Погрешность измерения

редактировать
Не путать с ошибкой измерения.

В метрологии, погрешность измерения является выражением статистической дисперсии значений, приписываемых измеряемой величины. Все измерения подвержены неопределенности, и результат измерения считается полным только в том случае, если он сопровождается заявлением о связанной с ним неопределенности, такой как стандартное отклонение. По международному соглашению эта неопределенность имеет вероятностную основу и отражает неполное знание величины величины. Это неотрицательный параметр.

Неопределенность измерения часто принимается как стандартное отклонение распределения вероятности уровня знаний по возможным значениям, которые могут быть отнесены к измеряемой величине. Относительная неопределенность - это неопределенность измерения относительно величины конкретного единственного выбора значения для измеряемой величины, когда этот выбор не равен нулю. Этот конкретный единственный выбор обычно называется измеренным значением, которое может быть оптимальным в некотором четко определенном смысле (например, среднее значение, медиана или мода ). Таким образом, относительная неопределенность измерения - это неопределенность измерения, деленная на абсолютное значение измеренного значения, когда измеренное значение не равно нулю.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Справочная информация
  • 2 Косвенное измерение
  • 3 Распространение распределений
  • 4 Оценка неопределенности типа A и типа B
  • 5 коэффициентов чувствительности
  • 6 Оценка неопределенности
    • 6.1 Модели с любым количеством выходных величин
  • 7 Неопределенность как интервал
  • 8 См. Также
  • 9 ссылки
  • 10 Дальнейшее чтение
  • 11 Внешние ссылки

Задний план

Целью измерения является предоставление информации о количестве интереса - к измеряемой величине. Например, измеряемой величиной может быть размер цилиндрического элемента, объем сосуда, разность потенциалов между выводами батареи или массовая концентрация свинца в колбе с водой.

Нет точных измерений. Когда величина измеряется, результат зависит от измерительной системы, процедуры измерения, навыков оператора, окружающей среды и других факторов. Даже если величина должна быть измерена несколько раз одним и тем же способом и в одних и тех же обстоятельствах, как правило, каждый раз будет получаться другое измеренное значение, если предположить, что измерительная система имеет достаточную разрешающую способность, чтобы различать значения.

Разброс измеренных значений будет зависеть от того, насколько хорошо выполняется измерение. Их среднее значение обеспечило бы оценку истинного значения величины, которая, как правило, была бы более надежной, чем отдельное измеренное значение. Дисперсия и количество измеренных значений предоставят информацию, относящуюся к среднему значению в качестве оценки истинного значения. Однако, как правило, этой информации недостаточно.

Измерительная система может предоставлять измеренные значения, которые не разбросаны относительно истинного значения, а имеют некоторое отклонение от него. Возьмем бытовые весы для ванной. Предположим, он настроен не на отображение нуля, когда на шкале никого нет, а на отображение некоторого смещения значения от нуля. Тогда, независимо от того, сколько раз измерялась масса человека, эффект этого смещения по своей сути будет присутствовать в среднем значении.

«Руководство по выражению неопределенности в измерениях» (широко известное как GUM) является исчерпывающим документом по этому вопросу. GUM был принят всеми основными национальными измерительными институтами (NMI) и международными стандартами аккредитации лабораторий, такими как ISO / IEC 17025 Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий, что требуется для международной аккредитации лабораторий ; и используется в большинстве современных национальных и международных документальных стандартов на методы и технологии измерений. См. Объединенный комитет руководств по метрологии.

Неопределенность измерения имеет важные экономические последствия для калибровки и измерений. В отчетах о калибровке величина неопределенности часто принимается как показатель качества лаборатории, а меньшие значения неопределенности обычно имеют более высокую ценность и более высокую стоимость. Американское общество инженеров - механиков (ASME) подготовил набор стандартов, касающихся различных аспектов неопределенности измерения. Например, стандарты ASME используются для решения роли неопределенности измерения при приемке или отклонении продукции на основе результата измерения и спецификации продукта, обеспечивают упрощенный подход (по сравнению с GUM) к оценке неопределенности измерения размеров, разрешают разногласия по поводу величину заявления о неопределенности измерения или предоставить руководство по рискам, связанным с любым решением о приемке / отклонении продукции.

Косвенное измерение

Вышеупомянутое обсуждение касается прямого измерения величины, которое, кстати, случается редко. Например, весы для ванной могут преобразовывать измеренное удлинение пружины в оценку измеряемой величины, то есть массы человека на весах. Конкретное соотношение между удлинением и массой определяется калибровкой весов. Измерение Модель преобразует значение количества в соответствующем значение измеряемой величины.

На практике существует множество видов измерений и, следовательно, множество моделей. Простая модель измерения (например, весы, масса которых пропорциональна длине пружины) может быть достаточной для повседневного домашнего использования. В качестве альтернативы, более сложная модель взвешивания, включающая дополнительные эффекты, такие как плавучесть воздуха, способна обеспечить лучшие результаты для промышленных или научных целей. В общем, часто существует несколько различных величин, например температура, влажность и смещение, которые способствуют определению измеряемой величины и которые необходимо измерить.

Условия коррекции должны быть включены в модель измерения, если условия измерения не совсем такие, как оговорено. Эти термины соответствуют систематическим ошибкам. Учитывая оценку поправочного члена, соответствующая величина должна быть скорректирована с помощью этой оценки. С оценкой будет связана неопределенность, даже если оценка равна нулю, как это часто бывает. Случаи систематических ошибок возникают при измерении высоты, когда измерительный прибор не совсем вертикальный, а температура окружающей среды отличается от предписанной. Ни юстировка прибора, ни температура окружающей среды не указаны точно, но информация, касающаяся этих эффектов, доступна, например, отсутствие юстировки составляет не более 0,001 °, а температура окружающей среды во время измерения отличается от предусмотренной не более чем на 2 градуса. ° C.

Помимо необработанных данных, представляющих измеренные значения, существует еще одна форма данных, которая часто требуется в модели измерения. Некоторые из таких данных относятся к величинам, представляющим физические константы, каждая из которых известна несовершенно. Примерами являются константы материала, такие как модуль упругости и удельная теплоемкость. Часто в справочниках, сертификатах калибровки и т. Д. Приводятся другие соответствующие данные, которые рассматриваются как оценки дополнительных количеств.

Элементы, необходимые модели измерения для определения измеряемой величины, известны как входные величины в модели измерения. Модель часто называют функциональной взаимосвязью. Выходная величина в модели измерения - это измеряемая величина.

Формально выходная величина, обозначенная как, о том, какая информация требуется, часто связана с входными величинами, обозначенными как, о том, какая информация доступна, с помощью модели измерения в виде Y {\ displaystyle Y} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}

Y знак равно ж ( Икс 1 , , Икс N ) , {\ Displaystyle Y = F (X_ {1}, \ ldots, X_ {N}),}

где известна как функция измерения. Общее выражение для модели измерения: ж {\ displaystyle f}

час ( Y , {\ displaystyle h (Y,} Икс 1 , , Икс N ) знак равно 0. {\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}) = 0.}

Предполагается, что существует процедура вычисления заданного, однозначно определяемая этим уравнением. Y {\ displaystyle Y} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Y {\ displaystyle Y}

Распространение раздач

Смотрите также: Распространение неопределенности

Истинные значения входных величин неизвестны. В подходе GUM они характеризуются распределениями вероятностей и математически рассматриваются как случайные величины. Эти распределения описывают соответствующие вероятности их истинных значений, лежащих в разных интервалах, и назначаются на основе имеющихся знаний относительно. Иногда некоторые или все из них взаимосвязаны, и соответствующие распределения, известные как совместные, применяются к этим величинам, взятым вместе. Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}

Рассмотрим, соответственно, оценки входных величин, полученные из сертификатов и отчетов, спецификаций производителей, анализа данных измерений и т. Д. Распределения вероятностей, характеризующая выбраны таким образом, что оценки, соответственно, являются ожидания от. Кроме того, для th входной величины рассмотрим так называемую стандартную неопределенность с учетом символа, определяемую как стандартное отклонение входной величины. Эта стандартная неопределенность называется связанной с (соответствующей) оценкой. Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} я {\ displaystyle i} ты ( Икс я ) {\ Displaystyle и (х_ {я})} Икс я {\ displaystyle X_ {i}} Икс я {\ displaystyle x_ {i}}

Использование имеющихся знаний для установления распределения вероятностей для характеристики каждой представляющей интерес величины применимо и к, и к. В последнем случае характерное распределение вероятностей для определяется моделью измерения вместе с распределениями вероятностей для. Определение распределения вероятностей на основе этой информации известно как распространение распределений. Икс я {\ displaystyle X_ {i}} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y} Икс я {\ displaystyle X_ {i}} Y {\ displaystyle Y}

На приведенном ниже рисунке изображена модель измерения в случае, когда и каждый характеризуется (другим), прямоугольным или равномерной, распределением вероятностей. в этом случае имеет симметричное трапециевидное распределение вероятностей. Y знак равно Икс 1 + Икс 2 {\ Displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2}} Икс 1 {\ displaystyle X_ {1}} Икс 2 {\ displaystyle X_ {2}} Y {\ displaystyle Y}

Аддитивная функция измерения с двумя входными величинами? 'quot;` UNIQ - postMath-00000020-QINU` quot;'? и? 'quot;` UNIQ - postMath-00000021-QINU` quot;'? характеризуется прямоугольными распределениями вероятностей

После того, как входные величины были охарактеризованы соответствующими распределениями вероятностей и была разработана модель измерения, распределение вероятностей для измеряемой величины полностью определяется в терминах этой информации. В частности, математическое ожидание используется в качестве оценки, а стандартное отклонение - в качестве стандартной неопределенности, связанной с этой оценкой. Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y}

Часто требуется интервал, содержащий с определенной вероятностью. Такой интервал, интервал охвата, может быть выведен из распределения вероятностей для. Указанная вероятность известна как вероятность покрытия. Для данной вероятности охвата существует более одного интервала охвата. Вероятностно симметричный интервал охвата - это интервал, для которого вероятности (в сумме до единицы минус вероятность охвата) значения слева и справа от интервала равны. Самый короткий интервал охвата - это интервал, длина которого меньше всех интервалов охвата, имеющих одинаковую вероятность охвата. Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y}

Также можно учитывать предварительные знания об истинном значении выходной величины. Для домашних весов для ванной тот факт, что масса человека положительна и что измеряется масса человека, а не автомобиля, представляет собой предварительное знание о возможных значениях измеряемой величины. этот пример. Такую дополнительную информацию можно использовать для обеспечения распределения вероятностей, которое может дать меньшее стандартное отклонение и, следовательно, меньшую стандартную неопределенность, связанную с оценкой. Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y} Y {\ displaystyle Y}

Оценка неопределенности типа A и типа B

Знания о входной величине выводятся из повторяющихся измеренных значений («Оценка неопределенности типа A»), или научного заключения или другой информации, касающейся возможных значений величины («Оценка неопределенности типа B»). Икс я {\ displaystyle X_ {i}}

При оценке неопределенности измерения типа А часто делается допущение, что распределение, наилучшим образом описывающее входную величину с учетом ее повторяющихся измеренных значений (полученных независимо), является распределением Гаусса. затем имеет математическое ожидание, равное среднему измеренному значению, и стандартное отклонение, равное стандартному отклонению среднего значения. Когда неопределенность оценивается по небольшому количеству измеренных значений (рассматриваемых как экземпляры величины, характеризующейся гауссовым распределением), соответствующее распределение может быть принято как t -распределение. Другие соображения применимы, когда измеренные значения не получены независимо. Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X}

Для оценки неопределенности типа B часто единственной доступной информацией является то, что она находится в заданном интервале [ ]. В таком случае знание величины может быть охарактеризовано прямоугольным распределением вероятностей с пределами и. Если бы была доступна другая информация, использовалось бы распределение вероятностей, соответствующее этой информации. Икс {\ displaystyle X} а , б {\ displaystyle a, b} а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b}

Коэффициенты чувствительности

Основная статья: Анализ чувствительности

Коэффициенты чувствительности описывают, как оценка от будет зависеть от небольших изменений в оценках входных величин. Для модели измерения, коэффициент чувствительности равен частной производной первого порядка по отношению к оценивали при, и т.д. Для линейной модели измерения c 1 , , c N {\ Displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {N}} у {\ displaystyle y} Y {\ displaystyle Y} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}} Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Y знак равно ж ( Икс 1 , , Икс N ) {\ Displaystyle Y = F (X_ {1}, \ ldots, X_ {N})} c я {\ displaystyle c_ {i}} ж {\ displaystyle f} Икс я {\ displaystyle X_ {i}} Икс 1 знак равно Икс 1 {\ Displaystyle X_ {1} = x_ {1}} Икс 2 знак равно Икс 2 {\ Displaystyle X_ {2} = x_ {2}}

Y знак равно c 1 Икс 1 + + c N Икс N , {\ Displaystyle Y = c_ {1} X_ {1} + \ cdots + c_ {N} X_ {N},}

с независимым, изменение равно даст изменение в этом заявлении, как правило, приблизительно для измерения моделей. Относительные величины членов полезны при оценке соответствующих вкладов входных величин в стандартную неопределенность, связанную с. Стандартная неопределенность, связанная с оценкой выходной величины, выражается не суммой, а совокупностью этих членов в квадратуре, а именно выражением, которое обычно является приближенным для моделей измерения: Икс 1 , , Икс N {\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}} Икс я {\ displaystyle x_ {i}} ты ( Икс я ) {\ Displaystyle и (х_ {я})} c я ты ( Икс я ) {\ Displaystyle c_ {я} и (х_ {я})} у . {\ displaystyle y.} Y знак равно ж ( Икс 1 , , Икс N ) {\ Displaystyle Y = F (X_ {1}, \ ldots, X_ {N})} | c я | ты ( Икс я ) {\ displaystyle | c_ {i} | u (x_ {i})} ты ( у ) {\ Displaystyle и (у)} у {\ displaystyle y} ты ( у ) {\ Displaystyle и (у)} у {\ displaystyle y} Y {\ displaystyle Y} | c я | ты ( Икс я ) {\ displaystyle | c_ {i} | u (x_ {i})} Y знак равно ж ( Икс 1 , , Икс N ) {\ Displaystyle Y = F (X_ {1}, \ ldots, X_ {N})}

ты 2 ( у ) знак равно c 1 2 ты 2 ( Икс 1 ) + + c N 2 ты 2 ( Икс N ) , {\ displaystyle u ^ {2} (y) = c_ {1} ^ {2} u ^ {2} (x_ {1}) + \ cdots + c_ {N} ^ {2} u ^ {2} (x_ {N}),}

который известен как закон распространения неопределенности.

Когда входные величины содержат зависимости, приведенная выше формула дополняется членами, содержащими ковариации, которые могут увеличиваться или уменьшаться. Икс я {\ displaystyle X_ {i}} ты ( у ) {\ Displaystyle и (у)}

Оценка неопределенности

См. Также: Анализ неопределенности и Качество аналитических результатов.

Основные этапы оценки неопределенности составляют формулировку и расчет, последний состоит из распространения и обобщения. Стадия формулировки составляет

  1. определение выходной величины (измеряемой величины), Y {\ displaystyle Y}
  2. определение входных величин, от которых зависит, Y {\ displaystyle Y}
  3. разработка модели измерения, относящейся к входным величинам, и Y {\ displaystyle Y}
  4. на основе имеющихся знаний присвоение распределений вероятностей - гауссовых, прямоугольных и т. д. - входным величинам (или совместное распределение вероятностей для тех входных величин, которые не являются независимыми).

Этап расчета состоит из распространения распределений вероятностей для входных величин через модель измерения для получения распределения вероятностей для выходной величины и суммирования с использованием этого распределения для получения Y {\ displaystyle Y}

  1. ожидание, взятое в качестве оценки из, Y {\ displaystyle Y} у {\ displaystyle y} Y {\ displaystyle Y}
  2. стандартное отклонение, принятое как стандартная неопределенность, связанная с, и Y {\ displaystyle Y} ты ( у ) {\ Displaystyle и (у)} у {\ displaystyle y}
  3. интервал покрытия, содержащий заданную вероятность покрытия. Y {\ displaystyle Y}

Этап распространения оценки неопределенности известен как распространение распределений, для которого доступны различные подходы, в том числе

  1. структура неопределенности GUM, представляющая собой применение закона распространения неопределенности и характеристику выходной величины с помощью гауссова или a -распределения, Y {\ displaystyle Y} т {\ displaystyle t}
  2. аналитические методы, в которых математический анализ используется для получения алгебраической формы распределения вероятностей для, и Y {\ displaystyle Y}
  3. методом Монте - Карло, в котором приближение к функции распределения устанавливается численно путем случайной извлекает из распределений вероятностей для входных величин, и оценку модели на полученных значений. Y {\ displaystyle Y}

Для любой конкретной задачи оценки неопределенности используется подход 1), 2) или 3) (или какой-либо другой подход), 1) в целом приближенный, 2) точный и 3) обеспечивающий решение с числовой точностью, которую можно контролировать.

Модели с любым количеством выходных величин

Когда модель измерения является многомерной, то есть имеет любое количество выходных величин, вышеуказанные концепции могут быть расширены. Выходные величины теперь описываются совместным распределением вероятностей, интервал охвата становится областью охвата, закон распространения неопределенности имеет естественное обобщение, и доступна процедура расчета, реализующая многомерный метод Монте-Карло.

Неопределенность как интервал

См. Также: Доверительный интервал

Наиболее распространенный взгляд на неопределенность измерений использует случайные величины в качестве математических моделей для неопределенных величин и простых распределений вероятностей, достаточных для представления неопределенностей измерений. Однако в некоторых ситуациях математический интервал может быть лучшей моделью неопределенности, чем распределение вероятностей. Сюда могут входить ситуации, включающие периодические измерения, значения бинов, цензуру, пределы обнаружения или диапазоны измерений плюс-минус, когда никакое конкретное распределение вероятностей не кажется оправданным или когда нельзя предположить, что ошибки отдельных измерений полностью независимы.

Более надежное представление неопределенности измерения в таких случаях может быть получено из интервалов. Интервал [ a, b ] отличается от прямоугольного или равномерного распределения вероятностей в том же диапазоне тем, что последнее предполагает, что истинное значение находится внутри правой половины диапазона [( a  +  b) / 2,  b ] с вероятностью одна половина и в пределах любого подынтервала [ a, b ] с вероятностью, равной ширине подынтервала, деленной на b  -  a. Интервал не делает таких заявлений, за исключением того, что измерение находится где-то в пределах интервала. Распределение таких интервалов измерения можно суммировать в виде ящиков вероятности и структур Демпстера – Шейфера по действительным числам, которые включают как алеаторические, так и эпистемологические неопределенности.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-02 04:13:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте