Анализ матрицы передачи лучей

редактировать

Метод трассировки лучей

Анализ матрицы передачи лучей (также известный как Анализ матрицы ABCD ) представляет собой математическую форму для выполнения вычислений трассировки лучей в достаточно простых задачах, которые могут быть решены с учетом только параксиальных лучей. Каждый оптический элемент (поверхность, интерфейс, зеркало или путь луча) описывается матрицей передачи лучей 2 × 2, которая работает с вектором , описывающим входящий световой луч для расчета исходящего луча. Таким образом, умножение последовательных матриц дает краткую матрицу переноса лучей, описывающую всю оптическую систему. Та же математика также используется в физике ускорителей для отслеживания частиц через магнитные установки ускорителя частиц, см. электронная оптика.

. Этот метод, как описано ниже, является полученное с использованием параксиального приближения , которое требует, чтобы все направления лучей (направления, нормальные к фронтам волн) находились под малыми углами θ относительно оптической оси системы, так что приближение $грех ⁡ θ ≈ θ {\ displaystyle \ sin \ theta \ приблизительно \ theta}$ $\ sin \ theta \ приблизительно \ theta$ остается в силе. Небольшой θ дополнительно означает, что поперечная протяженность пучков лучей (x и y) мала по сравнению с длиной оптической системы (таким образом, «параксиальной»). Поскольку приличная система визуализации, в которой это не относится ко всем лучам, должна по-прежнему правильно фокусировать параксиальные лучи, этот матричный метод будет правильно описывать положения фокальных плоскостей и увеличения, однако аберрации по-прежнему необходимо оценивать с использованием полные методы трассировки лучей.

Содержание

1 Определение матрицы передачи лучей
2 Некоторые примеры
3 Таблица матриц передачи лучей
4 Устойчивость резонатора
5 Матрицы передачи лучей для гауссовых лучей
- 5.1 Пример: свободное пространство
- 5.2 Пример: тонкая линза
6 Матрицы более высокого ранга
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Определение матрицы переноса луча

При анализе матрицы переноса луча (ABCD) оптический элемент (здесь толстая линза) дает преобразование между

(x 1, θ 1) {\ displaystyle (x_ {1}, \ theta _ {1})}

{\ displaystyle (x_ {1}, \ theta _ {1})}

на плоскости ввода и

(x 2, θ 2) {\ displaystyle (x_ {2}, \ theta _ {2 })}

{\ displaystyle (x_ {2}, \ theta _ {2})}

когда луч приходит на выход p lane.

Метод трассировки лучей основан на двух опорных плоскостях, называемых входной и выходной плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оптической оси системы. В любой точке оптического поезда определяется оптическая ось, соответствующая центральному лучу; этот центральный луч распространяется, чтобы определить оптическую ось дальше в оптической цепочке, которая не обязательно должна быть в том же физическом направлении (например, при изгибе призмой или зеркалом). Поперечные направления x и y (ниже мы рассматриваем только направление x) затем определяются как ортогональные к приложенным оптическим осям. Световой луч входит в компонент, пересекающий его входную плоскость на расстоянии x 1 от оптической оси, перемещаясь в направлении, которое составляет угол θ 1 с оптической осью. После распространения на выходную плоскость этот луч находится на расстоянии x 2 от оптической оси и под углом θ 2 по отношению к ней. n 1 и n 2 - это показатели преломления носителя во входной и выходной плоскости соответственно.

Матрица ABCD, представляющая компонент или систему, связывает выходной луч со входом в соответствии с

(x 2 θ 2) = (ABCD) (x 1 θ 1), {\ displaystyle {x_ {2 } \ choose \ theta _ {2}} = {\ begin {pmatrix} AB \\ CD \ end {pmatrix}} {x_ {1} \ choose \ theta _ {1}},}

{x_2 \ choose \ theta_2} = \ begin {pmatrix} A B \\ C D \ end {pmatrix} {x_1 \ choose \ theta_1},

где значения таким образом, четыре матричных элемента равны

A = x 2 x 1 | θ 1 = 0 B = x 2 θ 1 | Икс 1 = 0, {\ Displaystyle A = {x_ {2} \ over x_ {1}} {\ bigg |} _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad B = {x_ {2} \ over \ theta _ {1}} {\ bigg |} _ {x_ {1} = 0},}

A = {x_2 \ over x_1} \ bigg | _ {\ theta_1 = 0} \ qquad B = {x_2 \ over \ theta_1} \ bigg | _ {x_1 = 0 },

C = θ 2 x 1 | θ 1 = 0 D = θ 2 θ 1 | х 1 = 0. {\ displaystyle C = {\ theta _ {2} \ over x_ {1}} {\ bigg |} _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad D = {\ theta _ {2} \ over \ theta _ {1}} {\ bigg |} _ {x_ {1} = 0}.}

C = {\ theta_2 \ over x_1} \ bigg | _ {\ theta_1 = 0} \ qquad D = {\ theta_2 \ over \ theta_1} \ bigg | _ {x_1 = 0}.

Это связывает векторы лучей на входной и выходной плоскостях с помощью матрицы передачи лучей (RTM) M, который представляет оптический компонент или систему, находящуюся между двумя опорными плоскостями. Аргумент термодинамики, основанный на излучении черного тела, может использоваться, чтобы показать, что детерминант RTM представляет собой отношение показателей преломления:

det (M) = AD - BC = n 1 n 2. {\ displaystyle \ det (\ mathbf {M}) = AD-BC = {n_ {1} \ over n_ {2}}.}

\ det (\ mathbf {M}) = AD - BC = {n_1 \ over n_2}.

В результате, если плоскости ввода и вывода расположены в одной среде, или в двух разных средах, которые имеют одинаковые показатели преломления, тогда определитель M просто равен 1.

Можно использовать другое соглашение для векторов лучей. Вместо использования θ≈sin θ, вторым элементом лучевого вектора является n sin θ, который пропорционален не углу луча как таковому, а поперечной составляющей волнового вектора . Это изменяет матрицы ABCD, приведенные в таблице ниже, где присутствует рефракция на границе раздела.

Использование передаточных матриц таким образом аналогично матрицам 2 × 2, описывающим электронные двухпортовые сети, в частности различные так называемые матрицы ABCD, которые можно аналогичным образом умножать для решения каскадных систем..

Некоторые примеры

Например, если между двумя плоскостями есть свободное пространство, матрица передачи лучей определяется следующим образом:

S = (1 d 0 1) {\ displaystyle \ mathbf {S } = {\ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}

\ mathbf {S} = \ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}

где d - расстояние разделения (измеренное по оптической оси) между двумя опорными плоскостями. Таким образом, уравнение переноса луча принимает следующий вид:

(x 2 θ 2) = S (x 1 θ 1) {\ displaystyle {x_ {2} \ choose \ theta _ {2}} = \ mathbf {S} {x_ { 1} \ choose \ theta _ {1}}}

{x_2 \ choose \ theta_2} = \ mathbf {S} {x_1 \ choose \ theta_1}

, и это связывает параметры двух лучей следующим образом:

x 2 = x 1 + d θ 1 θ 2 = θ 1 {\ displaystyle {\ begin { matrix} x_ {2} = x_ {1} + d \ theta _ {1} \\\ theta _ {2} = \ theta _ {1} \ end {matrix}}}

\ begin {matrix} x_2 = x_1 + d \ theta_1 \\ \ theta_2 = \ theta_1 \ end {matrix}

Другой простой пример это линза тонкой линзы. Его RTM задается следующим образом:

L = (1 0 - 1 f 1) {\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac {-1} {f}} 1 \ end {pmatrix}}}

\ mathbf {L} = \ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {-1} {f} 1 \ end {pmatrix}

где f - фокусное расстояние объектива. Для описания комбинаций оптических компонентов матрицы переноса лучей могут быть перемножены, чтобы получить полную RTM для составной оптической системы. Для примера свободного пространства длиной d, за которым следует линза с фокусным расстоянием f:

LS = (1 0 - 1 f 1) (1 d 0 1) = (1 d - 1 f 1 - df) {\ displaystyle \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac {-1} {f}} 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 d \\ {\ frac {-1} {f}} 1 - {\ frac {d} {f}} \ end {pmatrix}}}

\ mathbf {L} \ mathbf {S} = \ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {-1} {f } 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 d \\ \ frac {-1} {f} 1- \ frac {d} {f} \ end {pmatrix}

Обратите внимание, что, поскольку умножение матриц не является коммутативным, это не то же самое RTM, что и для линзы, за которой следует свободное пространство:

SL = (1 d 0 1) (1 0 - 1 f 1) = (1 - dfd - 1 е 1) {\ displaystyle \ mathbf {SL} = {\ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac { -1} {f}} 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {d} {f}} d \\ {\ frac {-1} {f}} 1 \ end {pmatrix}}}

\ mathbf { SL} = \ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {-1} {f} 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1- \ frac {d} {f} d \\ \ frac {-1} {f} 1 \ end {pmatrix}

Таким образом, матрицы должны быть упорядочены соответствующим образом, причем последняя матрица умножает вторую последнюю и так далее, пока первая матрица не будет предварительно умножена на вторую. Другие матрицы могут быть построены для представления интерфейсов со средами с разными показателями преломления, отражением от зеркал и т. Д.

Таблица матриц переноса луча

для простых оптических компоненты

Элемент	Матрица	Примечания
Распространение в свободном пространстве или в среде с постоянным показателем преломления	$(1 d 0 1) {\ displaystyle {\ begin { pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {pmatrix}$	d = distance.
Refraction at a flat interface	$(1 0 0 n 1 n 2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \ \ 0 {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 \ frac {n_1} {n_2} \ end {pmatrix}$	n1= начальный показатель преломления. n2= конечный показатель преломления.
Преломление на изогнутой поверхности раздела	$(1 0 n 1 - n 2 R ⋅ n 2 n 1 n 2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {R \ cdot n_ {2}}} {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {n_1-n_2} {R \ cdot n_2} \ frac {n_1} {n_2} \ end {pmatrix}$	R = радиус кривизны, R>0 для выпуклых (центр кривизны после границы раздела). n1= начальный показатель преломления. n2= конечный показатель преломления.
Отражение от плоского зеркала	$(1 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}$	Действительно только для неподвижных зеркал, перпендикулярных оптической оси.
Отражение от изогнутого зеркала	$(1 0 - 2 R e 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ - {\ frac {2} {R_ {e}}} 1 \ end { pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ - {\ frac {2} {R_ {e}}} 1 \ end {pmatrix}}}$	$R e = R cos ⁡ θ {\ displaystyle R_ {e} = R \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle R_ {e} = R \ cos \ theta}$ эффективный радиус кривизны в тангенциальной плоскости (горизонтальное направление). $R e = R / cos ⁡ θ {\ displaystyle R_ {e} = R / \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle R_ {e} = R / \ cos \ theta}$ эффективный радиус кривизны в сагиттальной плоскости (вертикальное направление). R = радиус кривизны, R>0 для вогнутого, действительного в параксиальном приближении. $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ - угол падения зеркала в горизонтальной плоскости.
Тонкая линза	$(1 0–1 f 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ - {\ frac {1} {f}} 1 \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 0 \\ - \ frac { 1} {f} 1 \ end {pmatrix}$	f = фокусное расстояние линзы, где f>0 для выпуклой / положительной (собирающей) линзы. Действительно, только если фокусное расстояние намного больше толщины объектива.
Толстая линза	$(1 0 n 2 - n 1 R 2 n 1 n 2 n 1) (1 t 0 1) (1 0 n 1 - n 2 R 1 n 2 n 1 n 2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac {n_ {2} -n_ {1}} {R_ {2} n_ {1}}} {\ frac {n_ {2}} {n_ {1} }} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 t \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {R_ { 1} n_ {2}}} {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {n_2-n_1} {R_2n_1} \ frac {n_2} {n_1} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 t \\ 0 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 0 \\ \ frac {n_1-n_2} {R_1n_2} \ frac {n_1} {n_2} \ end {pmatrix}$	n1= показатель преломления вне линзы.. n2= показатель преломления самой линзы (внутри линзы).. R1= Радиус кривизны Первой поверхности.. R2= радиус кривизны второй поверхности.. t = центральная толщина линзы.
Одинарная призма	$(kdnk 0 1 k) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k {\ frac {d} {nk}} \\ 0 {\ frac {1} {k}} \ end { pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix } k \ frac {d} {nk} \\ 0 \ frac {1} {k} \ end {pmatrix}$	k = (cos $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ / cos $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ) является коэффициент расширения луча, где $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - угол падения, $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ - угол преломления, d = длина пути призмы, n = показатель преломления материала призмы. Эта матрица применяется для ортогонального выхода луча.
Расширитель луча с несколькими призмами с использованием r призм	$(MB 0 1 M) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} MB \\ 0 {\ frac {1} {M}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} MB \\ 0 {\ frac {1} {M}} \ конец {pmatrix}}}$	M - полное увеличение луча, определяемое как $M = k 1 k 2 k 3... kr {\ displaystyle M = k_ {1} k_ {2} k_ {3}... k_ {r}}$ ${\ displaystyle M = k_ {1} k_ {2} k_ {3}... k_ {r }}$ , где k определено в предыдущей записи, а B - полное оптическое расстояние распространения

Стабильность резонатора

RTM-анализ особенно полезен при моделировании поведения света в оптических резонаторах, например, используемых в лазерах. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух идентичных обращенных друг к другу зеркал с коэффициентом отражения 100% и радиусом кривизны R, разделенных некоторым расстоянием d. Для целей трассировки лучей это эквивалентно серии идентичных тонких линз с фокусным расстоянием f = R / 2, каждая из которых отделена от следующей длиной d. Эта конструкция известна как канал, эквивалентный линзе, или эквивалент линзы волновод. RTM каждой секции волновода, как указано выше, имеет вид

M = LS = (1 d - 1 f 1 - df) {\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {pmatrix} 1 d \\ {\ frac {-1} {f}} 1 - {\ frac {d} {f}} \ end {pmatrix}}}

\ mathbf {M} = \ mathbf {L} \ mathbf {S} = \ begin {pmatrix} 1 d \\ \ frac {-1} {f} 1- \ frac {d} {f} \ end {pmatrix}

Теперь можно использовать анализ RTM для определения устойчивость волновода (и, что то же самое, резонатора). То есть можно определить, при каких условиях свет, проходящий по волноводу, будет периодически перефокусироваться и оставаться в волноводе. Для этого мы можем найти все «собственные лучи» системы: вектор входного луча в каждом из упомянутых участков волновода, умноженный на действительный или комплексный множитель λ, равен выходному. Это дает:

M (x 1 θ 1) = (x 2 θ 2) = λ (x 1 θ 1) {\ displaystyle \ mathbf {M} {x_ {1} \ choose \ theta _ {1}} = {x_ {2} \ choose \ theta _ {2}} = \ lambda {x_ {1} \ choose \ theta _ {1}}}

\ mathbf {M} {x_1 \ choose \ theta_1} = {x_2 \ choose \ theta_2} = \ lambda {x_1 \ choose \ theta_1}

, которое является уравнением для собственного значения :

[M - λ I] (Икс 1 θ 1) = 0 {\ Displaystyle \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] {x_ {1} \ choose \ theta _ {1} } = 0}

\ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] {x_1 \ choose \ theta_1} = 0

где I - это единичная матрица 2x2 .

Переходим к вычислению собственных значений передаточной матрицы:

det ⁡ [M - λ I] = 0 {\ displaystyle \ operatorname {det} \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] = 0}

\ operatorname {det} \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] = 0

, что приводит к характеристическому уравнению

λ 2 - tr ⁡ ( M) λ + det ⁡ (M) знак равно 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} - \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) \ lambda + \ operatorname {det} (\ mathbf {M}) = 0 }

\ lambda ^ 2 - \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) \ lambda + \ operatorname {det} (\ mathbf {M}) = 0

где

тр ⁡ (M) = A + D = 2 - df {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) = A + D = 2- {d \ over f}}

\ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) = A + D = 2 - {d \ over f}

- это след RTM, а

det ⁡ (M) = AD - BC = 1 {\ displaystyle \ operatornam e {det} (\ mathbf {M}) = AD-BC = 1}

\ operatorname {det} (\ mathbf {M}) = AD - BC = 1

- это определитель RTM. После одной стандартной замены имеем:

λ 2 - 2 g λ + 1 = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} -2g \ lambda + 1 = 0}

\ lambda ^ 2 - 2g \ lambda + 1 = 0

, где

g = def tr ⁡ (M) 2 = 1 - d 2 f {\ displaystyle g \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) \ over 2} = 1- {d \ over 2f}}

g \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {\ operatorname {tr} ( \ mathbf {M}) \ over 2} = 1 - {d \ over 2 f}

- параметр устойчивости. Собственные значения являются решениями характеристического уравнения. Из квадратной формулы находим

λ ± = g ± ​​g 2-1 {\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm {\ sqrt {g ^ {2} -1} } \,}

\ lambda _ {\ pm} = g \ pm \ sqrt {g ^ 2 - 1} \,

Теперь рассмотрим луч после того, как N проходит через систему:

(x N θ N) = λ N (x 1 θ 1) {\ displaystyle {x_ {N} \ choose \ theta _ {N}} = \ lambda ^ {N} {x_ {1} \ choose \ theta _ {1}}}

{x_N \ choose \ theta_N} = \ lambda ^ N {x_1 \ choose \ theta_1}

Если волновод устойчив, ни один луч не должен отклоняться произвольно далеко от главной оси, то есть λ не должен расти без ограничений. Предположим, что $g 2>1 {\ displaystyle g ^ {2}>1}$ $g^2>1$ . Тогда оба собственных значения действительны. Поскольку $λ + λ - = 1 {\ displaystyle \ lambda _ {+} \ lambda _ {-} = 1}$ $\ lambda_ + \ lambda_- = 1$ , один из них должен быть больше 1 (по модулю), что означает, что луч, соответствующий этому собственному вектору, не будет сходиться. Следовательно, в устойчивом волноводе $g 2 {\ displaystyle g ^ {2}}$ $g ^ 2$ ≤ 1, а собственные значения могут быть представлены комплексными числами:

λ ± = g ± ​​i 1 - g 2 = cos ⁡ (ϕ) ± i sin ⁡ (ϕ) знак равно е ± я ϕ {\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm i {\ sqrt {1-g ^ {2}}} = \ cos (\ phi) \ pm i \ sin ( \ phi) = e ^ {\ pm i \ phi}}

\ lambda _ {\ pm} = g \ pm i \ sqrt {1 - g ^ 2} = \ cos (\ phi) \ pm i \ sin (\ phi) = е ^ {\ pm i \ phi}

с заменой g = cos (ϕ).

Для $g 2 < 1 {\displaystyle g^{2}<1}$ $g ^ 2 <1$ пусть $r + {\ displaystyle r _ {+}}$ $r_ +$ и $r - {\ displaystyle r _ {-}}$ $r_-$ - собственные векторы относительно собственных значений $λ + {\ displaystyle \ lambd a _ {+}}$ $\ lambda_ +$ и $λ - {\ displaystyle \ lambda _ {-}}$ $\ lambda_-$ соответственно, которые охватывают все векторное пространство, потому что они ортогональны, последнее из-за на $λ + {\ displaystyle \ lambda _ {+}}$ $\lambda_+$ ≠ $λ - {\ displaystyle \ lambda _ {-}}$ $\ lambda_-$ . Таким образом, входной вектор можно записать как

c + r + + c - r - {\ displaystyle c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}}

c_ + r_ + + c_- r_-

для некоторых констант $c + {\ displaystyle c _ {+}}$ $c_ +$ и $c - {\ displaystyle c _ {-}}$ $c_-$ .

После N секторов волновода на выходе будет

MN (c + r + + c - r -) знак равно λ + N c + r + + λ - N c - r - = ei N ϕ c + r + + e - i N ϕ c - r - {\ displaystyle \ mathbf {M} ^ { N} (c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}) = \ lambda _ {+} ^ {N} c _ {+} r _ {+} + \ lambda _ {-} ^ {N } c _ {-} r _ {-} = e ^ {iN \ phi} c _ {+} r _ {+} + e ^ {- iN \ phi} c _ {-} r _ {-}}

\ mathbf {M} ^ N (c_ + r_ + + c_- r_-) = \ lambda _ + ^ N c_ + r_ + + \ lambda _- ^ N c_- r_- = e ^ {i N \ phi} c_ + r_ + + e ^ {- i N \ phi} c_- r_-

который представляет периодический функция.

Матрицы переноса лучей для гауссовых лучей

Те же самые матрицы могут также использоваться для вычисления эволюции гауссовых лучей. распространение через оптические компоненты, описываемые теми же матрицами передачи. Если у нас есть гауссов пучок с длиной волны $λ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ , радиус кривизны R (положительный для расходящегося, отрицательный для сходящегося), размер пятна луча w и показатель преломления индекс n, можно определить комплексный параметр луча q следующим образом:

1 q = 1 R - i λ 0 π nw 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {R}} - {\ frac {i \ lambda _ {0}} {\ pi nw ^ {2}}}}

\ frac {1} {q} = \ frac {1} {R} - \ frac {i \ lambda_0} {\ pi nw ^ 2}

(R, w и q являются функциями положения.) Если ось луча находится в направлении z, с поясом в $z 0 {\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ и диапазон Рэлея $z R {\ displaystyle z_ {R}}$ $z_ {R}$ , это может быть эквивалентно записано как

q = (z - z 0) + iz R {\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}

{\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}

Этот луч может распространяться через оптическую систему с заданной матрицей переноса лучей с помощью уравнения:

(q 2 1) = k (ABCD) (q 1 1) {\ displaystyle {q_ {2} \ choose 1} = k {\ begin {pmatrix} AB \\ CD \ end {pmatrix}} {q_ {1} \ choose 1}}

{q_2 \ choose 1} = k \ begin {pmatrix} A B \\ C D \ end {pmatrix} {q_1 \ choose 1}

где k - константа нормализации, выбранная для сохранения второй компонент лучевого вектора равен 1. Используя матричное умножение, это уравнение расширяется как

q 2 = k (A q 1 + B) {\ displaystyle q_ {2} = k (Aq_ { 1} + B) \,}

q_2 = k (Aq_1 + B) \,

1 = k (C q 1 + D) {\ displaystyle 1 = k (Cq_ {1} + D) \,}

1 = k (Cq_1 + D) \,

Деление первого уравнения на второй исключает константу нормализации:

q 2 = A q 1 + BC q 1 + D {\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} }

q_2 = \ frac {Aq_1 + B} {Cq_1 + D}

Часто бывает удобно выразить это последнее уравнение в обратной форме:

1 q 2 = C + D / q 1 A + B / q 1. {\ displaystyle {1 \ over q_ {2}} = {C + D / q_ {1} \ over A + B / q_ {1}}.}

{1 \ over q_2} = {C + D / q_1 \ over A + B / q_1}.

Пример: свободное пространство

Рассмотрим луч проходит расстояние d через свободное пространство, матрица передачи луча имеет вид

[ABCD] = [1 d 0 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} AB \\ CD \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} AB \\ CD \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}

и поэтому

q 2 = A q 1 + BC q 1 + D = q 1 + d 1 = q 1 + d {\ displaystyle q_ { 2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1} + d} {1}} = q_ {1} + d}

q_2 = \ frac {Aq_1 + B} {Cq_1 + D} = \ frac {q_1 + d} {1} = q_1 + d

в соответствии с приведенным выше выражением для распространения обычного гауссова луча, т.е. $q = (z - z 0) + iz R {\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}$ ${\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}$ . По мере распространения луча изменяется и радиус, и перетяжка.

Пример: тонкая линза

Рассмотрим луч, проходящий через тонкую линзу с фокусным расстоянием f. Матрица передачи лучей:

[ABCD] = [1 0 - 1 / f 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} AB \\ CD \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ -1 / f 1 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} AB \\ CD \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 0 \\ - 1 / f 1 \ end {bmatrix}

и поэтому

q 2 = A q 1 + BC q 1 + D = q 1 - q 1 f + 1 {\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1}} {- {\ frac {q_ {1}} {f}} + 1}}}

q_2 = \ frac {Aq_1 + B} {Cq_1 + D} = \ frac {q_1} {- \ frac {q_1} {f} +1}

1 q 2 = - q 1 f + 1 q 1 = 1 q 1 - 1 f {\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {2}}} = {\ frac {- {\ frac {q_ {1}) } {f}} + 1} {q_ {1}}} = {\ frac {1} {q_ {1}}} - {\ frac {1} {f}}}

\ frac {1} {q_2} = \ frac {- \ frac {q_1} {f} +1} {q_1 } = \ frac {1} {q_1} - \ frac {1} {f}

Только действительная часть 1 На / q влияет: кривизна волнового фронта 1 / R уменьшается на мощность линзы 1 / f, в то время как поперечный размер луча w остается неизменным после выхода из тонкой линзы.

Матрицы более высокого ранга

Методы, использующие матрицы передачи более высокой размерности, то есть 3x3, 4X4 и 6X6, также используются в оптическом анализе. В частности, при проектировании используются матрицы распространения 4x4. анализ последовательностей призм для сжатия импульсов в фемтосекундных лазерах.

См. также

Литература

Дополнительная литература

и Малвин Карл Тейч (1991). Основы фотоники. Нью-Йорк: John Wiley Sons. Раздел 1.4, стр. 26 - 36.

Внешние ссылки

Толстые линзы (матричные методы)
Учебное пособие по матрицам ABCD Предоставляет пример для системная матрица всей системы.
ABCD Calculator Интерактивный калькулятор, помогающий решать матрицы ABCD.
Simple Optical Designer (приложение для Android) Приложение для исследования оптических систем с использованием метода матрицы ABCD.