные моменты этой программы исследования:

• различные (но эквивалентные) конструкции действительных чисел с помощью Дедекинд и Кантор, приводящие к современному аксиоматическому определению поля действительных чисел;
• эпсилон-дельта-определение limit ; и
• наивное теоретико-множественное определение функции.

Важным побочным продуктом арифметизации анализа является теория множеств. Наивная теория множеств была создана Кантором и другими после того, как арифметизация была завершена как способ изучения особенностей функций, возникающих в исчислении.

Арифметизация анализа имела несколько важных последствий:

• широко распространенная вера в изгнание бесконечно малых из математики до создания нестандартного анализа Авраам Робинсон в 1960-х годах, тогда как на самом деле работа над неархимедовыми системами не ослабевала, как это было задокументировано П. Эрлихом;
• смещение акцента с геометрических на алгебраические рассуждения: это имело важные последствия для современного преподавания математики;
• это сделало возможным развитие современной теории меры Лебегом. и зачатки функционального анализа Гильберта ;
• это мотивировало преобладающую в настоящее время философскую позицию, согласно которой вся математика должна быть выведена из логики и теории множеств, что в конечном итоге привело к теории Гильберта. программа, теоремы Гёделя и нестандартный анализ.

• «Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человека». - Кронекер

• Торина Дечоун Льюис (2006) Арифметизация анализа: от Евдокса до Дедекинда, Южный университет.
• Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах (2011) История математики John Wiley Sons.
• Арифметизация анализа в Энциклопедия математики.