Сферическая мера

редактировать

В математике - в частности, в теории геометрической меры - сферическая мера σ является «естественной» мерой Бореля на n-сфере S. Сферическая мера часто нормализуется так, чтобы она была вероятностной мерой на сфере, то есть так, что σ (S ) = 1.

Содержание

1 Определение сферической меры
2 Связь с другими показателями
3 Изопериметрическое неравенство
4 Ссылки

Определение сферической меры

Есть несколько способов определить сферическую меру. Один из способов - использовать обычную «круглую» или «длину дуги » метрику ρnна S ; то есть для точек x и y в S, ρ n (x, y) определяется как (евклидов) угол, который они проходят в центре сферы ( происхождение R ). Теперь построим n-мерную меру Хаусдорфа H на метрическом пространстве (S, ρ n) и определим

σ n = 1 H n (S n) H n. {\ displaystyle \ sigma ^ {n} = {\ frac {1} {H ^ {n} (\ mathbf {S} ^ {n})}} H ^ {n}.}

\ sigma ^ {{n}} = {\ frac {1} {H ^ {{n}} ({\ mathbf {S}} ^ {{n}})}} H ^ {{n}}.

Можно было бы также дать S метрика, которую он наследует как подпространство евклидова пространства R ; та же сферическая мера получается из этого выбора метрики.

Другой метод использует меру Лебега λ на окружающем евклидовом пространстве R : для любого измеримого подмножества A из S определите σ (A) быть (n + 1) -мерным объемом «клина» в шаре B, который он проходит в начале координат. То есть

σ n (A): = 1 α (n + 1) λ n + 1 ({tx ∣ x ∈ A, t ∈ [0, 1]}), {\ displaystyle \ sigma ^ {n } (A): = {\ frac {1} {\ alpha (n + 1)}} \ lambda ^ {n + 1} (\ {tx \ mid x \ in A, t \ in [0,1] \ }),}

\ sigma ^ {{n}} (A): = {\ frac {1} {\ alpha (n + 1)}} \ lambda ^ {{n + 1 }} (\ {tx \ mid x \ in A, t \ in [0,1] \}),

где

α (m): = λ m (B 1 m (0)). {\ displaystyle \ alpha (m): = \ lambda ^ {m} (\ mathbf {B} _ {1} ^ {m} (0)).}

\ alpha (m): = \ lambda ^ {{m}} ({\ mathbf {B}} _ {{1}} ^ {{m}} (0)).

Тот факт, что все эти методы определяют одну и ту же меру на S следует из элегантного результата Кристенсена: все эти меры, очевидно, равномерно распределены на S, а любые две равномерно распределенные борелевские регулярные меры на сепарабельном метрическом пространстве должны быть постоянными (положительными) кратными друг другу. Поскольку все возможные σ были нормализованы как вероятностные меры, все они являются одной и той же мерой.

Связь с другими мерами

Связь сферической меры с мерой Хаусдорфа на сфере и мерой Лебега на окружающем пространстве уже обсуждалась.

Сферическая мера имеет хорошее отношение к мере Хаара на ортогональной группе. Пусть O (n) обозначает ортогональную группу , действующую на R, и пусть θ обозначает ее нормализованную меру Хаара (так что θ (O (n)) = 1). Ортогональная группа также действует на сфере S . Тогда для любого x ∈ S и любого A ⊆ S,

θ n ({g ∈ O (n) ∣ g (x) ∈ A}) = σ n - 1 (A). {\ displaystyle \ theta ^ {n} (\ {g \ in \ mathrm {O} (n) \ mid g (x) \ in A \}) = \ sigma ^ {n-1} (A).}

\ theta ^ {{n}} (\ {g \ in {\ mathrm {O}} (n) \ mid g (x) \ in A \}) = \ sigma ^ {{n- 1}} (A).

В случае, когда S является топологической группой (то есть, когда n равно 0, 1 или 3), сферическая мера σ совпадает с (нормализованной) мерой Хаара на S.

Изопериметрическое неравенство

Существует изопериметрическое неравенство для сферы с ее обычной метрической и сферической мерой (см. Ledoux Talagrand, глава 1):

Если A ⊆ S - любое борелевское множество, а B⊆ S - ρ n -шар с той же σ-мерой, что и A, тогда для любого r>0

σ N (A r) ≥ σ N (B r), {\ displaystyle \ sigma ^ {n} (A_ {r}) \ geq \ sigma ^ {n} (B_ {r}),}

\ sigma ^ {{n}} (A _ {{r}}) \ geq \ sigma ^ {{n}} (B _ {{r}}),

где A r обозначает «раздувание» A через r, то есть

A r: = {x ∈ S n ∣ ρ n (x, A) ≤ r}. {\ displaystyle A_ {r}: = \ {x \ in \ mathbf {S} ^ {n} \ mid \ rho _ {n} (x, A) \ leq r \}.}

A _ {{r}}: = \ {x \ in {\ mathbf {S}} ^ {{n}} \ mid \ rho _ {{n}} (x, A) \ leq r \}.

В частности, если σ (A) ≥ ½ и n ≥ 2, то

σ n (A r) ≥ 1 - π 8 exp ⁡ (- (n - 1) r 2 2). {\ displaystyle \ sigma ^ {n} (A_ {r}) \ geq 1 - {\ sqrt {\ frac {\ pi} {8}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(n-1) r ^ {2}} {2}} \ right).}

\ sigma ^ {{n}} (A _ {{r}}) \ geq 1 - {\ sqrt {{\ frac {\ pi} {8}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(n-1) r ^ {{2}}} {2}} \ right).

Ссылки

Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Mathematica Scandinavica. 26 : 103–106. ISSN 0025-5521.MR 0260979
Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9.MR 1102015 (См. Главу 1)
Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость. Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 343. ISBN 0-521-46576-1.MR 1333890 (см. Главу 3)