Теорема о параллельной оси

«Теорема Штейнера» перенаправляется сюда. Не следует путать с теоремой Штейнера (геометрия).

Теорема параллельной оси, также известный как теоремы Гюйгенса-Штейнера, или так же, как теорема Штейнера, имени Христиана Гюйгенса и Якоба Штайнера, может быть использован для определения момента инерции или второй момент площади в виде твердого тела вокруг любой оси, учитывая момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести объекта, и перпендикулярное расстояние между осями.

• 1 Момент инерции массы
  • 1.1 Вывод
  • 1.2 Тензорное обобщение
• 2 Второй момент площади
• 3 Полярный момент инерции для плоской динамики
• 4 Матрица моментов инерции
  • 4.1 Тождества для кососимметричной матрицы
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Момент инерции массы тела вокруг оси может быть определен из момента инерции массы вокруг параллельной оси, проходящей через центр масс.

Предположим, что тело массы m вращается вокруг оси z, проходящей через центр масс тела. Тело имеет момент инерции 1 см относительно этой оси. Теорема о параллельности оси утверждает, что если вместо этого тело заставить вращаться вокруг новой оси z ', которая параллельна первой оси и смещена от нее на расстояние d, то момент инерции I по отношению к новой оси равен относится к I cm по

${\ displaystyle I = I _ {\ mathrm {cm}} + md ^ {2}.}$

Явно d - это расстояние по перпендикуляру между осями z и z ′.

Теорема о параллельной оси может быть применена с помощью правила растяжения и теоремы о перпендикулярной оси, чтобы найти моменты инерции для различных форм.

Правило параллельных осей для момента инерции площади

Вывод

Мы можем предположить, без ограничения общности, что в декартовой системе координат перпендикулярное расстояние между осями лежит вдоль оси x, а центр масс лежит в начале координат. Момент инерции относительно оси z равен

${\ displaystyle I _ {\ mathrm {cm}} = \ int (x ^ {2} + y ^ {2}) \, dm.}$

Момент инерции относительно оси z ', который представляет собой перпендикулярное расстояние D вдоль оси x от центра масс, равен

${\ Displaystyle I = \ int \ left [(x + D) ^ {2} + y ^ {2} \ right] \, дм.}$

Раскрытие скобок дает

${\ displaystyle I = \ int (x ^ {2} + y ^ {2}) \, dm + D ^ {2} \ int dm + 2D \ int x \, dm.}$

Первый член равен 1 см, а второй член становится mD ². Интеграл в последнем члене кратен координате x центра масс,  которая равна нулю, поскольку центр масс находится в начале координат. Итак, уравнение принимает следующий вид:

${\ displaystyle I = I _ {\ mathrm {cm}} + mD ^ {2}.}$

Тензорное обобщение

Теорема о параллельных осях может быть обобщена на вычисления с использованием тензора инерции. Пусть I ij обозначает тензор инерции тела, вычисленный в центре масс. Тогда тензор инерции J ij, вычисленный относительно новой точки, равен

${\ Displaystyle J_ {ij} = I_ {ij} + m \ left (| \ mathbf {R} | ^ {2} \ delta _ {ij} -R_ {i} R_ {j} \ right),}$

где - вектор смещения от центра масс к новой точке, а δ ij - дельта Кронекера. ${\ displaystyle \ mathbf {R} = R_ {1} \ mathbf {\ hat {x}} + R_ {2} \ mathbf {\ hat {y}} + R_ {3} \ mathbf {\ hat {z}} \!}$

Для диагональных элементов (когда i = j) смещения, перпендикулярные оси вращения, приводят к приведенной выше упрощенной версии теоремы о параллельных осях.

Обобщенная версия теоремы о параллельных осях может быть выражена в безкоординатной записи как

${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {I} + m \ left [\ left (\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} \ right) \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf { R} \ otimes \ mathbf {R} \ right],}$

где Е 3 представляет собой 3 × 3 единичная матрица, и это внешнее произведение. ${\ displaystyle \ otimes}$

Дальнейшее обобщение теоремы о параллельных осях дает тензор инерции относительно любого набора ортогональных осей, параллельных опорному набору осей x, y и z, связанных с опорным тензором инерции, независимо от того, проходят ли они через центр масс.

Правило параллельных осей также применяется ко второму моменту площади (момент инерции площади) для плоской области D:

${\ displaystyle I_ {z} = I_ {x} + Ar ^ {2},}$

где I z - момент инерции площади D относительно параллельной оси, I x - момент инерции площади D относительно его центроида, A - площадь плоской области D, а r - расстояние от новой ось г на центроид в плоской области D. Центроид из D совпадает с центром тяжести физической пластины с одной и той же формы, что имеет однородную плотность.

Полярный момент инерции тела вокруг точки можно определить по его полярному моменту инерции вокруг центра масс.

Массовые свойства твердого тела, которое вынуждено двигаться параллельно плоскости, определяются его центром масс R  = ( x,  y) в этой плоскости и его полярным моментом инерции I R вокруг оси, проходящей через R, которая перпендикулярна к самолету. Параллельной оси теорема обеспечивает удобную взаимосвязь между моментом инерции I S вокруг произвольной точки S и момент инерции I R относительно центра масс  R.

Напомним, что центр масс R обладает свойством

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \, dV = 0,}$

где r интегрировано по объему V тела. Полярный момент инерции тела, совершающего плоское движение, может быть вычислен относительно любой контрольной точки  S,

${\ Displaystyle I_ {S} = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {S}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {S}) \, dV,}$

где S является постоянной и т интегрируется по объему  V.

Чтобы получить момент инерции I S через момент инерции I R, введите вектор d из S в центр масс R,

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {S} amp; = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {R} + \ mathbf {d}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {R} + \ mathbf {d}) \, dV \\ amp; = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) dV + 2 \ mathbf {d} \ cdot \ left (\ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \, dV \ right) + \ left (\ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) \, dV \ right) \ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {д}. \ конец {выровнено}}}$

Первый член - это момент инерции I R, второй член равен нулю по определению центра масс, а последний член - это полная масса тела, умноженная на квадратную величину вектора  d. Таким образом,

${\ Displaystyle I_ {S} = I_ {R} + Md ^ {2}, \,}$

которая известна как теорема о параллельных осях.

Матрица инерции жесткой системы частиц зависит от выбора реперной точки. Существует полезное соотношение между матрицей инерции относительно центра масс R и инерции матрицы по отношению к другой точке S. Это соотношение называется теоремой о параллельных осях.

Рассмотрим матрицу инерции [I S ], полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно контрольной точки S, заданную формулой

${\ displaystyle [I_ {S}] = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -S] [r_ {i} -S],}$

где r i определяет положение частицы P i, i  = 1,...,  n. Напомним, что [ r i  -  S ] - это кососимметричная матрица, которая выполняет кросс-произведение,

${\ displaystyle [r_ {i} -S] \ mathbf {y} = (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {S}) \ times \ mathbf {y},}$

для произвольного вектора  y.

Пусть R - центр масс жесткой системы, тогда

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {S}) + \ mathbf {S} = \ mathbf {d} + \ mathbf {S},}$

где d представляет собой вектор от опорной точки S до центра масс - R. Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции,

${\ displaystyle [I_ {S}] = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R + d] [r_ {i} -R + d].}$

Разложите это уравнение, чтобы получить

${\ displaystyle [I_ {S}] = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] [r_ {i} -R] \ right) + \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] \ right) [d] + [d] \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] \ right) + \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) [d] [d]. }$

Первый член - это матрица инерции [ I R ] относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс R,

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) = 0.}$

И последний член - это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы [ d ], построенной из  d.

Результатом является теорема о параллельности оси,

${\ displaystyle [I_ {S}] = [I_ {R}] - M [d] ^ {2},}$

где d представляет собой вектор от опорной точки S до центра масс - R.

Тождества для кососимметричной матрицы

Чтобы сравнить формулировки теоремы о параллельных осях с использованием кососимметричных матриц и тензорной формулировки, полезны следующие тождества.

Пусть [ R ] будет кососимметричной матрицей, связанной с вектором положения R  = ( x,  y,  z), тогда произведение в матрице инерции станет

${\ displaystyle - [R] [R] = - {\ begin {bmatrix} 0 amp; -z amp; y \\ z amp; 0 amp; -x \\ - y amp; x amp; 0 \ end {bmatrix}} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} y ^ { 2} + z ^ {2} amp; - xy amp; -xz \\ - yx amp; x ^ {2} + z ^ {2} amp; - yz \\ - zx amp; -zy amp; x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix }}.}$

Этот продукт может быть вычислен с использованием матрицы, образованной внешним продуктом [ R R ^T ], с использованием идентификатора

${\ Displaystyle - [R] ^ {2} = | \ mathbf {R} | ^ {2} [E_ {3}] - [\ mathbf {R} \ mathbf {R} ^ {T}] = {\ begin {bmatrix} x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} x ^ {2} amp; xy amp; xz \\ yx amp; y ^ {2} amp; yz \\ zx amp; zy amp; z ^ {2} \ end {bmatrix}},}$

где [ E 3 ] - единичная матрица 3 × 3.

Также обратите внимание, что

${\ displaystyle | \ mathbf {R} | ^ {2} = \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} = \ operatorname {tr} [\ mathbf {R} \ mathbf {R} ^ {T}], }$

где tr обозначает сумму диагональных элементов матрицы внешнего произведения, известную как ее след.

• Христиан Гюйгенс
• Якоб Штайнер
• Момент инерции
• Теорема о перпендикулярной оси
• Динамика жесткого тела
• Правило растяжения

• Теорема о параллельной оси
• Момент тензора инерции
• Видео о тензоре инерции