Теория пилотной волны

Эксперименты Кудера, «материализующие» модель пилотной волны.

В теоретической физике теория пилотной волны, также известная как бомовская механика, была первым известным примером теории скрытых переменных, представленной Луи де Бройль в 1927 году. Более современная версия, теория де Бройля – Бома, интерпретирует квантовую механику как детерминированную теорию, избегая проблемных понятий, таких как волна –Частичный дуализм, мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шредингера. Для решения этих проблем теория по своей сути нелокальна.

Теория пилотной волны де Бройля – Бома является одной из нескольких интерпретаций (нерелятивистской) квантовой механики. Расширение релятивистского случая разрабатывается с 1990-х годов.

• 1 История
• 2 Теория пилотных волн
  • 2.1 Принципы
• 3 Математические основы
  • 3.1 Вывод уравнения Шредингера
  • 3.2 Математическая формулировка для одной частицы
  • 3.3 Математическая формулировка для нескольких частиц
  • 3.4 Пустая волновая функция
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Ранние результаты де Бройля по теории пилотных волн были представлены в его диссертации (1924) в контексте атомных орбиталей, где волны стационарны. Ранние попытки разработать общую формулировку динамики этих направляющих волн в терминах релятивистского волнового уравнения были безуспешными до тех пор, пока в 1926 году Шредингер не разработал свое нерелятивистское волновое уравнение и далее не предложил что, поскольку уравнение описывает волны в конфигурационном пространстве, от картины частиц следует отказаться. Вскоре после этого Макс Борн предположил, что волновая функция волнового уравнения Шредингера представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы. Следуя этим результатам, де Бройль разработал динамические уравнения для своей теории пилотных волн. Первоначально де Бройль предложил подход двойного решения, в котором квантовый объект состоит из физической волны (u-волны) в реальном пространстве, которая имеет сферическую сингулярную область, которая вызывает поведение, подобное частице; в этой первоначальной форме своей теории ему не нужно было постулировать существование квантовой частицы. Позже он сформулировал это как теорию, в которой частица сопровождается пилотной волной.

Де Бройль представил теорию пилотных волн на конференции Сольвея в 1927 г.. Однако Вольфганг Паули возразил против него на конференции, заявив, что он не рассматривает должным образом случай неупругого рассеяния. Де Бройль не смог найти ответа на это возражение и отказался от подхода экспериментальной волны. В отличие от Дэвида Бома годы спустя, де Бройль не завершил свою теорию, чтобы охватить случай многих частиц. Случай многих частиц математически показывает, что диссипация энергии при неупругом рассеянии может быть распределена по структуре окружающего поля с помощью еще неизвестного механизма теории скрытых переменных.

В 1932 году Джон фон Нейман опубликовал книгу, часть которой утверждала, что доказывает невозможность всех теорий скрытых переменных. Три года спустя Грета Херманн обнаружила, что этот результат ошибочен, хотя это оставалось незамеченным физическим сообществом более пятидесяти лет.

В 1952 году Дэвид Бом, недовольный господствующей ортодоксией, заново открыл теорию пилотной волны де Бройля. Бом развил теорию пилотных волн в то, что сейчас называется теорией де Бройля-Бома. Сама теория де Бройля – Бома могла бы остаться незамеченной для большинства физиков, если бы ее не отстаивал Джон Белл, который также возражал против ее возражений. В 1987 году Джон Белл заново открыл работу Греты Херманн и, таким образом, показал физическому сообществу, что возражения Паули и фон Неймана «всего лишь» показали, что теория пилотных волн не имеет локальности.

. В 2010 году Ив Кудер и его сотрудники сообщили макроскопическая система пилотных волн в виде шагающих капель. Было сказано, что эта система демонстрирует поведение пилотной волны, которое до сих пор считалось предназначенным только для микроскопических явлений. Однако более тщательные эксперименты по гидродинамике проводились с 2015 года двумя американскими группами и одной датской группой под руководством Томаса Бора (внука Нильса Бора ). Эти новые эксперименты не воспроизводили результаты эксперимента 2010 года по состоянию на 2018 год.

Принципы

(a) A шагоход в круговой загон. Траектории увеличивающейся длины обозначаются цветом в соответствии с локальной скоростью капли. (B) Распределение вероятностей положения пешехода примерно соответствует амплитуде волны Фарадея в загоне.

Теория пилотной волны - это скрытая- теория переменных. Следовательно:

• теория обладает реализмом (что означает, что ее концепции существуют независимо от наблюдателя);
• теория имеет детерминизм.

Положения частиц считаются скрытыми переменными. Наблюдатель не только не знает точного значения этих переменных рассматриваемой квантовой системы, но и не может знать их точно, потому что любое измерение нарушает их. С другой стороны, человек (наблюдатель) определяется не волновой функцией своих атомов, а их положением. Итак, то, что человек видит вокруг себя, также является положением соседних предметов, а не их волновыми функциями.

С совокупностью частиц связана волна материи, которая развивается в соответствии с уравнением Шредингера. Каждая частица следует детерминированной траектории, которая определяется волновой функцией; в совокупности плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не зависит от частицы и может существовать также как пустая волновая функция.

Теория выявляет нелокальность, которая подразумевается в нерелятивистской формулировке квантовой механики и использует это удовлетворяет теореме Белла. Можно показать, что эти нелокальные эффекты совместимы с теоремой об отсутствии связи, которая запрещает их использование для связи со скоростью, превышающей скорость света, и поэтому эмпирически совместима с теоремой относительности.

Чтобы получить пилотную волну де Бройля – Бома для электрона, квантовый лагранжиан

$L\; (t)\; =\; 1\; 2\; mv\; 2\; -\; (V\; +\; Q),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; mv\; ^\; \{2\}\; -\; (V\; +\; Q),\}$

где $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- потенциальная энергия, $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$- скорость, а $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$- потенциал, связанный с квантовой силой (частица, которую толкает волновая функция), интегрируется точно по одному пути (по которому в действительности следует электрон). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома :

$KQ\; (X\; 1,\; t\; 1;\; X\; 0,\; t\; 0)\; =\; 1\; J\; (t)\; 1\; 2\; exp\; \; [i\; \hslash \; \int \; t\; 0\; t\; 1\; L\; (\; т)\; дт].\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{Q\}\; (X\_\; \{1\},\; t\_\; \{1\};\; X\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{J\; (t)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{0\}\}\; ^\; \{t\_\; \{1\}\}\; L\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right].\}$

Этот пропагатор позволяет точно отслеживать электрон во времени под влиянием квантового потенциала $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$.

Вывод уравнения Шредингера

Теория пилотных волн основан на динамике Гамильтона – Якоби, а не на лагранжевой или гамильтоновой динамике. Используя уравнение Гамильтона – Якоби

$H\; (q,\; \partial \; S\; \partial \; q,\; t)\; +\; \partial \; S\; \partial \; t\; (q,\; t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\},\; t\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; t\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

можно получить Уравнение Шредингера :

Рассмотрим классическую частицу, положение которой достоверно неизвестно. Мы должны иметь дело с этим статистически, поэтому известна только плотность вероятности $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; t)\}$. Вероятность должна быть сохранена, то есть $\int \; \rho \; d\; 3\; x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; x\; =\; 1\}$для каждого $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \}$. Следовательно, он должен удовлетворять уравнению неразрывности

$\partial \; \rho \; /\; \partial \; t\; =\; -\; \nabla \; \cdot \; (\rho \; v)\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; rho\; /\; \backslash \; partial\; t\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; rho\; v)\; \backslash \; quad\; (1)\}$

где $v\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (x,\; t)\}$- скорость частицы.

В формулировке Гамильтона – Якоби классической механики скорость определяется как $v\; (x,\; t)\; =\; \nabla \; S\; (x,\; t)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; S\; (x,\; t)\}\; \{m\}\}\}$где $S\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (x,\; t)\}$является решением уравнения Гамильтона-Якоби

$-\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; (\nabla \; S)\; 2\; 2\; m\; +\; V\; ~\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; S\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; tilde\; \{V\}\}\; \backslash \; quad\; (2)\}$

$(1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; 1)\}$и $(2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (2)\}$можно объединить в одно комплексное уравнение, введя комплексную функцию $\psi \; =\; \rho \; ei\; S\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{iS\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\}$, то два уравнения эквивалентны

$i\; \hslash \; \partial \; \psi \; \partial \; T\; знак\; равно\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; +\; V\; ~\; -\; Q)\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tilde\; \{V\}\}\; -\; Q\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \backslash \; quad\}$с $Q\; =\; -\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; \rho \; \rho .\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\}.\; \}$

Зависящее от времени уравнение Шредингера получается, если мы начнем с $V\; ~\; =\; V\; +\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{V\}\}\; =\; V\; +\; Q\}$, обычного потенциала с дополнительный квантовый потенциал $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$. Квантовый потенциал - это потенциал квантовой силы, который пропорционален (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции.

Математическая формулировка для отдельной частицы

Материальная волна де Бройля описывается нестационарным уравнением Шредингера:

$i\; \hslash \; \partial \; \psi \; \partial \; t\; =\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; +\; V)\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \backslash \; quad\}$

Комплексная волновая функция может быть представлена ​​как:

$\psi \; =\; \rho \; exp\; \; (i\; S\; \hslash )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\; \}\}\; \backslash ;\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash ,\; S\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right)\}$

Подставляя это в уравнение Шредингера, можно вывести два новых уравнения для действительных переменных. Первый - это уравнение непрерывности для плотности вероятности $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$:

$\partial \; \rho \; /\; \partial \; t\; +\; \nabla \; \cdot \; (\rho \; v)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; rho\; /\; \backslash \; partial\; t\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; rho\; v)\; =\; 0\; \backslash \; ;,\}$

где поле скорости определяется уравнением управления

$v\; \to \; (r\; \to ,\; t)\; =\; \nabla \; S\; (r\; \to ,\; t)\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\},\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; S\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\},\; t)\}\; \{m\}\}\; \backslash \; ;.\}$

Согласно теории пилотной волны, точечная частица и волна материи являются как реальными, так и различными физическими сущностями (в отличие от стандартной квантовой механики, где частицы и волны считаются одними и теми же сущностями, связанными дуализмом волна-частица). Пилотная волна направляет движение точечных частиц, как описано в уравнении наведения.

Обычная квантовая механика и теория пилотных волн основаны на одном и том же уравнении в частных производных. Основное отличие состоит в том, что в обычной квантовой механике уравнение Шредингера связано с реальностью постулатом Борна, который утверждает, что плотность вероятности положения частицы определяется выражением $\rho \; =\; |\; \psi \; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; |\; \backslash \; psi\; |\; ^\; \{2\}\}$. Теория пилотных волн рассматривает уравнение наведения как фундаментальный закон, а правило Борна - как производную концепцию.

Второе уравнение представляет собой модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби для действия $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$:

$-\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; (\nabla \; S)\; 2\; 2\; m\; +\; V\; +\; Q,\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; S\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; V\; +\; Q\; \backslash \; ;,\}$

где Q - квантовый потенциал, определяемый

$Q\; =\; -\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; \rho \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\; \}\}\; \{2m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\}\}$

Пренебрегая Q, наше уравнение сводится к уравнению Гамильтона– Уравнение Якоби классической точечной частицы. (Строго говоря, это только полуклассический предел, потому что принцип суперпозиции все еще сохраняется, и чтобы избавиться от него, нужен механизм декогеренции. Взаимодействие с окружающей средой может обеспечить этот механизм.) Итак, квантовый потенциал отвечает за все загадочные эффекты квантовой механики.

Можно также комбинировать модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби с уравнением управления для вывода квазиньютоновского уравнения движения

$mddtv\; \to \; =\; -\; \nabla \; (V\; +\; Q),\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; (V\; +\; Q)\; \backslash \; ;,\}$

где гидродинамическая производная по времени определяется как

$ddt\; =\; \partial \; \partial \; t\; +\; v\; \to \; \cdot \; \nabla .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; ;.\}$

Математическая формулировка нескольких частицы

Уравнение Шредингера для волновой функции многих тел $\psi \; (r\; \to \; 1,\; r\; \to \; 2,\; \cdots ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \_\; \{1\; \},\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; t)\}$определяется как

$i\; \hslash \; \partial \; \psi \; \partial \; t\; =\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \nabla \; я\; 2\; ми\; +\; В\; (р\; 1,\; р\; 2,\; \cdots \; р\; N))\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\; \{m\_\; \{i\}\}\}\; +\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; cdots\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\})\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\}$

Комплексная волновая функция может быть представлена ​​как:

$\psi \; знак\; равно\; \rho \; ехр\; \; (я\; S\; \hslash )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; rho\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash ,\; S\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right)\}$

Пилотная волна направляет движение частиц. Уравнение наведения для j-й частицы:

$v\; \to \; j\; =\; \nabla \; j\; S\; m\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; S\}\; \{m\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; ;.\}$

Скорость j-й частицы явно зависит от положение других частиц. Это означает, что теория нелокальна.

Пустая волновая функция

Люсьен Харди и Джон Стюарт Белл подчеркнули, что в картине квантовой механики де Бройля – Бома могут существовать пустые волны, представленные волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не несущими энергию или импульс, и не связанные с частицей. Та же концепция была названа призрачными волнами (или «Gespensterfelder», призрачными полями) Альбертом Эйнштейном. Понятие пустой волновой функции было предметом споров. Напротив, многомировая интерпретация квантовой механики не требует пустых волновых функций.

• Гидродинамические квантовые аналоги
• Модель атома свободного падения - современный поиск траектории электрона
• Квантовый потенциал

• «Гидродинамика пилотных волн» Буш, JWM, 2014, Annu. Rev. Fluid Mech., 49, 269–292.
• «Квантовая механика в общих чертах», Bush, JWM, 2010.
• «Пилотные волны, бомовская метафизика и основы квантовой механики», курс лекций по теории пилотных волн Майка Таулера, Кембриджский университет (2009).
• «Гидродинамические квантовые аналоги» Исследования гидродинамических квантовых аналогов и гидродинамической теории пилотных волн, автор Джон Буш (MIT) и сотрудники.
• Более полная энциклопедическая страница HTML по теме.