Гамильтонова механика

редактировать

Раздел аналитической механики

Сэр Уильям Роуэн Гамильтон

Гамильтонова механика представляет собой математически сложную формулировку классической механики. Исторически он способствовал разработке статистической механики и квантовой механики. Гамильтонова механика была впервые сформулирована Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1833 году, начиная с лагранжевой механики, предыдущей переформулировки классической механики, представленной Джозефом Луи Лагранжем в 1788 году. Лагранжева механика, гамильтонова механика эквивалентна законам движения Ньютона в рамках классической механики.

Содержание

1 Обзор
- 1.1 Основная физическая интерпретация
- 1.2 Вычисление гамильтониана из лагранжиана
- 1.3 Получение гамильтониана из принципа Мопертюи
2 Вывод уравнений Гамильтона
3 Математические структуры
- 3.1 Геометрия гамильтоновых систем
- 3.2 Симплектическая геометрия
- 3.3 Римановы многообразия
- 3.4 Субримановы многообразия
4 Обобщения
- 4.1 Алгебры Пуассона
- 4.2 Обобщение на квантовую механику через скобку Пуассона
5 Примеры
- 5.1 Сферический маятник
- 5.2 Заряженная частица в электромагнитном поле
- 5.3 Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

Обзор

В гамильтоновой механике классическая физическая система описывается набором канонических координат r= (q, p), где каждый компонент координаты q i, p i индексируется в системе отсчета системы. Q i называются обобщенными координатами и выбираются таким образом, чтобы устранить ограничения или воспользоваться симметрией задачи, а p i являются их сопряженные импульсы.

эволюция системы во времени однозначно определяется уравнениями Гамильтона:

$dpdt = - ∂ H ∂ q, dqdt = + ∂ H ∂ p {\ displaystyle {\ frac { \ mathrm {d} {\ boldsymbol {p}}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial {\ boldsymbol {q}}}} \ quad, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {q}}} {\ mathrm {d} t}} = + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial {\ boldsymbol {p}}}}}$ ${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\quad,\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}$

где H = H (q, p, t) - гамильтониан, который часто соответствует полной энергии системы. Для замкнутой системы это сумма кинетической и потенциальной энергии в системе.

В ньютоновской механике эволюция во времени получается путем вычисления общей силы, действующей на каждую частицу системы, и из второго закона Ньютона, изменения положения и скорости во времени равны вычислено. Напротив, в гамильтоновой механике временная эволюция получается путем вычисления гамильтониана системы в обобщенных координатах и вставки его в уравнения Гамильтона. Этот подход эквивалентен тому, который используется в лагранжевой механике. Гамильтониан - это преобразование Лежандра лагранжиана при фиксированных q и t и определении p как двойственной переменной, и, таким образом, оба подхода дают одни и те же уравнения для тот же обобщенный импульс. Основная причина использования гамильтоновой механики вместо лагранжевой механики исходит из симплектической структуры гамильтоновых систем.

, в то время как гамильтонова механика может использоваться для описания простых систем, таких как прыгающий мяч, маятник или колеблющаяся пружина, в которой энергия со временем меняется с кинетической на потенциальную и обратно, ее сила проявляется в более сложных динамических системах, таких как планетные орбиты в небесная механика. Чем больше степеней свободы имеет система, тем сложнее ее эволюция во времени и, в большинстве случаев, она становится хаотической.

Базовая физическая интерпретация

Простая интерпретация гамильтоновой механики происходит из ее применения на одномерной системе, состоящей из одной частицы массы m. Гамильтониан может представлять полную энергию системы, которая является суммой кинетической и потенциальной энергии, традиционно обозначаемых T и V, соответственно. Здесь q - пространственная координата, p - импульс mv. Тогда

H = T + V, T = p 2 2 m, V = V (q) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + V \ quad, \ quad T = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad, \ quad V = V (q)}

{\mathcal {H}}=T+V\quad,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad,\quad V=V(q)

T является функцией только p, а V является функцией только q (т. Е. T и V склерономные ).

В этом примере производная по времени от импульса p равна силе Ньютона, и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии. Производная от q по времени - это скорость, поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу.

Вычисление гамильтониана из лагранжиана

Для лагранжиана в терминах обобщенных координат q и обобщенных скоростей $q ˙ я {\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {i}}$ ${\dot {q}}^{i}$ и время,

Импульсы вычисляются путем дифференцирования лагранжиана по (обобщенным) скоростям:
$пи (qi, q ˙ я, t) знак равно ∂ L ∂ q ˙ я {\ displaystyle p_ {i} (q ^ {i}, {\ dot {q}} ^ {i}, t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}}}$ $p_{i}(q^{i},{\dot {q}}^{i},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}$
Скорости $q ˙ i {\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {i}}$ ${\dot {q}}^{i}$ выражаются через импульсы p i путем инвертирования выражений на предыдущем шаге.
Гамильтониан вычисляется с использованием обычного определения H как преобразование Лежандра числа L:
$H = ∑ iq ˙ i ∂ L ∂ q ˙ i - L = ∑ iq ˙ ipi - L {\ displaystyle {\ mathcal {H} } = \ sum _ {i} {\ dot {q}} ^ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {\ dot {q}} ^ {i} p_ {i} - {\ mathcal {L}}}$ ${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}p_{i}-{\mathcal {L}}$
Затем скорости заменяются посредством приведенных выше результатов.

Вывод гамильтониана из принципа Мопертюи
Этот вывод следует за Ландау и Лифшицем, хотя они прямо не упоминают принцип Мопертюи как отправную точку.

Принцип Мопертюи определяет сокращенный функционал действия как
$S 0 [q (t)] = def ∫ q 1 q 2 p ⋅ dq {\ displaystyle {\ mathcal {S }} _ {0} [\ mathbf {q} (t)] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {\ mathbf {q} _ {1}} ^ {\ mathbf {q} _ {2}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q}}$ ${\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbf {q} _{1}}^{\mathbf {q} _{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q}$
где $p = (p 1, p 2,…, p N) {\ displaystyle \ mathbf {p } = \ left (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {N} \ right)}$ ${\mathbf {p}}=\left(p_{{1}},p_{{2}},\ldots,p_{{N}}\right)$ - сопряженные импульсы обобщенных координат, определяемые уравнением
$p = pi (qi, q ˙ i, t) = def ∂ L ∂ q ˙ i = ∂ L ∂ q ˙. {\ displaystyle \ mathbf {p} = p_ {i} (q ^ {i}, {\ dot {q}} ^ {i}, t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ точка {\ mathbf {q}}}}}.}$ $\mathbf {p} =p_{i}(q^{i},{\dot {q}}^{i},t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.$
Здесь $L (qi, q ˙ i, t) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q ^ {i}, {\ точка {q}} ^ {i}, t)}$ ${\mathcal {L}}(q^{i},{\dot {q}}^{i},t)$ - это лагранжиан для системы. Однако порядок определений отличается от такового в лагранжевой механике. Во-первых, $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\mathbf {p}$ определяется как функция, интегрированная по интервалу $[q 1, q 2] {\ displaystyle [\ mathbf {q } _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}]}$ $[\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2}]$ дает $S 0 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ $\mathcal{S}_{0}$ . Затем $L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\mathcal {L}}$ определяется как функция, которая отличается от $q ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}} }}$ ${\dot {{\mathbf {q}}}}$ дает $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\mathbf {p}$ . Кроме того, $S 0 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ $\mathcal{S}_{0}$ только неявно зависит от t через его зависимость от $q (t) {\ displaystyle \ mathbf { q} (t)}$ ${\mathbf {q}}(t)$ .

Вывод уравнений Гамильтона

Уравнения Гамильтона можно вывести, посмотрев, как полный дифференциал лагранжиана зависит от времени, обобщенно положения q i и обобщенные скорости q̇ i:

d L = ∑ i (∂ L ∂ qidqi + ∂ L ∂ q ˙ idq ˙ i) + ∂ L ∂ tdt {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i } + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ mathrm {d} {\ dot {q}} ^ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Обобщенные импульсы были определены как

pi = ∂ L ∂ q ˙ i { \ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}}}

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}

Если это подставить в общий дифференциал лагранжиана, получаем

d L = ∑ i (∂ L ∂ qidqi + pidq ˙ я) + ∂ L ∂ tdt {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}) } {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {\ dot {q}} ^ {i} \ right) + {\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Это можно переписать как

d L = ∑ i (∂ L ∂ qidqi + d (piq ˙ i) - q ˙ idpi) + ∂ L ∂ tdt. {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {\ dot {q}} ^ {i} \ right) - {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t \,.}

\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{\dot {q}}^{i}\right)-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,.

который после перестановки приводит к

d (∑ ipiq ˙ я - L) знак равно ∑ я (- ∂ L ∂ qidqi + q ˙ idpi) - ∂ L ∂ tdt {\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (\ sum _ {i} p_ {i } {\ dot {q}} ^ {i} - {\ mathcal {L}} \ right) = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ частичное q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Член в левой части - это просто гамильтониан, который был определен ранее, поэтому

d H = ∑ i ( - ∂ L ∂ qidqi + q ˙ idpi) - ∂ L ∂ tdt {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Также возможно вычислить полный дифференциал гамильтониана H по времени напрямую, подобно тому, как это было сделано с лагранжиан L выше, что дает:

d H = ∑ i (∂ H ∂ qidqi + ∂ H ∂ pidpi) + ∂ H ∂ tdt {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal) {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm { d} t}

\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Из предыдущих двух независимых уравнений следует, что их правые части равны между собой. Результат:

∑ i (- ∂ L ∂ qidqi + q ˙ idpi) - ∂ L ∂ tdt = ∑ i (∂ H ∂ qidqi + ∂ H ∂ pidpi) + ∂ H ∂ tdt {\ displaystyle \ sum _ { i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ dot {q}} ^ { i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

Поскольку этот расчет был выполнен вне оболочки, можно связать соответствующие члены с обеих сторон этого уравнения, чтобы получить:

∂ H ∂ qi = - ∂ L ∂ qi, ∂ H ∂ pi = q ˙ я, ∂ H ∂ T знак равно - ∂ L ∂ T {\ Displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} = - {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} = {\ dot { q}} ^ {i} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t}}

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}

В оболочке, уравнения Лагранжа показывают, что

ddt ∂ L ∂ q ˙ i - ∂ L ∂ qi знак равно 0 {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q }} ^ {i}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} = 0}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0

Перестановка этого дает

∂ L ∂ qi = п ˙ я {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} = {\ dot {p}} _ {i}}

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}

Таким образом, Гамильтон уравнения следующие:

∂ H ∂ qj = - p ˙ j, ∂ H ∂ pj = q ˙ j, ∂ H ∂ t = - ∂ L ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} } {\ partial q ^ {j}}} = - {\ dot {p}} _ {j} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {j} }} = {\ dot {q}} ^ {j} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L} } \ over \ partial t}}

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{j}}}=-{\dot {p}}_{j}\quad,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}^{j}\quad,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}

Уравнения Гамильтона состоят из 2n дифференциальных уравнений первого порядка, а уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают сложность нахождения явных решений, но они все же предлагают некоторые преимущества: важные теоретические результаты могут быть получены, поскольку координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями.

У уравнений Гамильтона есть еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система обладает симметрией, такой, что координата не входит в гамильтониан, соответствующий импульс сохраняется, и эту координату можно игнорировать в других уравнениях набор. Это эффективно сокращает проблему с n координат до (n - 1) координат. В рамках лагранжиана результат о сохранении соответствующего импульса по-прежнему следует немедленно, но все обобщенные скорости по-прежнему присутствуют в лагранжиане. Еще предстоит решить систему уравнений в n координатах. Лагранжиан и гамильтониан подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в теории классической механики и для формулировок квантовой механики.

Математические структуры

Геометрия гамильтоновых систем

Гамильтонова система может пониматься как пучок волокон E за время R, где волокна Et, t ∈ R, являются позиционным пространством. Таким образом, лагранжиан является функцией на пучке струй J над E; послойное преобразование Лежандра лагранжиана дает функцию на дуальном расслоении с течением времени, слой в точке t - это котангенсное пространство TEt, которое имеет естественную симплектическую форму, и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие между лагранжевой и гамильтоновой механиками достигается с помощью тавтологической одноформной.

симплектической геометрии

Любой гладкой вещественной функции H на симплектическом многообразии можно использовать для определения гамильтоновой системы. Функция H известна как «гамильтониан» или «функция энергии». Тогда симплектическое многообразие называется фазовым пространством. Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как гамильтоново векторное поле.

Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых обычно называют «временем»); другими словами, изотопия симплектоморфизмов, начиная с тождества. Согласно теореме Лиувилля, каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема на фазовом пространстве. Набор симплектоморфизмов, индуцированных гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.

Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона. Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.

Дана функция f

ddtf = ∂ ∂ tf + {f, H}, {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} f = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} f + \ left \ {f, {\ mathcal {H}} \ right \},}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},

, если существует распределение вероятностей, ρ, то (поскольку пространственная фазовая скорость (ṗ i, q̇ i) имеет нулевую дивергенцию и вероятность сохраняется) его конвективная производная может быть равна нулю, поэтому

∂ ∂ t ρ = - {ρ, H} {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho = - \ left \ { \ rho, {\ mathcal {H}} \ right \}}

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho,{\mathcal {H}}\right\}

Это называется теоремой Лиувилля. Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов, и если {G, H} = 0, то G сохраняется и симплектоморфизмы - это преобразования симметрии.

Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G i. Если симплектическое многообразие имеет размерность 2n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G i, которые находятся в инволюции (т. Е. {G i, G j } = 0), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю. Теорема Лиувилля – Арнольда гласит, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан может быть преобразован с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами G i в качестве координат; новые координаты называются координатами действие-угол. Преобразованный гамильтониан зависит только от G i, и, следовательно, уравнения движения имеют простую форму

G ˙ i = 0, φ ˙ i = F i (G) {\ displaystyle {\ dot {G}} _ {i} = 0 \ quad, \ quad {\ dot {\ varphi}} _ {i} = F_ {i} (G)}

{\dot {G}}_{i}=0\quad,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)

для некоторой функции F. Имеется фокусировка всего поля о малых отклонениях от интегрируемых систем, описываемых теоремой КАМ.

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей - открытый вопрос. В общем, гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости определены плохо.

Римановы многообразия

Важным частным случаем являются те гамильтонианы, которые являются квадратичными формами, то есть гамильтонианы, которые можно записать как

H (q, p) Знак равно 1 2 ⟨п, п⟩ q {\ displaystyle {\ mathcal {H}} (q, p) = {\ tfrac {1} {2}} \ langle p, p \ rangle _ {q}}

{\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}

где ⟨,⟩ q - плавно изменяющийся внутренний продукт на волокнах T. qQ, котангенсное пространство до точки q в конфигурационное пространство, иногда называемое кометрическим. Этот гамильтониан полностью состоит из кинетического члена.

. Если рассматривать риманово многообразие или псевдориманово многообразие, риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм касательного и кокасательного расслоений. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометрику. (В координатах матрица, определяющая кометку, является обратной матрицей, определяющей метрику.) Решения уравнений Гамильтона – Якоби для этого гамильтониана будут такими же, как и геодезические на коллекторе. В частности, гамильтонов поток в этом случае - это то же самое, что геодезический поток. Существование таких решений и полнота набора решений подробно обсуждаются в статье геодезические. См. Также Геодезические как гамильтоновы потоки.

Субримановы многообразия

Когда комета вырождена, она не обратима. В этом случае у человека нет риманова многообразия, как нет метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда комета вырождена в каждой точке q многообразия Q конфигурационного пространства, так что ранг кометы меньше размерности многообразия Q, имеется суб- Риманово многообразие.

Гамильтониан в этом случае известен как субриманово гамильтониан . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет комету, и наоборот. Отсюда следует, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом, и что верно и обратное: каждое субриманово многообразие имеет единственный субриманово гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чоу – Рашевского.

Непрерывная вещественнозначная группа Гейзенберга представляет собой простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан задается как

H (x, y, z, px, py, pz) = 1 2 (px 2 + py 2) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left ( x, y, z, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} \ right)}

{\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)

pzне входит в гамильтониан.

Обобщения

Алгебры Пуассона

Гамильтоновы системы могут быть обобщены различными способами. Вместо того, чтобы просто рассматривать алгебру из гладких функций над симплектическим многообразием, гамильтонова механика может быть сформулирована на общем коммутативном unital real алгебры Пуассона. Состояние - это непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (снабженный некоторой подходящей топологией ), такой, что для любого элемента A алгебра, A отображается в неотрицательное действительное число.

Дальнейшее обобщение дает динамика Намбу.

Обобщение квантовой механики через скобку Пуассона

Уравнения Гамильтона, приведенные выше, хорошо подходят для классической механики, но не для квантовой механики, поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Тем не менее, уравнения могут быть дополнительно обобщены, а затем распространены на квантовую механику, а также на классическую механику путем деформации алгебры Пуассона над p и q до алгебры скобок Мойала..

В частности, более общая форма уравнения Гамильтона выглядит так:

dfdt = {f, H} + ∂ f ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t }} = \ left \ {f, {\ mathcal {H}} \ right \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}}}

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

где f - некоторая функция от p и q, и H - гамильтониан. Чтобы узнать правила вычисления скобки Пуассона, не прибегая к дифференциальным уравнениям, см. алгебру Ли ; скобка Пуассона - это скобка Ли в алгебре Пуассона . Эти скобки Пуассона затем могут быть расширены до скобок Мойала, преобразованных в неэквивалентную алгебру Ли, как доказал Хильбранд Дж. Греневольд, и тем самым описать квантово-механическую диффузию в фазовом пространстве (см. формулировка фазового пространства и преобразование Вигнера-Вейля ). Этот более алгебраический подход не только позволяет в конечном итоге расширить вероятностные распределения в фазовом пространстве до квазивероятностных распределений Вигнера, но и в простой классической настройке скобок Пуассона также предоставляет больше возможностей для анализа релевантных сохраняемых величин в системе.

Примеры

Сферический маятник

Сферический маятник : углы и скорости.

Лагранжиан для этой системы равен

L = 1 2 mr 2 (θ ˙ 2 + sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2) + mgr cos ⁡ θ. {\ Displaystyle L = {\ frac {1} {2}} г-н ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) + mgr \ cos \ theta.}

L={\frac {1}{2}}mr^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgr\cos \theta.

Таким образом, гамильтониан равен

H = P θ θ ˙ + P ϕ ϕ ˙ - L {\ displaystyle H = P _ {\ theta } {\ dot {\ theta}} + P _ {\ phi} {\ dot {\ phi}} - L}

H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L

где

P θ = ∂ L ∂ θ ˙ = mr 2 θ ˙ {\ displaystyle P_ {\ theta} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}

P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}

P ϕ = ∂ L ∂ ϕ ˙ = mr 2 ϕ ˙ sin 2 ⁡ θ. {\ displaystyle P _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} = mr ^ {2} {\ dot {\ phi}} \ sin ^ {2} \ theta.}

P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta.

Заряженная частица в электромагнитном поле

Достаточная иллюстрация гамильтоновой механики дается гамильтонианом заряженной частицы в электромагнитном поле. В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле равен (в единицах СИ ):

L = ∑ i 1 2 мх ˙ я 2 + ∑ iqx ˙ я А я - Q φ {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {я} {\ tfrac {1} {2}} м {\ точка {х}} _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} q {\ dot {x}} _ {i} A_ {i} -q \ varphi}

{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi

где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал, а A i - компоненты вектора магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ .

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает Лоренца сила закон

mx ¨ = q E + qx ˙ × B, {\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf { x}}} \ times \ mathbf {B} \,,}

m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,

и называется минимальной связью.

Обратите внимание, что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будут изменяться во время калибровочного преобразования tion, и сам лагранжиан также подберет дополнительные члены; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, не изменяют уравнение Эйлера – Лагранжа.

канонические моменты задаются следующим образом:

pi = ∂ L ∂ x ˙ i = mx ˙ i + q A i {\ displaystyle p_ {i} = {\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} = m {\ dot {x}} _ {i} + qA_ {i}}

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочным инвариантом и физически не измеримы. Однако кинетический импульс :

P i ≡ mx ˙ i = pi - q A i {\ displaystyle P_ {i} \ Equiv m {\ dot {x}} _ {i} = p_ {i} - qA_ {i}}

P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}

калибровочно инвариантен и физически измерим.

Гамильтониан, как преобразование Лежандра лагранжиана, поэтому:

H = {∑ ix ˙ ipi} - L = ∑ i (pi - q A i) 2 2 м + Q φ {\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ left \ {\ sum _ {i} {\ dot {x}} _ {i} p_ {i} \ right \} - {\ mathcal { L}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ left (p_ {i} -qA_ {i} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ varphi}

{\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi

Используется это уравнение часто в квантовой механике.

При калибровочном преобразовании :

A → A + ∇ f, φ → φ - f ˙, {\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla f \,, \ quad \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ dot {f}} \,,}

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,

где f (r, t) - любая скалярная функция пространства и времени, упомянутые выше лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование вида:

L → L ′ = L + qdfdt, p → p ′ = p + q ∇ f, H → H ′ = H - q ∂ f ∂ t, {\ displaystyle L \ rightarrow L '= L + q {\ frac {df} {dt}} \,, \ quad \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p'} = \ mathbf {p} + q \ nabla f \,, \ quad H \ rightarrow H '= Hq {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \,,}

L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,

которые все еще производят s то же уравнение Гамильтона:

∂ H ′ ∂ x i | p i ′ = ∂ ∂ x i | p i ′ (x ˙ i p i ′ - L ′) = - ∂ L ′ ∂ x i | p i ′ = - ∂ L ∂ x i | p i ′ - q ∂ ∂ x i | pi ′ dfdt = - ddt (∂ L ∂ x ˙ i | pi ′ + q ∂ f ∂ xi | pi ′) = - p ˙ i ′ {\ displaystyle {\ begin {align} \ left. {\ frac {\ partial H '} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} = \ left. {\ Frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} ({\ dot {x}} _ {i} p' _ {i} -L ') = - \ left. {\ frac {\ partial L'} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} \\ = - \ left. {\ frac {\ partial L} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} - q \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} {\ frac {df} {dt}} \\ = - {\ frac {d} {dt}} \ left (\ left. {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {x}} _ {i}}} } \ right | _ {p '_ ​​{i}} + q \ left. {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} \ справа) \\ = - {\ dot {p}} '_ {i} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}

В квантовой механике волновая функция также подвергнется локальному U (1) групповое преобразование во время калибровочного преобразования, которое подразумевает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

релятивистский лагранжиан для частицы (масса покоя m и заряд q) определяется выражением:

L (t) = - mc 2 1 - x ˙ (t) 2 c 2 + qx ˙ (t) ⋅ A (x (t), t) - q φ (x (t), t) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (t) = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {{{\ dot {\ mathbf {x}}} (t)} ^ {2}} {c ^ {2}}}}} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right) -q \ varphi \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right)}

{\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)

Таким образом, канонический импульс частицы равен

p (t) = ∂ L ∂ x ˙ = mx ˙ 1 - Икс ˙ 2 с 2 + Q A {\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}} } = {\ frac {m {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2 }}}}}} + q \ mathbf {A}}

\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}

, то есть сумма кинетического и потенциального импульса.

Решая для скорости, получаем

x ˙ (t) = p - q A m 2 + 1 c 2 (p - q A) 2 {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x }}} (t) = {\ frac {\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}} {\ sqrt {m ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}}}}

{\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}

Итак, гамильтониан

H (t) = x ˙ ⋅ p - L = cm 2 с 2 + (п - q A) 2 + q φ {\ displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {p} - {\ mathcal { L}} = c {\ sqrt {m ^ {2} c ^ {2} + {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}} + q \ varphi }

{\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi

В результате получается уравнение силы (эквивалентное уравнению Эйлера – Лагранжа )

p ˙ = - ∂ H ∂ x = qx ˙ ⋅ (∇ A) - q ∇ φ = q ∇ (x ˙ ⋅ A) - q ∇ φ {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {x}}} = q { \ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ( {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}

{\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A})-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A})-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi

, из которого можно получить

ddt (mx ˙ 1 - x ˙ 2 c 2) = ddt (p - q A) = p ˙ - q ∂ A ∂ t - q (x ˙ ⋅ ∇) A = q ∇ (x ˙ ⋅ A) - q ∇ φ - q ∂ A ∂ T - q (Икс ˙ ⋅ ∇) A = q E + qx ˙ × B {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {m {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) = {\ dot {\ mathbf {p}}} - q {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} - q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi -q {\ frac {\ частичное A} {\ partial t}} - q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} \ times \ mathbf {B} \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A})={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla)\mathbf {A} \\=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A})-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla)\mathbf {A} \\=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}

В приведенном выше выводе используется тождество векторного исчисления :

1 2 ∇ (A ⋅ A) = A ⋅ JA = A ⋅ (∇ A) = (A ⋅ ∇) A + A × (∇ × A). {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ { \ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ mathbf {A}) \ = \ (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, + \,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A}).}

{\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ = \ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A})\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A}).

An equivalent expression for the Hamiltonian as function of the relativistic (kinetic) momentum, P= γmẋ(t) = p- qA, is

H ( t) = x ˙ ( t) ⋅ P ( t) + mc 2 γ + q φ ( x ( t), t) = γ mc 2 + q φ ( x ( t), t) = E + V {\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\ dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}

{\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V

This has the advantage that kinetic momentum Pcan be measured experimentally whereas canonical momentum pcannot. Notice that the Hamiltonian (total energy ) can be viewed as the sum of the relativistic energy (kinetic+rest), E = γmc, plus the potential energy, V = eφ.

References

External links

Wikimedia Commons has media related to Hamiltonian mechanics.

Binney, James J., Classical Mechanics (lecture notes) (PDF), University of Oxford, retrieved 27 October 2010
Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes), University of Cambridge, retrieved 27 October 2010
Hamilton, William Rowan, On a General Method in Dynamics, Trinity College Dublin