Войти
12 пентамино могут образовывать 18 различных форм, 6 из которых (хиральные пентамино) являются зеркальными. A пентамино (или 5-омино) - это полимино порядка 5, то есть многоугольник на плоскости, состоящий из 5 квадратов одинакового размера, соединенных ребром к краю. Когда вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 12 различных свободных пентамино. Когда отражения считаются отчетливыми, получается 18 односторонних пентамино. Когда вращения также считаются отдельными, имеется 63 фиксированных пентамино.
Пентамино мозаичные головоломки и игры популярны в развлекательной математике. Обычно в видеоиграх, таких как имитации Тетриса и Rampart, зеркальные отражения рассматриваются как отдельные, и поэтому используется полный набор из 18 односторонних пентамино.
Каждое из двенадцати пентамино удовлетворяет критерию Конвея ; следовательно, каждое пентамино способно разбить плоскость. Каждое хиральное пентамино может выложить плоскость, не отражаясь.
Сравнение схем маркировки для 12 возможных форм пентамино. Первое соглашение об именах используется в этой статье. Второй метод - метод Конвея. Пентамино были официально определены американским профессором Соломоном В. Голомбом, начиная с 1953 года, а затем в его книге 1965 года Полимино: головоломки, узоры, проблемы и упаковки. Они были представлены широкой публике Мартином Гарднером в его колонке Mathematical Games в октябре 1965 года в журнале Scientific American. Голомб придумал термин «пентамино» из древнегреческого πέντε / pénte, «пять» и -omino в domino, причудливо интерпретируя «d-» слова «домино» как если бы это была форма греческого префикса «ди-» (два). Голомб назвал 12 свободных пентамино в честь букв латинского алфавита, на которые они похожи.
Джон Хортон Конвей предложил альтернативную схему маркировки для пентамино, используя O вместо I, Q вместо L, R вместо F и S вместо N. Сходство с буквами более напряженное, особенно для пентомино, но эта схема имеет то преимущество, что в ней используются 12 последовательных букв алфавита. Он используется по соглашению при обсуждении Игры жизни Конвея, где, например, говорится о R-пентамино вместо F-пентамино.
F, L, N, P, Пентамино Y и Z являются хиральными ; сложение их отражений (F ′, L ′, N ′, Q, Y ′, Z ′) доводит количество односторонних пентамино до 18. Если вращения также считаются различными, то пентамино из первой категории считаются восьмикратными, единицы из следующих трех категорий (T, U, V, W, Z) считаются четырехкратно, I считается дважды, а X считается только один раз. В результате получается 5 × 8 + 5 × 4 + 2 + 1 = 63 фиксированных пентамино.
Например, восемь возможных ориентаций пентамино L, F, N, P и Y следующие:
Для 2D-фигур в целом есть еще две категории:
Стандартная головоломка пентамино - это выложить плиткой прямоугольную коробку с пентамино, т.е. без нахлеста и без зазоров. Каждое из 12 пентамино имеет площадь 5 единиц квадрата, поэтому коробка должна иметь площадь 60 единиц. Возможные размеры: 6 × 10, 5 × 12, 4 × 15 и 3 × 20. Заядлый пазл, вероятно, сможет решить эти проблемы вручную в течение нескольких часов. Более сложная задача, обычно требующая компьютерного поиска, - это подсчет общего количества решений в каждом случае.
Случай 6 × 10 был впервые раскрыт в 1960 году Колином Брайаном и Дженифер Хазелгроув. Существует ровно 2339 решений, не считая тривиальных вариаций, полученных путем вращения и отражения всего прямоугольника, но включая вращение и отражение подмножества пентамино (что иногда дает дополнительное решение простым способом). Блок 5 × 12 содержит 1010 решений, блок 4 × 15 содержит 368 решений, а блок 3 × 20 имеет только 2 решения (одно показано на рисунке, а другое может быть получено из решения, показанного путем вращения, в целом блок, состоящий из пентамино L, N, F, T, W, Y и Z).
Несколько более простая (более симметричная) головоломка, прямоугольник 8 × 8 с отверстием 2 × 2 в центре, была решена Даной Скотт еще в 1958 году. Всего их 65 решения. Алгоритм Скотта был одним из первых приложений компьютерной программы с возвратом. Варианты этой головоломки позволяют разместить четыре отверстия в любом положении. Одна из внешних ссылок использует это правило. Большинство таких шаблонов разрешимы, за исключением размещения каждой пары отверстий рядом с двумя углами доски таким образом, чтобы оба угла могли быть установлены только с помощью P-пентамино, или принудительного использования T-пентамино или U-пентамино в угол так, чтобы образовалось еще одно отверстие.
Эффективные алгоритмы для решения таких проблем были описаны, например, Дональдом Кнутом. На современном оборудовании эти головоломки пентамино теперь можно решить за считанные секунды.
Решение мозаики прямоугольников полимино с n ячейками существует только для n = 0, 1, 2 и 5; первые три тривиальны.
A пентакуб - это поликуб из пяти кубов. Из 29 пентакубов ровно двенадцать пентакубов являются плоскими (однослойными) и соответствуют двенадцати пентамино, выдавленным на глубину в один квадрат.
A головоломка с пентакубами или 3D головоломка с пентамино представляет собой заполнение трехмерной коробки 12 плоскими пентакубами, то есть покрытие ее без перекрытия и без зазоров. Поскольку каждый пентакуб имеет объем 5 единиц кубиков, коробка должна иметь объем 60 единиц. Возможные размеры: 2 × 3 × 10 (12 решений), 2 × 5 × 6 (264 решения) и 3 × 4 × 5 (3940 решений). Ниже приведены решения для каждого случая. 
В качестве альтернативы можно также рассмотреть комбинации из пяти кубов, которые сами по себе являются трехмерными, то есть не являются частью одного слоя кубов. Однако в дополнение к 12 экструдированным пентамино, 6 наборов хиральных пар и 5 частей составляют в общей сложности 29 частей, в результате чего получается 145 кубов, из которых не получится трехмерная коробка (поскольку 145 может быть только 29 × 5 × 1, что не соответствует действительности. -плоские пентамино не помещаются).
Есть настольные игры навыков, полностью основанные на пентамино. Такие игры часто называют просто «Пентамино».
В одну из игр играют на сетке 8 × 8 два или три игрока. Игроки по очереди кладут пентамино на доску так, чтобы они не перекрывали существующие плитки и ни одна плитка не использовалась более одного раза. Цель состоит в том, чтобы быть последним игроком, который поместит плитку на доску. Эта версия пентамино называется «Игра Голомба».
Версия для двух игроков была слабо решена в 1996 году Хилари Орман. Было доказано, что это была победа первого игрока, исследовав около 22 миллиардов позиций на доске.
Пентамино и подобные формы также являются основой ряда других мозаичных игр, шаблонов и головоломок. Например, во французской настольной игре Blokus используется 4 цветных набора из полимино, каждый из которых состоит из каждого пентомино (12), тетромино (5), триомино (2) домино (1) и мономино (1). Как и в игре Pentominoes, цель состоит в том, чтобы использовать все ваши плитки, и бонус дается, если мономино играется на самом последнем ходу. Побеждает игрок, у которого осталось меньше всего блоков.
Игра Собор также основана на полимино.
Parker Brothers выпустила многопользовательскую настольную игру в стиле пентамино под названием «Вселенная» в 1966 году. Ее тема основана на удаленная сцена из фильма 1968 года 2001: Космическая одиссея, в которой астронавт играет в пентамино для двух игроков против компьютера HAL 9000 (сцена с другим космонавт, играющий в шахматы.). На передней части коробки с настольной игрой есть сцены из фильма, а также подпись, описывающая ее как «игру будущего». В игре есть четыре набора пентамино красного, желтого, синего и белого цветов. На доске есть две игровые зоны: базовая область 10x10 для двух игроков с дополнительными 25 квадратами (еще два ряда по 10 и один смещенный ряд из пяти) с каждой стороны для более чем двух игроков.
У производителя игр есть несколько игр, в которых используются одни и те же пентамино, но на разных игровых планах. В их 101 Game есть самолет 5 x 11. Изменяя форму самолета, можно разыграть тысячи головоломок, хотя в печати доступна лишь небольшая часть этих головоломок.
Первая задача пентамино, написанная Генри Дудени, была опубликована в 1907 году в журнале Canterbury Puzzles.
Пентамино были представлены в известном Подсюжет романа Артура Кларка 1975 года Имперская Земля. Кларк также написал эссе, в котором описал игру и то, как он увлекся ею.
Они также были показаны в фильме Блю Баллиетта Погоня за Вермеером, который был опубликован в 2003 году и проиллюстрирован Бретт Хелквист, а также его продолжениями, Райт 3 и Игра Колдера.
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Пентамино. |
