В теории чисел число Серпинского является нечетным натуральное число k такое, что равно составному для все натуральные числа n. В 1960 г. Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечетных целых k, обладающих этим свойством.
Другими словами, когда k является числом Серпинского, все члены следующего набора являются составными:
Если вместо этого используется форма , тогда k - это число Риселя.
Последовательность известных в настоящее время чисел Серпинского начинается с:
Число Число Серпинского 78557 было доказано Джоном Селфриджем в 1962 году, который показал, что все числа в форме 78557⋅2 + 1 имеют множитель. в комплекте покрытия {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Для другого известного числа Серпинского, 271129, набор покрытий равен {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают похожими покрывающими множествами.
Однако в 1995 году А.С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть доказаны как числа Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений n. Его доказательство основано на аврифейловой факторизации t⋅2 + 1 = (t⋅2 + t⋅2 + 1) ⋅ (t⋅2 - t⋅2 + 1). Это устанавливает, что все n 2 (mod 4) порождают композицию, и поэтому остается исключить только n 0, 1, 3 (mod 4) с помощью покрывающего множества.
Нерешенная проблема в математике :. Является ли 78,557 наименьшим числом Серпинского? (больше нерешенных задач в математике) |
В задаче Серпинского требуется значение наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Полом Эрдёшем Селфридж предположил, что 78 557 было наименьшим числом Серпинского. Не было обнаружено меньших чисел Серпинского, и теперь считается, что 78 557 - это наименьшее число.
Чтобы показать, что 78 557 действительно наименьшее число Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа меньше 78 557 не являются Числа Серпинского. То есть для каждого нечетного k меньше 78,557 должно существовать положительное целое число n такое, что k2 + 1 простое число. По состоянию на ноябрь 2018 года осталось только пять кандидатов, которые не были исключены из числа возможных чисел Серпинского:
Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается исключить все оставшиеся значения k. По состоянию на февраль 2020 года для этих значений k не было найдено простых чисел, при этом все были исключены.
Последний исключенный кандидат был k = 10223, когда было обнаружено простое число от PrimeGrid в октябре 2016 г. Это число состоит из 9 383 761 цифры.
Нерешенная задача в математике :. Является ли 271,129 наименьшим простым числом Серпинского? ( больше нерешенных задач в математике) |
В 1976 году Натан Мендельсон определил, что второе доказуемое число Серпинского является простым k = 271129. В простой задаче Серпинского запрашивается значение наименьшего простого числа Серпинского, и продолжается «поиск Prime Sierpiński», который пытается доказать, что 271129 - это первое число Серпинского, которое также является простым. По состоянию на ноябрь 2018 года девять простых значений k меньше 271129, для которых простое число формы k2 + 1 неизвестно:
По состоянию на ноябрь 2019 года для этих значений k не было найдено простых чисел с .
Первые два, меньше 78557, также являются нерешенными случаями (непростой) проблемы Серпинского, описанной выше. Последний исключенный кандидат был k = 168451, когда PrimeGrid обнаружила простое число в сентябре 2017 года.. Число состоит из 5 832 522 цифры.
Нерешенная задача в математике :. Является ли 271,129 вторым числом Серпинского? (больше нерешенных задач в математике) |
Предположим, что обе предыдущие задачи Серпинского были окончательно решены, что показало, что 78557 - наименьшее число Серпинского, а 271129 - наименьшее простое число Серпинского. Остается нерешенным вопрос о втором числе Серпинского; могло существовать составное число Серпинского k такое, что
Решение расширенной проблемы Серпинского, наиболее сложной из трех поставленных задач, требует исключения 23 оставшихся кандидатов , из которых девять простых (см. Выше) и четырнадцать составных. Последние включают k = 21181, 24737, 55459 из исходной проблемы Серпинского, уникальной для расширенной проблемы Серпинского. По состоянию на декабрь 2019 года остаются следующие девять значений k:
По состоянию на сентябрь 2019 года простое число не найдено для этих значений k с .
В апреле 2018 года было обнаружено PrimeGrid как простое, что исключает k = 193997. Число состоит из 3 447 670 цифр.
Последнее исключение было в декабре 2019 г., когда было обнаружено PrimeGrid как простое, что исключает k = 99739. Число состоит из 4 220 176 цифр.
Число может быть одновременно Серпиньским и Ризелем. Это числа Бриера. Наименьшие пять известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949,... (A076335 ).
Для нечетных значений k наименьшее n таких что 2 + k является простым числом
Нечетные значения k, для которых 2 + k является составным для всех n < k are