Теорема фон Неймана о бикоммутанте

редактировать

В математике, в частности функциональный анализ, теорема фон Неймана о бикоммутанте связывает замыкание набора ограниченных операторов на гильбертовом пространстве в определенные топологии к бикоммутанту этого набора. По сути, это связь между алгебраической и топологической стороной теории операторов.

Формальная формулировка теоремы выглядит следующим образом:

Теорема фон Неймана о бикоммутанте. Пусть M - алгебра, состоящая из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H, содержащая тождественный оператор, и замкнутая относительно сопряжения . Тогда замыкания из M в слабой операторной топологии и сильной операторной топологии равны и, в свою очередь, равны бикоммутант M′ ′ из M.

Эта алгебра называется алгеброй фон Неймана, порожденной M.

. В пространстве ограниченных операторов существует несколько других топологий, и можно спросить, каковы * -алгебры, замкнутые в этих топологиях. Если M замкнут в топологии нормы, то это C * -алгебра, но не обязательно алгебра фон Неймана. Одним из таких примеров является C * -алгебра компактных операторов (в бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые * -алгебры, содержащие 1, являются алгебрами фон Неймана; это, в частности, относится к топологиям слабого оператора, сильного оператора, * -сильного оператора, сверхслабой, сверхсильной и * -сверхсильной топологии.

Это связано с теоремой Джекобсона о плотности.

Содержание

1 Доказательство
- 1.1 Доказательство (i)
- 1.2 Доказательство (ii)
- 1.3 Доказательство (iii)
- 1.4 Неединичный случай
2 Ссылки

Доказательство

Пусть H - гильбертово пространство, а L (H) - ограниченные операторы на H. Рассмотрим самосопряженный унитальный подалгебра Mв L (H) (это означает, что M содержит присоединенные к своим членам и тождественный оператор на H).

Теорема эквивалентна комбинации следующих трех утверждений:

(i) cl W(M) ⊆ M′′

(ii) cl S(M) ⊆ cl W(M)

(iii) M ′ ′ ⊆ cl S(M)

, где индексы W и S обозначают замыкания в топологиях операторов weak и strong соответственно.

Доказательство (i)

По определению слабой операторной топологии для любых x и y в H отображение T → непрерывно в этой топологии. Следовательно, для любого оператора O (и при замене один раз y → Oy и один раз x → Ox) таким же образом становится отображение

T → ⟨T x, O ∗ y⟩ - ⟨TO x, y⟩ = ⟨OT x, у⟩ - ⟨К х, у. {\ displaystyle T \ to \ langle Tx, O ^ {*} y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle = \ langle OTx, y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle.}

T \ to \ langle Tx, O ^ {*} y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle = \ langle OTx, y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle.

Пусть S будет любое подмножество L (H), а S ′ его коммутант . Для любого оператора T, не принадлежащего S ′, - отлично от нуля для некоторого O в S и некоторых x и y в H. По непрерывности упомянутого выше отображения существует открытая окрестность T в слабом операторе топология, для которой это ненулевое значение, поэтому эта открытая окрестность также не входит в S ′. Таким образом, S ′ является замкнутым в слабом операторе, т.е. S ′ слабо замкнут. Таким образом, каждый коммутант слабо замкнут, как и M ′ ′; поскольку он содержит M, он также содержит его слабое замыкание.

Доказательство (ii)

Это непосредственно следует из того, что слабая операторная топология грубее, чем сильная операторная топология: для каждой точки x в cl S(M) каждая открытая окрестность x в топология слабого оператора также открыта в топологии сильного оператора и поэтому содержит член M ; следовательно, x также является членом cl W(M).

Доказательство пункта (iii)

Зафиксируем X ∈ M ′ ′. Покажем, что X ∈ cl S(M).

Зафиксируем открытую окрестность U точки X в сильной операторной топологии. По определению сильной операторной топологии U содержит конечное пересечение U (h 1,ε1) ∩... ∩U (h n,εn) суббазовых открытых множеств вида U (h, ε) = {O ∈ L (H): || Ох - Xh || < ε}, where h is in H and ε>0.

Зафиксируйте h в H. Рассмотрим замыкание cl (M h) для M h = {Mh: M ∈ M } относительно нормы H и снабжено скалярным произведением H. Это гильбертово пространство (являющееся замкнутым подпространством гильбертова пространства H), поэтому ему соответствует ортогональный проектор, который мы обозначаем P. P ограничен, поэтому он находится в L (H). Далее докажем:

Лемма. P ∈ M′.

Доказательство. Зафиксируем x ∈ H. Тогда Px ∈ cl (M h), так что это предел последовательности O n h с O n в M для всех n. Тогда для всех T ∈ M, TO n h также находится в M h и, таким образом, его предел находится в cl (M h). По непрерывности T (поскольку он находится в L (H) и, следовательно, липшицево ), этот предел равен TPx. Поскольку TPx ∈ cl (M h), PTPx = TPx. Из этого следует, что PTP = TP для всех T в M.

. Используя замыкание M под сопряженным, мы получаем, что для каждого T в M и всех x, y ∈ H:

⟨x, TP y⟩ = ⟨x, PTP y⟩ = ⟨P x, TP y⟩ = ⟨T ∗ P x, P y⟩ = ⟨PT ∗ P x, y⟩ = ⟨T ∗ П Икс, Y⟩ знак равно ⟨п Икс, T Y⟩ знак равно ⟨Икс, PT Y⟩ {\ Displaystyle \ langle x, TPy \ rangle = \ langle x, PTPy \ rangle = \ langle Px, TPy \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, Py \ rangle = \ langle PT ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle Px, Ty \ rangle = \ langle x, PTy \ rangle}

\ langle x, TPy \ rangle = \ langle x, PTPy \ rangle = \ langle Px, TPy \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, Py \ rangle = \ langle PT ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle Px, Ty \ rangle = \ langle x, PTy \ rangle

таким образом TP = PT и P лежит в M′.

По определению бикоммутанта XP = PX. Поскольку M унитален, h ∈ M h, следовательно, Xh = XPh = PXh ∈ cl (M h). Таким образом, для любого ε>0 существует T в M с || Xh - Th || < ε. Then T lies in U(h,ε).

Таким образом, в каждой открытой окрестности U точки X в сильной операторной топологии есть член M, и поэтому X находится в замыкании сильной операторной топологии M.

Неединичный случай

AC * -алгебра M, действующая на H, называется невырожденной, если для h в H M h = {0} подразумевает h = 0. В этом случае с помощью приближенного тождества в M можно показать, что оператор тождества I лежит в сильном замыкании M . Следовательно, заключение теоремы о бикоммутанте справедливо для M.

Ссылки

W.B. Арвесон, Приглашение к C * -алгебрам, Спрингер, Нью-Йорк, 1976.