содержание Минковского

редактировать

Содержание Минковского (назван в честь Германа Минковского ) или граничная мера множества - это базовая концепция, в которой используются концепции из геометрии и теории меры для обобщения понятий длины гладкой кривой на плоскости и площади гладкой поверхности в пространстве на произвольные измеримые множества.

Обычно применяется к фрактальным границам доменов в евклидовом пространстве, но его также можно использовать в контексте общей метрической меры

Относится к мере Хаусдорфа, хотя и отличается от нее.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 См. также
4 Сноски
5 Ссылки

Определение

Для $A ⊂ R n {\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R } ^ {n}}$ , и каждое целое число m с $0 ≤ m ≤ n {\ displaystyle 0 \ leq m \ leq n}$ ${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq n}$ , m-мерное верхнее содержание Минковского равно

M ∗ m (A) = lim sup r → 0 + μ ({x: d (x, A) < r }) α ( n − m) r n − m {\displaystyle M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)

{\ displaystyle M ^ {* m} (A) = \ limsup _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x: d (x, A) <r \})} {\ alpha (нм) r ^ {нм}}}}

и m-мерное нижнее Содержание Минковского определяется как

M ∗ m (A) = lim inf r → 0 + μ ({x: d (x, A) < r }) α ( n − m) r n − m {\displaystyle M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)

{\ displaystyle M _ {*} ^ {m} (A) = \ liminf _ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ mu (\ {x : d (x, A) <r \})} {\ alpha (nm) r ^ {nm}}}}

где $α (n - m) rn - m {\ displaystyle \ alpha (nm) r ^ {nm}}$ ${\ displaystyle \ alpha (nm) r ^ {nm}}$ - объем шара (n − m) радиуса r и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ является $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерной мерой Лебега.

Если верхнее и нижнее m-мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M (A).

Свойства

Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m-мерное содержание Минковского в R не является мерой, если m = 0, и в этом случае это счетная мера. Действительно, очевидно, что контент Минковского присваивает то же значение набору A, а также его закрытию.
Если A является замкнутым m- исправляемым набором в R, учитывая как образ ограниченного множества из R при липшицевой функции, то m-мерное содержание Минковского A существует и равно m-мерной мере Хаусдорфа из A.

См. Также

Сноски

Ссылки

Федерер, Герберт (1969), Теория геометрической меры, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
Кранц, Стивен Дж.; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0 -8176-4097-5, MR 1730695.