В математике трансформационная геометрия (или трансформационная геометрия ) - это название математического и педагогического подхода к изучению геометрия, сосредоточив внимание на группах из геометрических преобразований и свойствах, которые инвариантны под ними. Он противоположен классическому синтетической геометрии подходу евклидовой геометрии, который фокусируется на доказательстве теорем.
. Например, в геометрии преобразования свойства равнобедренного треугольника выводится из того факта, что он отображается на себя посредством отражения определенной линии. Это контрастирует с классическими доказательствами критерия конгруэнтности треугольников.
Первая систематическая попытка использовать преобразования в качестве основы геометрии была предпринята Феликсом Кляйном в 19 веке под названием Программа Erlangen. В течение почти столетия этот подход оставался ограниченным кругами исследователей математики. В 20 веке были предприняты попытки использовать его для математического образования. Андрей Колмогоров включил этот подход (вместе с теорией множеств ) как часть предложения по реформе преподавания геометрии в России. Эти усилия завершились в 1960-х годах общей реформой преподавания математики, известной как движение Новой математики.
Исследование геометрии трансформации часто начинается с изучения симметрии отражения, встречающейся в повседневной жизни. Первое реальное преобразование - это отражение в линии или отражение относительно оси. композиция двух отражений приводит к повороту, когда линии пересекаются, или к смещению, когда они параллельны. Таким образом, с помощью преобразований студенты узнают об изометрии евклидовой плоскости. Например, рассмотрите отражение в вертикальной линии и линии, наклоненной под углом 45 ° к горизонтали. Можно заметить, что одна композиция дает четверть оборота против часовой стрелки (90 °), а обратная композиция дает четверть оборота по часовой стрелке. Такие результаты показывают, что геометрия преобразования включает некоммутативные процессы.
Интересное применение отражения в линии происходит в доказательстве треугольника одной седьмой площади, найденного в любом треугольнике.
Еще одно преобразование, представленное молодым студентам, - это расширение. Однако преобразование в круг кажется неподходящим для более низких оценок. Таким образом, инверсивная геометрия, более обширное исследование, чем геометрия преобразования начальной школы, обычно предназначена для студентов колледжей.
Эксперименты с конкретными группами симметрии уступают место абстрактной теории групп. Другие конкретные действия используют вычисления с комплексными числами, гиперкомплексными числами или матрицами для выражения геометрии преобразования. Такие уроки геометрии преобразования представляют собой альтернативный взгляд, который контрастирует с классической синтетической геометрией. Когда студенты затем сталкиваются с аналитической геометрией, идеи поворота и отражения координат легко вытекают. Все эти концепции являются подготовкой к линейной алгебре, где концепция отражения расширена.
Педагоги проявили некоторый интерес и описали проекты и опыт преобразования геометрии для детей от детского сада до старшей школы. В случае с детьми очень раннего возраста, чтобы избежать введения новой терминологии и связать их с повседневным опытом учащихся с конкретными объектами, иногда рекомендуется использовать знакомые им слова, такие как «перевертыши» для отражения линий », слайды «для перевода» и «повороты» для вращения, хотя это не точный математический язык. В некоторых предложениях студенты начинают с выполнения с конкретными объектами, прежде чем они выполнят абстрактные преобразования через свои определения отображения каждой точки фигуры.
В попытке реструктурировать курсы геометрии в России, Колмогоров предложил представляя ее с точки зрения преобразований, поэтому курсы геометрии были построены на основе теории множеств. Это привело к появлению в школах термина «конгруэнтный» для фигур, которые раньше назывались «равными»: поскольку фигура рассматривалась как набор точек, она могла быть равна только самой себе, и два треугольника, которые могли перекрываться. по изометрии были конгруэнтны.
Один автор выразил важность теории групп для геометрии преобразований следующим образом: