Спинодальная декомпозиция

Микроструктурная эволюция согласно уравнению Кана - Хиллиарда, представляющая характерное укрупнение и разделение фаз.

Спинодальная декомпозиция представляет собой одну термодинамическую фазу, разлагающуюся на две фазы, когда нет барьера зародышеобразования для этого разложения. Таким образом, по крайней мере, некоторые флуктуации в системе спонтанно нарастают, поскольку они уменьшают свободную энергию, как это обычно бывает при наличии барьера зародышеобразования. Спинодальное разложение может происходить, например, когда смеси полимеров нестабильны как смесь и разделяются на две сосуществующие фазы, каждую из богата одним полимером и бедна другим. Это также может происходить в металлических сплавах.

Когда две фазы образуются примерно одинаковым объемом (или площадью), образуются характерные переплетенные структуры и становятся грубыми - см. Анимацию на этой странице. Динамику спинодального распада обычно моделируют с использованием уравнения Кана - Хиллиарда..

Спинодальный распад можно сравнить с другим механизмом, при котором одна термодинамическая фаза может распадаться на две фазы. Этот другой механизм называется зародышеобразованием и ростом, и там, в отличие от спинодального распада, существует барьер зародышеобразования, которого обычно требует времени, прежде чем появится новая фаза. Для спинодального распада нет барьера (по определению), по крайней мере, некоторые флуктуации начинают мгновенно расти. Эти флуктуации начинают расти по всему объему, тогда как зародышеобразование обычно включает небольшое образование зародышей новой фазы в случайных точках.

Спинодальное разложение происходит для термодинамически нестабильных фаз. Нестабильная фаза имеет максимум свободной энергии. Напротив, зарождение и рост происходит в метастабильной фазе, которая является фазой, которая находится на локальном, но не глобальном минимуме свободной энергии, и устойчива к небольшим колебаниям. Дж. Уилла Гиббс описал два критерия метастабильной фазы: она должна оставаться стабильной при небольшом изменении на большой площади и должна оставаться стабильной при большом изменении на небольшой площади.

• 1 Модель Кана-Хилларда для спинодального распада
  • 1.1 Динамика спинодального распада при движении путем прямой диффузии
• 2 Фазовая диаграмма
• 3 Деформация когерентности
• 4 Преобразование Фурье
• 5 Динамика в k-пространстве
• 6 История
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Дополнительная литература

Свободные энергии при наличии небольших флуктуаций амплитуды, например по концентрации, можно оценить с помощью приближения, введенного Гинзбургом и Ландау для описания градиентов магнитного поля в сверхпроводниках. Этот подход позволяет аппроксимировать свободную силу расширения в терминах накопителя $\nabla \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; c\}$. Это вектор , поскольку и свободная энергия является скаляром, и поэтому в свободной энергии не может быть членом, пропорционального $\nabla \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; c\}$, так что член низшего порядка квадратичен, это $\kappa \; (\nabla \; c)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (\backslash \; nabla\; c)\; ^\; \{2\}\}$- скаляр. Здесь $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$- это параметр, который контролирует стоимость свободной энергии при использовании $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$.

Тогда свободная энергия Кана-Хиллиарда равна

$F\; =\; \int \; v\; [fb\; +\; \kappa \; (\nabla \; c)\; 2]\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{v\}\; [f\_\; \{b\}\; +\; \backslash \; kappa\; (\backslash \; nabla\; c)\; ^\; \{2\}]\; ~\; dV\}$

где $fb\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{b\}\}$- это объемная свободная энергия на единицу объема однородного раствора, интеграл дан по объему системы.

Теперь мы хотим установить устойчивость к небольшим колебаниям концентрации $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, например синусоидальной волны амплитуды $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и волновой вектор $q\; =\; 2\; \pi \; /\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 2\; \backslash \; pi\; /\; \backslash \; lambda\}$для $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$длина волны усвоить. Чтобы быть термодинамически стабильным, изменить свободную энергию $\delta \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; F\}$из-за любого небольшого колебания концентрации амплитуды $\delta \; c\; =\; грех\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; c\; =\; a\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\}$, должно быть положительным.

Мы можем расширить $fb\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{b\}\}$на средний состав c o следующим образом:

$fb\; (c)\; =\; fb\; (c\; 0)\; +\; (c\; -\; c\; 0)\; (\partial \; f\; \partial \; c)\; c\; =\; c\; 0\; +\; 1\; 2\; (c\; -\; c\; 0)\; 2\; (\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; c\; =\; c\; 0\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{\; b\}\; (c)\; =\; f\_\; \{b\}\; (c\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; left\; (c-c\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; c\_\; \{0\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (c-c\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; c\_\; \{0\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

и для возмущения $\delta \; c\; =\; грех\; \; (q\; \to .\; r\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; c\; =\; a\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\}$изменение свободной энергии составляет

$fb\; +\; \kappa \; (\nabla \; c)\; 2\; =\; fb\; (c\; 0)\; +\; a\; sin\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; (\partial \; f\; \partial \; c)\; c\; =\; c\; 0\; +\; 1\; 2\; a\; 2\; sin\; 2\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; (\partial \; 2\; е\; \partial \; c\; 2)\; c\; знак\; равно\; c\; 0\; +\; a\; 2\; \kappa \; q\; 2\; грех\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{b\}\; +\; \backslash \; kappa\; (\backslash \; nabla\; c)\; ^\; \{2\}\; =\; f\_\; \{b\}\; (c\_\; \{0\})\; +\; a\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\}\}\; \backslash \; rig\; ht)\; \_\; \{c\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; c\_\; \{0\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; par\; tial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; c\_\; \{0\}\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; kappa\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\}$

когда это интегрировано по объему $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, $грех\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; Vec\; \{r\}\})\}$дает ноль, а $грех\; 2\; \; (q\; \to .\; r\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; vec\; \{q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\}$интегрируется, чтобы получить $V\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; /\; 2\}$. Итак, тогда

$\delta \; FV\; =\; (a\; 2\; 4)\; [(\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; c\; =\; c\; 0\; +\; 2\; \kappa \; q\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; F\}\; \{V\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\; +\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; kappa\; \backslash ,\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$

Как $a\; 2>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}>0\}$, термодинамическая стабильность требует, чтобы член в скобках был положительным. $2\; \kappa \; q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; kappa\; q\; ^\; \{2\}\}$всегда положительно, но стремится к нулю на малых волновых векторах, на больших длинах волн Когда она есть, спинодальное разложение отсутствует, но оно отрицательно, есть спинодальное разложение, есть спинодальное разложение. а $qc\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{c\}\}$определяет по:

$qc\; =\; -\; 1\; 2\; \kappa \; (\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; c\; =\; c\; 0\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; q\_\; \{c\; \}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{2\; \backslash \; kappa\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\}\}$

что соответствует колебаниям выше критической длины волны

$\lambda \; c\; =\; -\; 8\; \pi \; 2\; \kappa \; /\; (\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; c\; =\; c\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; c\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-8\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; kappa\; /\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\}\}\}$

Динамика спинодального распада при движении посредством диффузии

Спинодальный распад может быть смоделирован с использованием обобщенного уравнения диффузии :

. $\partial \; c\; \partial \; T\; знак\; равно\; M\; \nabla \; 2\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; c\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; M\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\}$

для $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$химический потенциал и $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$подвижность. Как указатель Кан, это уравнение можно рассматривать как феноменологическое определение подвижности M, которая по определению должна быть положительной. Он состоит из отношения к локальному градиенту химического потенциала. Химический потенциал - это вариация свободной энергии, и когда это свободная энергия Кана-Хилларда, это

$\mu \; =\; \delta \; F\; \delta \; c\; =\; (\partial \; е\; \partial \; с)\; со\; знаком\; равно\; с\; 0-2\; \kappa \; \nabla \; 2\; с\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; F\}\; \{\backslash \; delta\; c\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\; -\; 2\; \backslash \; kappa\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; c\}$

и поэтому

$\partial \; c\; \partial \; t\; =\; M\; \nabla \; 2\; \mu \; =\; M\; [(\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; c\; знак\; равно\; c\; 0\; \nabla \; 2\; c\; +\; 2\; \kappa \; \nabla \; 4\; c]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; c\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; M\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; =\; M\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; c\; +\; 2\; \backslash \; kappa\; \backslash \; nabla\; ^\; \{4\}\; c\; \backslash \; right]\}$

и теперь мы хотим увидеть, что происходит с небольшими колебаниями концентрации $\delta \; c\; =\; a\; exp\; \; (\omega \; t)\; sin\; \; (q\; \to .\; R\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; c\; =\; a\; \backslash \; exp\; (\backslash \; omega\; t)\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; vec\; \{\; q\}\}.\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\})\}$- обратите внимание, что теперь он временную зависимость как волновой вектор зависимости. Здесь $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- скорость роста. Если , то возмущение сжимается до нуля, система устойчива по отношению к малым возмущениям или флуктуациям, спинодальный распад отсутствует. Однако, если $\omega >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega>0\}$возмущение растет, и система становится нестабильной относительно небольших возмущений или флуктуаций: существуетодальное разложение.

равно M [- (∂ 2 е ∂ с 2) c = c 0 q 2 + 2 κ q 4] δ c {\ displaystyle \ omega \ delta c = M \ left [- \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial c ^ {2}}} \ right) _ {c = c_ {0}} q ^ {2} +2 \ kappa q ^ {4} \ right] \ delta c}

Это дает те же выражения для устойчивости и выше, но также дает выражение для скорости возмущений концентрации

$\omega \; =\; M\; q\; 2\; [-\; (\partial \; 2\; f\; \partial \; c\; 2)\; с\; знак\; равно\; с\; 0\; +\; 2\; \kappa \; Q\; 2\; ]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; Mq\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{\; 0\}\}\; +\; 2\; \backslash \; kappa\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; ]\}$

с максимумом на волновом векторе

$\omega \; max\; =\; -\; (\partial \; 2\; е\; \partial \; с\; 2)\; со\; знаком\; равно\; с\; 0\; /\; (8\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{max\}\}\; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; частичное\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{c\; =\; c\_\; \{0\}\}\; /\; (8\; \backslash \; kappa)\}\}\}$

Итак, по крайней мере в начале спинодального периода в начале периода распада мы ожидаем.

Этот тип фазового превращения известен как спинодальный распад, и его можно проиллюстрировать на фазовой диаграмме, демонстрирующей разрыв в смешиваемости. Таким образом, разделение фаз происходит всякий раз, когда материал переходит в нестабильную область фазовой диаграммы. Граница нестабильной области, иногда называемая бинодали или кривой сосуществования, происходит путем обычного касательного графика свободной энергии. Внутри бинодали находится область, называемая спинодалью, которую можно найти, определив, где кривизна кривой свободной энергии отрицательна. Бинодаль и спинодаль встречаются в критической точке. Когда материал перемещается в спинодальную область фазовой диаграммы, может происходить спинодальный распад.

Кривая свободная энергия строится как функция состава для температуры ниже свернутой температуры T. Равновесные фазовые составы соответствуют минимумам свободной энергии. Области отрицательной кривизны (∂f / ∂c < 0) lie within the inflection points of the curve (∂f/∂c = 0) which are called the spinodes. Their locus as a function of temperature defines the spinodal curve. For compositions within the spinodal, a homogeneous solution is unstable against infinitesimal fluctuations in density or composition, and there is no thermodynamic barrier to the growth of a new phase. Thus, the spinodal represents the limit of physical and chemical stability.

Чтобы достичь спинодальной области фазовой диаграммы, переход должен провести материал через область бинодали или критическую точку.

В некоторых системах, упорядочение материалов приводит к нестабильности., требуется очень быстрый переход, часто называемый гашением. Состав, и это известно как условная спинодаль, например, в полевых шпатах.

Для крупных твердых растворов, существует изменение решетки в зависимости от состава. в представлении модуляции состава, необходимо выполнить механическую работу, чтобы деформировать жесткую решетчатую стру ктуру. Таким образом, поддержание согласованности влияет на s движущая сила распространения.

Рассмотрим кристаллическое твердое вещество, содержащее одномерную модульцию в составе направления x. Мы вычисляем упругую деформацию для кубического кристалла, оценивая работу, необходимую для деформации с материала, чтобы его было связно добавить к существующей плите с площадью поперечного сечения. Мы будем предполагать, что модуляция композиции происходит вдоль направления x ', и, как указано, инстанция для отличия опорных осей от стандартных осей кубической системы (то есть вдоль ).

Пусть шаг решетки в плоскости пластины равен a o, а шаг недеформированного среза a. Если после добавления плиты срез должен быть когерентным, он должен подвергнуться деформации в направлениях z 'и y', которые задаются следующим образом:

$ϵ\; =\; a\; -\; a\; 0\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; -a\_\; \{0\}\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\}$

На первом этапе деформируется гидростатически, чтобы создать необходимую деформацию в направлениях z 'и y'. Мы используем линейную сжимаемость кубической системы 1 / (c 11 + 2 c 12), где c - упругие постоянные. Напряжения, необходимые для создания гидростатической деформации δ, поэтому задаются следующим образом:

$\sigma \; x\; \prime \; =\; \sigma \; y\; \prime \; =\; \sigma \; z\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\; \text{'}\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\text{'}\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{z\; \text{'}\}\}$

Работа упругости на единицу определяется объемом по формуле:

$WE\; =\; 1\; 2\; \sum \; i\; \sigma \; i\; ϵ\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{i\}\}$

где ε - деформации. Таким образом, работа, выполняемая на единицу размера сечения на первом этапе, определяется следующим образом:

$WE\; (1)\; =\; 3\; 2\; (c\; 11\; +\; 2\; c\; 12)\; ϵ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; (1)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; (c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\})\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}$

На втором этапе среза стороны параллельного направления x 'зажимаются и напряжение в этом направлении снимается обратимо. Таким образом, ε z '= ε y' = 0. В результате:

$WE\; (2)\; =\; ϵ\; 2\; (c\; 11\; +\; 2\; c\; 22)\; 2\; c\; 11\; \{\; \backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; (2)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\; (c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{22\})\}\; \{2c\_\; \{11\}\}\}\}$

Сетевая работа, выполненная на срез для достижения согласованности задается следующим образом:

$WE\; =\; WE\; (1)\; -\; WE\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; W\_\; \{E\}\; (1)\; -W\_\; \{E\}\; (2)\}$

или

$МЫ\; =\; (ϵ\; 2\; 2)\; (c\; 11\; +\; 2\; c\; 12)\; (3\; -\; [c\; 11-2\; c\; 12\; c\; 1\; \prime \; 1\; \prime ])\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; (c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\})\; \backslash \; left\; (3-\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{11\}\; -2c\_\; \{12\}\}\; \{c\_\; \{1\; \text{'}\; 1\; \text{'}\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\}$

Последний шаг - выразить c 1'1' через константы, относящиеся к стандартным осям. Из поворота осей получаем:

$c\; 1\; \prime \; 1\; \prime \; =\; c\; 11\; +\; 2\; (2\; c\; 44\; -\; c\; 11\; +\; c\; 12)\; (l\; 2\; m\; 2\; +\; m\; 2\; n\; 2\; +\; l\; 2\; n\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{\; 1\text{'}1\; \text{'}\}\; =\; c\_\; \{11\}\; +2\; (2c\_\; \{44\}\; -c\_\; \{11\}\; +\; c\_\; \{12\})\; (l\; ^\; \{2\}\; m\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\}\; +\; l\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\})\}$

где l, m, n - направляющие косинусы оси x 'и, следовательно, направляющие косинусы модуляции композиции. Объединяя их, мы получаем следующее:

$WE\; =\; Y\; ϵ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; Y\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}$

$Y\; =\; 1\; 2\; (c\; 11\; +\; 2\; c\; 12)\; [3\; -\; c\; 11\; +\; 2\; c\; 12\; c\; 11\; +\; 2\; (2\; c\; 44\; -\; c\; 11\; +\; c\; 12)\; (l\; 2\; m\; 2\; +\; m\; 2\; n\; 2\; +\; l\; 2\; n\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\})\; \backslash \; left\; [3\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\}\}\; \{c\_\; \{11\}\; +2\; (2c\_\; \{44\}\; -c\_\; \{11\; \}\; +\; c\_\; \{12\})\; (l\; ^\; \{2\}\; m\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\}\; +\; l\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\})\}\}\; \backslash \; right]\}$

наличие какой-либо деформации сдвига не учитывалось. Кан рассмотрел эту проблему и пришел к выводу, что сдвиг будет отсутствовать для модуляции вдоль , <110>, <111>и что для другого влияния сдвиговых деформаций будет небольшим. Отсюда следует, что полная энергия упругой деформации плиты с поперечным сечением A определяется как:

$WE\; =\; 4\; \int \; Y\; ϵ\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; 4\; \backslash \; int\; Y\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\; ~\; dx\}$

Далее мы должны связать деформацию δ с вариацией состава. Пусть a o - параметр решетки недеформированного твердого тела среднего состава c o. Использование разложения в ряд Тейлора около c o дает следующее:

$a\; =\; a\; 0\; [1\; +\; \eta \; [c\; -\; c\; 0]\; +\; \cdots ]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; a\_\; \{0\}\; [1+\; \backslash \; eta\; [c-c\_\; \{0\}]\; +\; \backslash \; cdots]\}$

, в котором

$\eta \; =\; (1\; a\; 0)\; (dadc)\; +\; d\; ln\; \; adc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{da\}\; \{dc\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; a\}\; \{dc\}\}\}$

где производные оцениваются в c o. Таким образом, мы имеем:

$ϵ\; =\; a\; -\; a\; 0\; a\; 0\; =\; \eta \; (c\; -\; c\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a-a\_\; \{0\}\}\; \{a\_\; \{\; 0\}\}\}\}\; =\; \backslash \; eta\; (c-c\_\; \{0\})\}$

Подставляя, получаем:

$WE\; =\; A\; \int \; \eta \; 2\; Y\; (c\; -\; c\; 0)\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{E\}\; =\; A\; \backslash \; int\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; Y\; (c-c\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; ~\; dx\}$

Этот простой результат показывает, что энергия деформации модуляции композиции зависит только от амплитуды и не зависит от длины волны. Для данной амплитуды энергии деформации W E пропорциональна Y. Рассмотрим несколько частных случаев.

Для изотропного материала:

$2\; c\; 44\; -\; c\; 11\; +\; c\; 12\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 2c\_\; \{44\}\; -c\_\; \{11\}\; +\; c\_\; \{12\}\; =\; 0\}$

так, чтобы :

$Y\; [iso]\; =\; c\; 11\; +\; c\; 12-2\; (c\; 12\; 2\; c\; 11)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; [\backslash \; mathrm\; \{iso\}]\; =\; c\_\; \{11\}\; +\; c\_\; \{12\}\; -2\; (\{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{11\}\}\})\}$

Это уравнение также можно записать в терминах модуля Юнга E и коэффициента Пуассона υ, используя стандартные соотношения:

$c\; 11\; =\; E\; (1\; -\; \nu )\; (1-2\; \nu )\; (1\; +\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; (1-\; \backslash \; nu)\}\; \{(1-2\; \backslash \; nu)\; (1+\; \backslash \; nu)\}\}\; \}$

$c\; 12\; =\; E\; \nu \; (1-2\; \nu )\; (1\; +\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{12\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; \backslash \; nu\}\; \{(1-2\; \backslash \; nu)\; (1+\; \backslash \; nu)\; \}\}\}$

Подставляя, получаем следующее:

$Y\; [iso]\; =\; E\; 1\; -\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; [\backslash \; mathrm\; \{iso\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{1-\; \backslash \; nu\}\}\}$

Для металлов левая часть этого уравнения

$2\; c\; 44\; -\; c\; 11\; +\; c\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; 2c\_\; \{44\}\; -c\_\; \{11\}\; +\; c\_\; \{12\}\}$

положительна, так что упругая энергия будет минимальной для тех направлений, которые минимизируют член: lm + mn + ln. При осмотре видно, что это . В этом случае:

$Y\; [100]\; =\; c\; 11\; +\; c\; 12-2\; (c\; 12\; 2\; c\; 11)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; [\backslash \; mathrm\; \{100\}]\; =\; c\_\; \{11\}\; +\; c\_\; \{12\}\; -2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{11\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

то же, что и для изотропного материала. По крайней мере, один металл (молибден) имеет анизотропию противоположного знака. В этом случае направления для минимального W E будут такими, которые максимизируют функцию направленного косинуса. Этими направлениями являются и

$Y\; [111]\; =\; 6\; c\; 44\; (c\; 11\; +\; 2\; c\; 12)\; c\; 11\; +\; 2\; c\; 12\; +\; 4\; c\; 44\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; [\backslash \; mathrm\; \{111\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{6c\_\; \{44\}\; (c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\})\}\; \{c\_\; \{11\}\; +\; 2c\_\; \{12\}\; +\; 4c\_\; \{44\}\}\}\}$

Как мы увидим, скорость роста модуля будет максимальна в направлениях, которые минимизируют Y. Таким образом, эти направления определяют морфологию и структурные характеристики распада в кубических твердых растворах.

Переписывая уравнение диффузии и включая член, полученный для упругой энергии, получаем следующее:

$F\; t\; =\; A\; \int \; f\; (c)\; +\; \eta \; Y\; (c\; -\; c\; 0)\; 2\; +\; K\; (dcdx)\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{t\}\; =\; A\; \backslash \; int\; f\; (c)\; +\; \backslash \; eta\; Y\; (c-c\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; +\; K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dc\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; ~\; dx\}$

или

$\partial \; c\; \partial \; t\; =\; (MN\; \nu )\; ([f\; ″\; +\; 2\; \eta \; Y]\; (d\; 2\; cdx\; 2)\; -\; 2\; K\; (d\; 4\; cdx\; 4))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; c\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{N\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; ([f\; \text{'}\text{'}\; +\; 2\; \backslash \; eta\; Y]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; c\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -2K\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; c\}\; \{dx\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

который в качестве альтернативы можно записать в терминах коэффициента диффузии D как:

$\partial \; c\; \partial \; t\; =\; ([1\; +\; 2\; \eta \; Y\; f\; ″]\; d\; 2\; cdx\; 2\; -\; 2\; KF\; f\; ″\; d\; 4\; cdx\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; c\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; eta\; Y\}\; \{f\; \text{'}\text{'}\}\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; c\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2KF\}\; \{f\; \text{'}\text{'}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; c\}\; \{dx\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Самый простой способ решить эт о уравнение - использовать методпреобразований Фурье.

Преобразование Фурье

Мотивация для преобразования Фурье исходит из изучения ряда Фурье. При изучении Фурье периодические функции записываются суммы простых волн, математически представленных синусами и косинусами. Благодаря свойствам синуса и косинуса можно восстановить сумму каждой волны в сумме с помощью интеграла. Во многих случаях желательно использовать формулу Эйлера, которая утверждает, что e = cos 2πθ + i sin 2πθ, чтобы записать ряд Фурье в терминах основных волн e, с явным преимуществом упрощения многих громоздких формул.

Переход от синусов и косинусов к комплексным показателям требует, чтобы коэффициенты Фурье были комплексными. Обычная интерпретация этого комплексного числа в том, что оно дает вам как амплитуду (или размер) волны, присутствующую в функции, так и фазу (или начальный угол) волны.. Этот отрывок также вводит необходимость в отрицательных «частотах». (Например, если θ измеряется в секундах, то волны e и e завершают один цикл в секунду, но они имеют разные частоты в преобразованном Фурье. Следовательно, частота больше не измеряет количество циклов в единицу времени, но соединяет связь.)

Если A (β) - это амплитуда компонента Фурье длины волны λ и волнового числа β = 2π / λ, пространственное изменение состава может быть выражено интегралом Фурье:

$c\; -\; c\; 0\; Знак\; равно\; \int \; A\; (\beta )\; ехр\; \; (я\; \beta \; Икс)\; d\; \beta \; \{\backslash \; Displaystyle\; c-c\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; int\; A\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; exp\; (i\; \backslash \; beta\; x)\; ~\; d\; \backslash \; beta\}$

в котором коэффициенты силы обратной зависимости:

$A\; (\beta )\; знак\; равно\; 1\; 2\; \pi \; \int \; (c\; -\; c\; 0)\; ехр\; \; (-\; я\; \beta \; x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; beta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; (c-\; c\_\; \{0\})\; \backslash \; exp\; (-i\; \backslash \; beta\; x)\; ~\; dx\}$

Подставляя, при приравнивании коэффициентов получаем:

$d\; A\; (\beta )\; dt\; =\; -\; MN\; \nu \; [е\; ″\; +\; 2\; \eta \; 2\; Y\; +\; 2\; Y\; \beta \; 2]\; \beta \; 2\; A\; (\beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dA\; (\backslash \; beta)\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{N\_\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; [f\; \text{'}\text{'}\; +\; 2\; \backslash \; эта\; ^\; \{2\}\; Y\; +\; 2Y\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}]\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; A\; (\backslash \; beta)\}$

Это представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого:

$A\; (\beta ,\; t)\; =\; A\; (\beta ,\; 0)\; exp\; \; [R\; (\beta )\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; beta,\; t)\; =\; A\; (\backslash \; beta,\; 0)\; \backslash \; exp\; [R\; (\backslash \; beta)\; t]\}$

, в котором A (β) - начальная амплитуда фурье-компоненты волнового числа β и R (β), определяемая как:

$R\; (\beta )\; Знак\; равно\; -\; MN\; \nu \; (е\; ″\; +\; 2\; \eta \; Y\; +\; 2\; К\; \beta \; 2)\; \beta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; beta)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{N\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; (f\; \text{'}\text{'}\; +\; 2\; \backslash \; eta\; Y\; +\; 2k\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\})\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}$

или, выраженное через коэффициент диффузии D:

$R\; (\beta )\; =\; -\; D\; ~\; (1\; +\; 2\; \eta \; 2\; Y\; е\; ″\; +\; 2\; К\; е\; ″\; \beta \; 2)\; \beta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; beta)\; =\; -\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; Y\}\; \{f\; \text{'}\text{'}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2K\}\; \{f\; \text{'}\text{'}\}\}\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}$

Аналогичным образом новое уравнение диффузии :

$\partial \; c\; \partial \; T\; знак\; равно\; M\; \partial \; 2\; е\; \partial \; c\; 2\; \nabla \; 2\; c\; -\; 2\; MK\; \nabla \; 4\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; c\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; M\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; c-2MK\; \backslash \; nabla\; ^\; \{4\}\; c)\}$

имеет простое решение синусоидальной волны, задаваемое следующим образом:

$c\; -\; c\; 0\; =\; exp\; [R\; \beta \; ¯\; t]\; соз\; \beta \; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; c-c\_\; \{0\}\; =\; exp\; [R\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\; \}\}\; t]\; cos\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; r\}$

где R (β) получается путем подстановки этого решения обратно в уравнение диффузии следующим образом:

$R\; (\beta \; ¯)\; -\; M\; \beta \; 2\; (\partial \; 2\; е\; \partial \; с\; 2\; +\; 2\; К\; \beta \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\})\; -\; M\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\; \}\}\}\; +\; 2K\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

Для твердого тела упругие деформации, развивающие в (результате) когерентности, увеличения члена к коэффициенту усиления R (β) следующим образом:

$р\; (\beta \; ¯)\; знак\; равно\; -\; M\; \beta \; 2\; (\partial \; 2\; е\; \partial \; с\; 2\; +\; 2\; \eta \; 2\; Y\; +\; 2\; К\; \beta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\})\; =\; -\; M\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; 2\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; Y\; +\; 2K\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

где для изотропных твердый тел:

$Y\; =\; E\; 1\; -\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{1-\; \backslash \; nu\}\}\}$,

где E - модуль упругости Юнга, υ - коэффициент П у ассона, а η - линейная деформация на единицу разницы в составе. Для анизотропных твердых тел упругий член зависит от направления, который может быть предсказан с помощью упругих постоянных и того, как параметры меняются в зависимости от состава. Для кубического случая Y является минимумом для ориентации (100) или (111), в зависимости только от упругой упругой анизотропии.

Таким образом, описывая любые флуктуации состава в терминах его компонентов Фурье, Кан показал, что решение будет неустойчивым по отношению к синусоидальным флуктуациям критической длины волны. Индуктивность вибрации, индуцирования вибрации, вибрации, вибрации, вибрации, вибрации. Обработка дает ожидаемый средний размер частиц или длину волны наиболее быстро растущей флуктуации.

Таким образом, система амплитуда колебаний должна непрерывно расти до тех пор, пока не будет достигнуто метастабильное равновесие с преимущественным усилением компонентов длинных волн. Коэффициент кинетического усиления R отрицателен, устойчив к флуктуации, равенство нулю на критической длине волны и положителен для более длинных волн, демонстрируя максимум ровно при $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$раз критическая длина волны.

Рассмотрим однородный раствор внутри спинодали. Первоначально он будет иметь отклонение от среднего состава, который может быть записан как интеграл Фурье. Каждая Фурье-составляющая этого колебания будет расти или уменьшаться в зависимости от длины волны.

Из-за максимума R как функции длины волны, компоненты флуктуации, в $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$раз больше критической длины волны, будут расти быстрее всех и будет доминировать. Этот «принцип избирательного усиления» зависит от начального присутствия этих длинных волн, но не критически зависит от их точной амплитуды относительно других волн (если время велико по сравнению с (1 / R)).

Ограничения этой теории, по некоторым причинам, вытекающие из этого предположения и выражения, сформулированного для учета необратимых процессов во время разделения фаз, которые могут быть связаны с внутренним трением На практике обычно присутствует демпфирование трения, некоторая часть энергии преобразуется в тепловую. Таким образом, амплитуда и интенсивность одномерной волны уменьшается с удалением от источника, а для трех-

В спинной области фазовая диаграмма может быть меньше, позволяя относя компонентам разделиться, увеличить ьную концентрацию материала в этой области материала. Концентрация будет продолжать увеличиваться, пока материал не достигнет стабильной части фазовой диаграммы. Очень большие области материала будут увеличивать свою концентрацию из-за количества материала, который необходимо переместить. Очень маленькие области сокращаются из-за затрат энергии на поддержание раздела между двумя разнородными материалами-компонентами.

Чтобы вызвать однородное охлаждение, параметр управления, такой как температура, резко и глобально изменяется. Для бинарной смеси материалов типа $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$тип свободной энергии Ландау

$F\; =\; \int \; (\; A\; 2\; \varphi \; 2\; +\; B\; 4\; \varphi \; 4\; +\; \kappa \; 2\; (\nabla \; \varphi )\; 2)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; =\; \backslash \; int\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{4\}\}\; \backslash \; phi\; ^\; \{4\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ~\; dx\; \backslash ;.\}$<111>

- хорошее приближение свободной энергии вблизи критической точки и часто используется для изучения однородных закалок. Концентрация смесей $\varphi \; =\; \rho \; A\; -\; \rho \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{A\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{B\}\}$- разность плотностей компонентов смеси, контроль параметров, определяющие стабильность смеси : $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, а стоимость энергии на границе раздела определяется как $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \}$.

Диффузное движение часто доминирует на шкале длины спинодального распада. Уравнение движения для диффузионной системы:

$\partial \; t\; \varphi \; =\; \nabla \; (m\; \nabla \; \mu \; +\; \xi \; (x)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; nabla\; (m\; \backslash \; nabla\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; xi\; (x))\; \backslash ;,\}$

где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- диффузионная подвижность, $\xi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (x)\}$- некоторый случайный шум такой, что $⟨\xi \; (x)⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; xi\; (x)\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$, а химический потенциал $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$получено из свободной энергии Ландау:

$\mu \; =\; \delta \; F\; \delta \; \varphi \; =\; A\; \varphi \; +\; B\; \varphi \; 3\; -\; \kappa \; \nabla \; 2\; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; F\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; phi\}\}\; =\; A\; \backslash \; phi\; +\; B\; \backslash \; phi\; ^\; \{3\}\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash ;.\}$

Мы видим, что если , небольшие колебания около $\varphi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; 0\}$имеют отрицательную эффективную диффузионную подвижность и будут расти, а не уменьшаться. Чтобы понять динамику роста, мы пренебрегаем колеблющимися токами из-за $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$, линеаризации уравнения движения вокруг $\varphi \; =\; \varphi \; в\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{in\; \}\}$и выполнить преобразование Фурье в $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-пространство. Это приводит к

$\partial \; t\; \varphi \; ~\; (k,\; t)\; =\; -\; m\; ((A\; +\; 3\; B\; \varphi \; in\; 2)\; k\; 2\; +\; \kappa \; k\; 4)\; \varphi \; ~\; (k,\; t)\; =\; R\; (k)\; \varphi \; ~\; (\; к,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; phi\}\}\; (k,\; t)\; =\; -\; m\; ((A\; +\; 3B\; \backslash \; phi\; \_\; \{in\}\; ^\; \{2\})\; k\; ^\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; kappa\; k\; ^\; \{4\})\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; phi\}\}\; (k,\; t)\; =\; R\; (k)\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; phi\}\}\; (k,\; t)\; \backslash ;,\}$

который имеет решение экспоненциального роста :

$\varphi \; ~\; (k,\; t)\; =\; exp\; \; (R\; (k)\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; phi\}\}\; (k,\; t)\; =\; \backslash \; exp\; (R\; (k)\; t)\; \backslash ;.\}$

Первая скорость роста $R\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (k)\; \}$экспоненциально, наиболее быстро растущее угловое волновое число

$ksp\; =\; -\; (A\; +\; 3\; B\; \varphi \; in\; 2)\; 2\; \kappa ,\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{sp\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (\; A\; +\; 3B\; \backslash \; phi\; \_\; \{in\}\; ^\; \{2\})\}\; \{2\; \backslash \; kappa\}\}\}\; \backslash ;,\}$

быстро доминирует в морфологии. Теперь мы видим, что спинодальное разложение приводит к появлению внутри с характерным масштабом длины, называемым спинодальной длиной:

$\lambda \; s\; p\; =\; 2\; \pi \; k\; s\; p\; =\; 2\; \pi \; 2\; \kappa \; -\; (A\; +\; 3\; B\; \varphi \; i\; n\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{sp\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{k\_\; \{sp\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; kappa\}\; \{-\; (A\; +\; 3B\; \backslash \; phi\; \_\; \{\; in\}\; ^\; \{2\})\}\}\; \backslash ;\}$

Скорость наиболее быстро растущего углового волнового числа составляет

$R\; (ksp)\; =\; -\; m\; ((A\; +\; 3\; B\; \varphi \; in\; 2)\; ksp\; 2\; +\; \kappa \; ksp\; 4)\; знак\; равно\; m\; (A\; +\; 3\; B\; \varphi \; in\; 2)\; 2\; 4\; \kappa \; =\; 1\; tsp\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (k\_\; \{sp\})\; =\; -\; m\; ((A\; +\; 3B\; \backslash \; phi\; \_\; \{in\}\; ^\; \{2\})\; k\_\; \{sp\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; kappa\; k\_\; \{sp\}\; ^\; \{4\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\; (A\; +\; 3B\; \backslash \; phi\; \_\; \{in\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; kappa\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\_\; \{sp\}\}\}\}$

где $tsp\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{sp\}\}$известно как спинодальное время.

Длина спинодали и время спинодали могут использоваться для обезразмеривания уравнения движения, что приводит к универсальному масштабированию для спинодального разложения.

В начале 1940-х Брэдли сообщил о наблюдении боковых полос вокруг брэгговских пиков на дифрактограмме рентгеновского сплава Cu-Ni-Fe, который был закален, а затем отожжен. внутри разрыва смешиваемости. Дальнейшие наблюдения того же сплава были сделаны Дэниелом и Липсоном, которые продемонстрировали, что боковые полосы можно объяснить периодической модуляцией состава в направлениях . По расстоянию между боковыми полосами они смогли определить длину волны модуляции, которая была порядка 100 ангстрем.

Рост модуляции состава в изначально однородном сплаве подразумевает восходящую диффузию или отрицательный коэффициент диффузии. Беккер и Делингер уже предсказали отрицательный коэффициент диффузии внутри спинодальной области двойной системы. Но их обработка не могла объяснить рост модуляции определенной длины волны, как это наблюдалось в сплаве Cu-Ni-Fe. Фактически, любая модель, основанная на законе Фика, дает физически неприемлемое решение, когда коэффициент диффузии отрицательный.

Первое объяснение периодичности было дано Матсом Хиллертом в его докторской диссертации 1955 года в MIT. Начав с модели регулярного решения, он вывел уравнение потока для одномерной диффузии на дискретной решетке. Это уравнение отличалось от обычного включением члена, который учитывал влияние на движущую силу межфазной энергии между соседними межатомными плоскостями, которые различались по составу. Хиллер решил численно уравнение потока и обнаружил, что внутри спинодали оно дает периодическое изменение состава с расстоянием. Кроме того, длина волны модуляции была того же порядка, что и в сплавах Cu-Ni-Fe.

Основываясь на работе Хиллерта, более гибкая модель континуума была впоследствии разработана Джоном В. Каном и Джоном Хиллиардом, которые включили эффекты деформаций когерентности, а также член градиентной энергии. Деформации значительны в том смысле, что они определяют окончательную морфологию разложения анизотропных материалов.

• <110>Langer, J.S.; Барон, М.; Миллер, Х. (1975). «Новый вычислительный метод в теории спинодального распада». Physical Review A. 11(4): 1417. Bibcode : 1975PhRvA..11.1417L. doi : 10.1103 / PhysRevA.11.1417.
• Видьясагар, А.; Krödel, S.; Кохманн, Д. М. (2018). «Микроструктуры с настраиваемой механической анизотропией, полученные путем моделирования анизотропного спинодального разложения». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. Королевское общество. 474 (2218): 20180535. Bibcode : 2018RSPSA.47480535V. doi : 10.1098 / rspa.2018.0535. ISSN 1364-5021. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Краткое заявление Матса Хиллерта
• Домашняя страница Джона Кана
• Бинарные сплавы
• Профили состава
• Сплавы медь / никель / олов
• Графическое изображение эволюции микроструктуры