Топологическая энтропия

редактировать

В математике, топологическая энтропия топологического динамическая система - неотрицательное расширенное действительное число, которое является мерой сложности системы. Топологическая энтропия была впервые введена в 1965 году Адлером, Конхеймом и МакЭндрю. Их определение было смоделировано после определения метрической энтропии Колмогорова – Синая, или метрической энтропии. Позже Динабург и Руфус Боуэн дали другое, более слабое определение, напоминающее измерение Хаусдорфа. Второе определение проясняет значение топологической энтропии: для системы, заданной повторяющейся функцией, топологическая энтропия представляет собой экспоненциальный рост числа различимых орбит повторений. Важный вариационный принцип связывает понятия топологической и теоретико-меры энтропии.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Определение Adler, Konheim и McAndrew
  - 1.1.1 Интерпретация
- 1.2 Определение Bowen and Dinaburg
  - 1.2.1 Интерпретация
2 Свойства
3 Примеры
4 Примечания
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение

A топологическая динамическая система состоит из топологического пространства Хаусдорфа X (обычно считается компактным ) и непрерывным отображением себя f. Его топологическая энтропия представляет собой неотрицательное расширенное действительное число, которое может быть определено различными способами, которые, как известно, эквивалентны.

Определение Адлера, Конхейма и МакЭндрю

Пусть X - компактное хаусдорфово топологическое пространство. Для любого конечного открытого покрытия C X, пусть H (C) будет логарифмом (обычно с основанием 2) наименьшего числа элементов C, покрывающих X. Для двух покрытий C и D, пусть $C ∨ D {\ displaystyle C \ vee D}$ $C \ vee D$ будет их (минимальным) общим уточнением, которое состоит из всех непустых пересечений набора из C с набором из D, и аналогично для нескольких обложек.

Для любого непрерывного отображения f: X → X существует следующий предел:

H (f, C) = lim n → ∞ 1 n H (C ∨ f - 1 C ∨… ∨ f - n + 1 C). {\ Displaystyle H (е, C) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} H (C \ vee f ^ {- 1} C \ vee \ ldots \ vee f ^ {-n + 1} C).}

{\ displaystyle H (f, C) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} H (C \ vee f ^ {- 1} C \ vee \ ldots \ vee f ^ {- n + 1} C).}

Тогда топологическая энтропия f, обозначенная h (f), определяется как супремум H (f, C) по всем возможным конечным покрытиям C пространства X.

Интерпретация

Части C можно рассматривать как символы, которые (частично) описывают положение точки x в X: все точки x ∈ C i присваивается символ C i. Представьте, что положение x (неидеально) измеряется определенным устройством и что каждая часть C соответствует одному возможному результату измерения. Целое число $H (C ∨ f - 1 C ∨… ∨ f - n + 1 C) {\ displaystyle H (C \ vee f ^ {- 1} C \ vee \ ldots \ vee f ^ {- n + 1} C)}$ $H (C \ vee f ^ {{- 1}} C \ vee \ ldots \ vee f ^ {{- n + 1}} C)$ затем представляет минимальное количество «слов» длины n, необходимое для кодирования точек X в соответствии с поведением их первых n - 1 итераций при f, или, иначе говоря, общее количество «сценариев» поведения этих итераций, «видимых» секцией C. Таким образом, топологическая энтропия - это среднее (на итерацию) количество информации, необходимой для описания длинных итераций карты f.

Определение Bowen и Dinaburg

В этом определении используется метрика на X (фактически, однородной структуры было бы достаточно). Это более узкое определение, чем определение Адлера, Конхейма и МакЭндрю, поскольку оно требует дополнительной метрической структуры в топологическом пространстве (но не зависит от выбора метрик, порождающих данную топологию). Однако на практике топологическую энтропию Боуэна-Динабурга вычислить гораздо проще.

Пусть (X, d) будет компактным метрическим пространством и f: X → X будет непрерывной картой. Для каждого натурального числа n новая метрика d n определяется на X по формуле

dn (x, y) = max {d (fi (x), fi (y)): 0 ≤ i < n }. {\displaystyle d_{n}(x,y)=\max\{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0\leq i

d_ {n} (x, y) = \ max \ {d (f ^ {i} (x), f ^ {i} (y)): 0 \ leq i <n \}.

Для любых ε>0 и n ≥ 1 две точки X являются ε-близкими по отношению к этой метрике, если их первые n итераций ε-близки. Эта метрика позволяет отличать в окрестности орбиты точки, которые удаляются друг от друга во время итерации, от точек, которые перемещаются вместе. Подмножество E в X называется (n, ε) -разделенным, если каждая пара различных точек E отстоит по крайней мере на ε в метрике d n. Обозначим через N (n, ε) максимальную мощность (n, ε) -разделенного множества. топологическая энтропия отображения f определяется как

h (f) = lim ϵ → 0 (lim sup n → ∞ 1 n log ⁡ N (n, ϵ)). {\ displaystyle h (f) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log N (n, \ epsilon) \ right).}

h (f) = \ lim _ {{\ epsilon \ to 0}} \ left (\ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {1} {n}} \ log N (n, \ epsilon) \ right).

Интерпретация

Поскольку X компактно, N (n, ε) конечно и представляет количество различимых сегментов орбиты длиной n, предполагая, что мы не можем различить точки в пределах ε одного еще один. Непосредственный аргумент показывает, что предел, определяющий h (f), всегда существует в расширенной вещественной строке (но может быть бесконечным). Этот предел можно интерпретировать как меру среднего экспоненциального роста числа различимых сегментов орбиты. В этом смысле он измеряет сложность топологической динамической системы (X, f). Руфус Боуэн расширил это определение топологической энтропии таким образом, что позволяет X быть некомпактным в предположении, что отображение f равномерно непрерывно.

Свойства

Топологическая энтропия является инвариантом топологических динамических систем, что означает, что он сохраняется благодаря топологической сопряженности.
Пусть $f {\ displaystyle f}$ $f$ будет расширяющим гомеоморфизмом компактного метрического пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ и пусть $C {\ displaystyle C}$ $C$ будет топологическим генератором. Тогда топологическая энтропия $f {\ displaystyle f}$ $f$ относительно $C {\ displaystyle C}$ $C$ равна топологической энтропии $f {\ displaystyle f}$ $f$ , то есть

h (f) = H (f, C). {\ displaystyle h (f) = H (f, C).}

{\ displaystyle h (f) = H (f, C).}

Пусть $f: X → X {\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ $f: X \ rightarrow X$ будет непрерывным преобразованием a компактное метрическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ , пусть $h μ (f) {\ displaystyle h _ {\ mu} (f)}$ $h _ {{\ mu}} (f)$ будет теоретико-мерная энтропия из $f {\ displaystyle f}$ $f$ относительно $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и пусть $M ( X, f) {\ displaystyle M (X, f)}$ $M (X, f)$ - множество всех $f {\ displaystyle f}$ $f$ -инвариантных вероятностных мер Бореля на X. Тогда вариационный принцип энтропии гласит, что

h (f) = sup μ ∈ M (X, f) h μ (f) {\ displaystyle h (f) = \ sup _ {\ mu \ in M ​​(X, f) } h _ {\ mu} (f)}

h (f) = \ sup _ {{\ mu \ in M ​​(X, f)}} h _ {{\ mu}} (f)

В общем, максимум величин $h μ {\ displaystyle h _ {\ mu}}$ $h _ {\ mu}$ на множестве $M (X, f) {\ displaystyle M (X, f)}$ $M (X, f)$ не достигается, но если дополнительно карта энтропии $μ ↦ h μ (f): M (X, f) → R {\ displaystyle \ mu \ mapsto h _ {\ mu} (f): M (X, f) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu \ mapsto h _ {\ mu} (f): M (X, f) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ - это полунепрерывный сверху, тогда мера максимальной энтропии, то есть мера $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ в $M (X, f) {\ displaystyle M (X, f)}$ $M (X, f)$ с $h μ (f) = h (f) {\ displaystyle h_ {\ mu} (f) = h (f)}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu} (f) = h (f)}$ - существует.

Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ имеет уникальную меру максимальной энтропии $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ является эргодическим по отношению к $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Примеры

Пусть $σ: Σ k → Σ k {\ displaystyle \ sigma: \ Sigma _ {k} \ rightarrow \ Sigma _ {k}}$ ${\ displaystyle \ sigma: \ Sigma _ {k} \ rightarrow \ Sigma _ {k} }$ by $xn ↦ xn - 1 {\ displaystyle x_ {n} \ mapsto x_ {n-1}}$ $x_ {n} \ mapsto x _ {{n-1}}$ обозначает полный двусторонний k-сдвиг для символов ${1,…, k} {\ displaystyle \ {1, \ dots, k \}}$ $\ {1, \ dots, k \}$ . Пусть $C = {[1],…, [k]} {\ displaystyle C = \ {[1], \ dots, [k] \}}$ $C = \ {[1 ], \ точки, [k] \}$ обозначает раздел $Σ k {\ displaystyle \ Sigma _ {k}}$ $\ Sigma _ { k}$ в цилиндры длиной 1. Тогда $⋁ j = 0 n σ - 1 (C) {\ displaystyle \ bigvee _ {j = 0} ^ {n} \ sigma ^ {- 1} (C)}$ $\ bigvee _ {{j = 0}} ^ {{n}} \ sigma ^ {- 1}} (C)$ - это раздел $Σ k {\ displaystyle \ Sigma _ {k}}$ $\ Sigma _ { k}$ для всех $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N }$ и количество наборов равно $kn {\ displaystyle k ^ {n}}$ $k ^ {n}$ соответственно. Разделы - это открытые крышки, а $C {\ displaystyle C}$ $C$ - топологический генератор. Следовательно,

час (σ) знак равно ЧАС (σ, C) = lim n → ∞ 1 N журнал ⁡ Kn = журнал ⁡ К {\ Displaystyle h (\ sigma) = H (\ sigma, C) = \ lim _ { n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log k ^ {n} = \ log k}

{\ displaystyle h (\ sigma) = H (\ sigma, C) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log k ^ {n} = \ log k}

. Теоретико-мерная энтропия Бернулли

(1 k,…, 1 k) {\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {k}}, \ dots, {\ frac {1} {k}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {k}}, \ dots, {\ frac {1} {k}} \ right)}

-мерой также является

log ⁡ k {\ displaystyle \ log k}

\ log k

. Следовательно, это мера максимальной энтропии. Далее можно показать, что других мер максимальной энтропии не существует.

Пусть $A {\ displaystyle A}$ $A$ является неприводимым $k × k {\ displaystyle k \ times k }$ $k \ times k$ матрица с элементами в ${0, 1} {\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$ и пусть $σ: Σ A → Σ A {\ displaystyle \ sigma: \ Sigma _ {A} \ rightarrow \ Sigma _ {A}}$ $\ sigma: \ Sigma _ {A} \ rightarrow \ Sigma _ {A}$ - соответствующий подсдвиг конечного типа. Тогда $час (σ) = журнал ⁡ λ {\ displaystyle h (\ sigma) = \ log \ lambda}$ $h (\ sigma) = \ log \ lambda$ , где $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - наибольшее положительное собственное значение из $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Примечания

^Поскольку X компактно, H (C) всегда конечно, даже для бесконечного покрытия C. Использование произвольные покрытия дают одно и то же значение энтропии.
^Боуэн, Руфус (1971). «Энтропия для групповых эндоморфизмов и однородных пространств». Труды Американского математического общества. 153 : 401. doi : 10.1090 / S0002-9947-1971-0274707-X. ISSN 0002-9947.
^Боуэн, Руфус (1971). "Периодические точки и меры для диффеоморфизмов аксиомы А". Труды Американского математического общества. 154 : 377. doi : 10.2307 / 1995452. ISSN 0002-9947.
^Динабург, Ефим (1970). «ВЗАИМОСВЯЗЬ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ И МЕТРИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ». Доклады Академии Наук СССР. 170 : 19.
^Adler, R.L.; Konheim, A. G.; МакЭндрю, М. Х. (1965). «Топологическая энтропия». Труды Американского математического общества. 114 (2): 309. doi : 10.1090 / S0002-9947-1965-0175106-9. ISSN 0002-9947.
^Гудман, Т. Н. Т. (1971). «Связь топологической энтропии и энтропии меры». Бюллетень Лондонского математического общества. 3 (2): 176–180. doi : 10.1112 / blms / 3.2.176. ISSN 1469-2120.

См. Также

Теория замешивания Милнора – Терстона
Для измерения корреляций в системах с топологическим порядком см. Топологический энтропия запутанности
Среднее измерение

Список литературы

Адлер, Р.Л.; Konheim, Allan G.; МакЭндрю, M.H. (1965). «Топологическая энтропия». Труды Американского математического общества. 114 (2): 309–319. DOI : 10.2307 / 1994177. JSTOR 1994177. Zbl 0127.13102.
Дмитрий Аносов (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Рой Адлер, Томаш Даунарович, Михал Мисюревич, Топологическая энтропия в Scholarpedia
Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию. Тексты для выпускников по математике. 79. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95152-0. Zbl 0475.28009.

Внешние ссылки

http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

Эта статья включает материал из Topological Entropy по PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.