Векторная логика

Векторная логика - это алгебраическая модель элементарной логики на основе матричной алгебры. Векторная логика предполагает, что значения истинности отображаются на векторах, и что операции монадических и диадических выполняются матричными операторами. «Векторная логика» также использовалась для обозначения представления классической логики высказываний как векторного пространства, в котором единичные векторы являются пропозициональными переменными. Логика предикатов может быть представлена ​​как векторное пространство того же типа, в котором оси представляют буквы предиката $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. В векторном пространстве для логики высказываний начало координат представляет ложное, F, а бесконечная периферия представляет истинное, T, тогда как в пространстве для логики предикатов начало координат представляет «ничто», а периферия представляет собой бегство из ничего или «что-то». ".

• 1 Обзор
  • 1.1 Монадические операторы
  • 1.2 Диадические операторы
  • 1.3 Закон Де Моргана
  • 1.4 Закон противопоставления
• 2 Многозначная двумерная логика
  • 2.1 Скалярные проекции векторных выходов
• 3 История
• 4 Логические многочлены
• 5 Расширения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Классический двоичный логика представлена ​​небольшим набором математических функций, зависящих от одной (монадической) или двух (диадической) переменных. В двоичном наборе значение 1 соответствует истина, а значение 0 - ложь. Двузначная векторная логика требует соответствия между истинностными значениями true (t) и false (f) и двумя q-мерными нормализованными вещественнозначными векторами-столбцами s и n, следовательно:

$t\; \mapsto \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mapsto\; s\}$и $f\; \mapsto \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; mapsto\; n\}$

(где $q\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; geq\; 2\; \}$- произвольное натуральное число, а «нормализованный» означает, что длина вектора равна 1; обычно s и n являются ортогональными векторами). Это соответствие порождает пространство векторных истинностных значений: V 2 = {s, n}. Основные логические операции, определенные с помощью этого набора векторов, приводят к матричным операторам.

Операции векторной логики основаны на скалярном произведении между q-мерными векторами-столбцами: $u\; T\; v\; =\; ⟨u,\; v⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{T\}\; v\; =\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\}$: ортонормальность между векторами s и n означает, что $⟨u,\; v⟩\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; =\; 1\}$если $u\; =\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; v\}$и $⟨u,\; v⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$если $u\; \ne \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; neq\; v\}$, где $u,\; v\; \in \; \{s,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; u,\; v\; \backslash \; in\; \backslash \; \{s,\; n\; \backslash \}\; \}$.

Монадические операторы

Монадические операторы являются результатом приложения $M\; on:\; V\; 2\; \to \; V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Mon:\; V\_\; \{2\}\; \backslash \; to\; V\_\; \{2\}\}$, а соответствующие матрицы имеют q строк и q столбцов. Два основных монадических оператора для этой двузначной векторной логики - это identity и отрицание :

• Identity : логический идентификатор идентичности (p) представлен матрицей $I\; =\; ss\; T\; +\; nn\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; ss\; ^\; \{T\}\; +\; nn\; ^\; \{T\}\}$, где сопоставлениями являются продукты Кронекера. Эта матрица работает следующим образом: Ip = p, p ∈ V 2 ; из-за ортогональности s относительно n, мы имеем $I\; s\; =\; ss\; T\; s\; +\; nn\; T\; s\; =\; s\; ⟨s,\; s⟩\; +\; n\; ⟨n,\; s⟩\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; Is\; =\; ss\; ^\; \{T\; \}\; s\; +\; nn\; ^\; \{T\}\; s\; =\; s\; \backslash \; langle\; s,\; s\; \backslash \; rangle\; +\; n\; \backslash \; langle\; n,\; s\; \backslash \; rangle\; =\; s\}$, и наоборот $I\; n\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; In\; =\; n\}$. Важно отметить, что эта единичная матрица векторной логики обычно не является единичной матрицей в смысле матричной алгебры.
• Отрицание : логическое отрицание ¬p представлено матрицей $N\; =\; ns\; T\; +\; sn\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; ns\; ^\; \{T\}\; +\; sn\; ^\; \{T\}\}$Следовательно, Ns = n и Nn = s. инволютивное поведение логического отрицания, а именно то, что ¬ (¬p) равно p, соответствует тому факту, что N = I.

Диадические операторы

16 двузначных диадических операторы соответствуют функциям типа $D\; yad:\; V\; 2\; \otimes \; V\; 2\; \to \; V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Dyad:\; V\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; V\_\; \{2\}\; \backslash \; to\; V\_\; \{2\}\}$; диадические матрицы имеют q строк и q столбцов. Матрицы, которые выполняют эти диадические операции, основаны на свойствах произведения Кронекера. (Умножение такой диадической матрицы на матрицу $q\; \times \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; times\; q\}$дает $q\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; times\; 1\}$столбец, элементами которого являются скалярные произведения Фробениуса квадратной матрицы на блоки того же размера в диадической матрице.)

Два свойства этого произведения важны для формализма векторной логики:

1. Свойство смешанного произведения

   Если A, B, Cи D - это матрицы такого размера, что можно сформировать матричные произведения AC и BD, затем

   $(A\; \otimes \; B)\; (C\; \otimes \; D)\; =\; AC\; \otimes \; BD\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; otimes\; B)\; (C\; \backslash \; otimes\; D)\; =\; AC\; \backslash \; otimes\; BD\}$

2. Распределительное транспонирование Операция транспонирования является распределительной по произведению Кронекера:
   $(A\; \otimes \; B)\; T\; =\; AT\; \otimes \; BT.\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; otimes\; B)\; ^\; \{T\}\; =\; A\; ^\; \{T\}\; \backslash \; otimes\; B\; ^\; \{T\}.\}$

Используя эти свойства, можно получить выражения для функций диадической логики:

• Conjunction. Конъюнкция (p∧q) выполняется матрицей, которая действует на два вектора истинностных значений: $C\; (u\; \otimes \; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\}$. Эта матрица воспроизводит черты классической таблицы истинности конъюнкции в своей формулировке:

$C\; =\; s\; (s\; \otimes \; s)\; T\; +\; n\; (s\; \otimes \; n)\; T\; +\; n\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; n\; (n\; \otimes \; n)\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; =\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{\; T\}\}$

и проверяет

$C\; (s\; \otimes \; s)\; =\; s,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; s,\}$и

$C\; (s\; \otimes \; n)\; =\; C\; (n\; \otimes \; s)\; =\; C\; (n\; n)\; =\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; C\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; C\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; n.\}$

• разъединение. Дизъюнкция (p∨q) выполняется матрицей

$D\; =\; s\; (s\; \otimes \; s)\; T\; +\; s\; (s\; \otimes \; n)\; T\; +\; s\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; n\; (n\; \otimes \; n)\; T,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; D\; =\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\; \},\}$, что дает

$D\; (s\; \otimes \; s)\; =\; D\; (s\; \otimes \; n)\; =\; D\; (n\; \otimes \; s)\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; D\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; D\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; s\}$и

$D\; (n\; \otimes \; n)\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; n.\}$

• Значение. Импликация соответствует в классической логике выражению p → q ≡ ¬p ∨ q. Версия этой эквивалентности с векторной логикой приводит к матрице, которая представляет это значение в векторной логике: $L\; =\; D\; (N\; \otimes \; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; D\; (N\; \backslash \; otimes\; I)\}$. Явное выражение для этого импликации:

$L\; =\; s\; (s\; \otimes \; s)\; T\; +\; n\; (s\; \otimes \; n)\; T\; +\; s\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; s\; (n\; \otimes \; n)\; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\},\}$

и свойства классической импликации выполняются:

$L\; (s\; \otimes \; s)\; =\; L\; (n\; \otimes \; s)\; =\; L\; (n\; \otimes \; n)\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; L\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; L\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; s\}$и

$L\; (s\; \otimes \; n)\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; n.\}$

• Эквивалентность и Исключительная или. В векторной логике эквивалентность p≡q представлена ​​следующей матрицей:

$E\; =\; s\; (s\; \otimes \; s)\; T\; +\; n\; (s\; \otimes \; n)\; T\; +\; n\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; s\; (n\; n)\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; =\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\}$с

$E\; (s\; \otimes \; s)\; =\; E\; (n\; \otimes \; n)\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; E\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; s\}$и

$E\; (s\; \otimes \; n)\; =\; E\; (n\; \otimes \; s)\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; E\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; n.\}$

Исключающее или отрицание эквивалентности, ¬ (p≡q); он соответствует матрице $X\; =\; NE\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; NE\}$, заданной как

$X\; =\; n\; (s\; \otimes \; s)\; T\; +\; s\; (s\; \otimes \; n)\; T\; +\; s\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; N\; (N\; \otimes \; N)\; T,\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; =\; N\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; n\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\},\}$

с $X\; (s\; \otimes \; s)\; =\; X\; (n\; \otimes \; n)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; X\; (n\; \backslash \; время\; n)\; =\; n\}$и

$X\; (s\; \otimes \; n)\; =\; X\; (n\; s)\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (s\; \backslash \; otimes\; n)\; =\; X\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; =\; s.\}$

• NAND и NOR

Матрицы S и P соответствуют Sheffer (NAND) и Peirce (NOR) соответственно:

$S\; =\; NC\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; NC\}$

$P\; =\; ND\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; ND\}$

Закон Де Моргана

В двузначной логике операции конъюнкции и дизъюнкции удовлетворяют закону Де Моргана : p∧q≡¬ (¬p¬q) и его двойственному : p∨q≡¬ (¬p∧¬q)). Для двузначной векторной логики также проверяется этот закон:

$C\; (u\; \otimes \; v)\; =\; ND\; (N\; u\; \otimes \; N\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; ND\; (Nu\; \backslash \; otimes\; Nv)\}$, где u и v - два логических вектора.

Произведение Кронекера подразумевает следующую факторизацию:

$C\; (u\; \otimes \; v)\; =\; ND\; (N\; \otimes \; N)\; (u\; \otimes \; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; ND\; (N\; \backslash \; otimes\; N)\; (u\; \backslash \; otimes\; v).\}$

Тогда можно доказать, что в двумерной векторной логике закон Де Моргана является законом, включающим операторы, и не только закон, касающийся операций:

$C\; =\; ND\; (N\; \otimes \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; ND\; (N\; \backslash \; otimes\; N)\}$

Закон противопоставления

В классическом пропозициональном исчисления, Закон противопоставления p → q ≡ ¬q → ¬p доказан, поскольку эквивалентность выполняется для всех возможных комбинаций истинностных значений p и q. Вместо этого в векторной логике закон противопоставления возникает из цепочки равенств в рамках правил матричной алгебры и произведений Кронекера, как показано ниже:

$L\; (u\; \otimes \; v)\; =\; D\; (N\; \otimes \; I)\; (u\; \otimes \; v)\; знак\; равно\; D\; (N\; u\; \otimes \; v)\; знак\; равно\; D\; (N\; u\; \otimes \; NN\; v)\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; D\; (N\; \backslash \; otimes\; I)\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; D\; (Nu\; \backslash \; otimes\; v)\; знак\; равно\; D\; (Nu\; \backslash \; otimes\; NNv)\; =\}$

$D\; (NN\; v\; \otimes \; N\; u)\; =\; D\; (N\; \otimes \; I)\; (N\; v\; \otimes \; N\; u)\; =\; L\; (N\; v\; \otimes \; N\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (NNv\; \backslash \; otimes\; Nu)\; =\; D\; (N\; \backslash \; otimes\; I)\; (Nv\; \backslash \; otimes\; Nu)\; =\; L\; (Nv\; \backslash \; otimes\; Nu)\}$

Этот результат основан на том факте, что D, матрица дизъюнкции, представляет коммутативную операция.

Многозначная логика была разработана многими исследователями, в частности, Яном Лукасевичем, и позволяет расширить логические операции до значений истинности, которые включают неопределенности. В случае двузначной векторной логики неопределенности в значениях истинности могут быть введены с использованием векторов с s и n, взвешенных по вероятностям.

Пусть $f\; =\; ϵ\; s\; +\; \delta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; epsilon\; s\; +\; \backslash \; delta\; n\}$, с $ϵ,\; \delta \; \in \; [0,\; 1],\; ϵ\; +\; \delta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon,\; \backslash \; delta\; \backslash \; in\; [0,1],\; \backslash \; epsilon\; +\; \backslash \; delta\; =\; 1\}$быть такими «вероятностными» векторами. Здесь многозначный характер логики вводится апостериори через неопределенности, вносимые во входные данные.

Скалярные проекции векторных выходов

Выходы этого множества -значная логика может быть спроецирована на скалярные функции и порождать определенный класс вероятностной логики, имеющий сходство с многозначной логикой Райхенбаха. Даны два вектора $u\; =\; \alpha \; s\; +\; \beta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; alpha\; s\; +\; \backslash \; beta\; n\}$и $v\; =\; \alpha \; \prime \; s\; +\; \beta \; \prime \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; alpha\; \text{'}s\; +\; \backslash \; beta\text{'}\; n\}$и диадическая логическая матрица $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, скалярная вероятностная логика обеспечивается проекцией на вектор s:

$V\; al\; (скаляры)\; =\; s\; TG\; (векторы)\; \{\backslash \; displaystyle\; Val\; (\backslash \; mathrm\; \{scalars\})\; =\; s\; ^\; \{T\}\; G\; (\backslash \; mathrm\; \{vectors\})\}$

Вот основные результаты этих прогнозов:

$НЕ\; (\alpha )\; =\; s\; TN\; u\; =\; 1\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; NOT\; (\backslash \; alpha)\; =\; s\; ^\; \{T\}\; Nu\; =\; 1-\; \backslash \; alpha\}$

$ИЛИ\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; s\; TD\; (\; u\; \otimes \; v)\; знак\; равно\; \alpha \; +\; \alpha \; \prime \; -\; \alpha \; \alpha \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; OR\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\; \text{'})\; =\; s\; ^\; \{T\}\; D\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; alpha\text{'}\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; alpha\; \text{'}\}$

$И\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; s\; TC\; (u\; \otimes \; v)\; =\; \alpha \; \alpha \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; AND\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\text{'})\; =\; s\; ^\; \{T\}\; C\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; \backslash \; альфа\; \backslash \; альфа\; \text{'}\}$

$IMPL\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; s\; TL\; (u\; \otimes \; v)\; =\; 1\; -\; \alpha \; (1\; -\; \alpha \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; IMPL\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\text{'})\; =\; s\; ^\; \{\; T\}\; L\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; 1-\; \backslash \; alpha\; (1-\; \backslash \; alpha\; \text{'})\}$

$XOR\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; s\; TX\; (u\; \otimes \; v)\; знак\; равно\; \alpha \; +\; \alpha \; \prime \; -\; 2\; \alpha \; \alpha \; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; XOR\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\; \text{'})\; =\; s\; ^\; \{T\}\; X\; (u\; \backslash \; otimes\; v)\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; alpha\text{'}\; -2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; alpha\; \text{'}\}$

Связанные отрицания:

$ИЛИ\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; 1\; -\; ИЛИ\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; NOR\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\text{'})\; =\; 1-OR\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; альфа\; \text{'})\}$

$И-И\; (\alpha ,\; \alpha \text{'})\; =\; 1\; -\; И\; (\alpha ,\; \alpha \; \text{'})\; \{\backslash \; Displaystyle\; И\; НЕ\; (\backslash \; альфа,\; \backslash \; альфа\text{'})\; =\; 1-И\; (\backslash \; альфа,\; \backslash \; альфа\; \text{'})\}$

$EQUI\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; =\; 1\; -\; XOR\; (\alpha ,\; \alpha \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; EQUI\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\; \text{'})\; =\; 1-XOR\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha\text{'})\}$

Если скалярные значения принадлежат множеству {0, ½, 1}, эта многозначная скалярная логика для многих операторов почти идентична 3-значной логике Лукасевича. Кроме того, было доказано, что когда монадические или диадические операторы действуют над вероятностными векторами, принадлежащими этому набору, выход также является элементом этого набора.

Ранние попытки использовать линейные алгебра для представления логических операций может быть отнесена к Пирсу и Копиловишу, в частности, при использовании логических матриц для интерпретации исчисления отношений.

Этот подход был вдохновлен моделями нейронной сети , основанными на использовании многомерных матриц и векторов. Векторная логика - это прямой перевод в матрично-векторный формализм классических булевых многочленов. Этот вид формализма был применен для разработки нечеткой логики в терминах комплексных чисел. Другие матричные и векторные подходы к логическому исчислению были разработаны в рамках квантовой физики, информатики и оптики.

Индийский биофизик GN Рамачандран разработал формализм с использованием алгебраических матриц и векторов для представления многих операций классической джайнской логики, известных как Syad и Saptbhangi. Индийская логика. Он требует независимых подтверждающих доказательств для каждого утверждения в предложении и не делает предположений о бинарном дополнении.

Джордж Буль установил развитие логических операций как полиномов. Для случая монадических операторов (таких как identity или отрицание ) булевы полиномы выглядят следующим образом:

$f\; (x)\; =\; f\; (1)\; x\; +\; f\; (0)\; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (1)\; x\; +\; f\; (0)\; (1-x)\}$

Четыре разные монадические операции являются результатом разных двоичных значений коэффициентов. Операция идентичности требует f (1) = 1 и f (0) = 0, и отрицание происходит, если f (1) = 0 и f (0) = 1. Для 16 диадических операторов булевы многочлены имеют вид:

$f\; (x,\; y)\; =\; f\; (1,\; 1)\; xy\; +\; f\; (1,\; 0)\; x\; (1\; -\; y)\; +\; f\; (0,\; 1)\; (1\; -\; x)\; y\; +\; f\; (0,\; 0)\; (\; 1\; -\; Икс)\; (1\; -\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х,\; у)\; =\; е\; (1,1)\; ху\; +\; е\; (1,0)\; х\; (1-у)\; +\; е\; (0,1)\; (1-х)\; y\; +\; f\; (0,0)\; (1-x)\; (1-y)\}$

Диадические операции могут быть переведены в этот полиномиальный формат, когда коэффициенты f принимают значения, указанные в соответствующих таблицах истинности. Например: для операции NAND требуется, чтобы:

$f\; (1,\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (1,1)\; =\; 0\}$и $f\; (\; 1,\; 0)\; =\; f\; (0,\; 1)\; =\; f\; (0,\; 0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (1,0)\; =\; f\; (0,1)\; =\; f\; (0,0)\; =\; 1\}$.

Эти Булевы полиномы могут быть немедленно расширены до любого числа переменных, создавая большое количество потенциальных логических операторов. В векторной логике матрично-векторная структура логических операторов является точным переводом в формат линейной алгебры этих булевых многочленов, где x и 1 − x соответствуют векторам s и n соответственно (то же самое для y и 1 − y). В примере с И-НЕ, f (1,1) = n и f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = s, и версия матрицы становится:

$S\; =\; n\; (\; s\; \otimes \; s)\; T\; +\; s\; [(s\; \otimes \; n)\; T\; +\; (n\; \otimes \; s)\; T\; +\; (n\; \otimes \; n)\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; n\; (s\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; s\; [(s\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}\; +\; (n\; \backslash \; otimes\; s)\; ^\; \{T\}\; +\; (n\; \backslash \; otimes\; n)\; ^\; \{T\}]\}$

• Векторная логика может быть расширена для включения многих значений истинности, поскольку векторные пространства большой размерности позволяют создавать множество ортогональных значений истинности и соответствующих логических матриц.
• Логические модальности могут быть полностью представлены в этом контексте с рекурсивным процессом, вдохновленным нейронными моделями.
• Некоторые когнитивные проблемы, связанные с Логические вычисления могут быть проанализированы с помощью этого формализма, в частности, рекурсивные решения. Любое логическое выражение классического исчисления высказываний может быть естественно представлено древовидной структурой . Этот факт сохраняется в векторной логике и частично использовался в нейронных моделях, направленных на исследование разветвленной структуры естественных языков.
• Вычисление с помощью обратимых операций, как вентиль Фредкина, может быть реализовано в векторной логике. Такая реализация обеспечивает явные выражения для матричных операторов, которые производят входной формат и фильтрацию выходных данных, необходимую для получения вычислений.
• Элементарные клеточные автоматы можно анализировать с использованием операторной структуры векторной логики; этот анализ приводит к спектральному разложению законов, управляющих его динамикой.
• Кроме того, на основе этого формализма было разработано дискретное дифференциальное и интегральное исчисление.

• Алгебраическая логика
• Булева алгебра
• Исчисление высказываний
• Квантовая логика
• Джонатан Вестфаль