Войти
В философии и логике классический парадокс лжеца или парадокс лжеца или антиномия лжеца - это утверждение лжеца о том, что он лжет: например, заявление «Я лгу». Если лжец действительно лжет, значит, лжец говорит правду, что означает, что лжец просто солгал. В слове «это предложение - ложь» парадокс усилен, чтобы сделать его поддающимся более строгому логическому анализу. Это все еще обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстрагирование делается именно от лжеца, делающего заявление. Попытка присвоить этому утверждению усиленный лжец классическое бинарное значение истинности приводит к противоречию.
Если «это предложение ложно» верно, то оно ложно, но предложение заявляет, что это ложь, а если это ложь, то это должно быть правдой и так далее.
Парадокс Эпименида (около 600 г. до н.э.) был предложен как пример парадокса лжеца, но они логически не эквивалентны. Полумифический провидец Эпименид, критянин, как сообщается, заявил, что «все критяне лжецы». Однако утверждение Эпименида о том, что все критяне лжецы, можно признать ложным, учитывая, что он знает по крайней мере еще одного критянина, который не лжет. Именно для того, чтобы избежать неопределенностей, проистекающих из человеческого фактора и нечетких концепций, современные логики предложили «усиленного» лжеца, такого как предложение «это предложение ложно».
Название парадокса переводится как pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) в Древнегреческом. Одна из версий парадокса лжеца приписывается греческому философу Евбулиду из Милета, жившему в 4 веке до нашей эры. Евбулид, как сообщается, спросил: «Человек говорит, что он лжет. Верно или ложно то, что он говорит?»
Этот парадокс однажды обсуждал Св. Джером в проповеди:
"Я в тревоге сказал: «Каждый человек лжец! « Давид говорит правду или он лжет? Если это правда, что каждый мужчина лжец, и утверждение Давида: «Каждый лжец» верно, то и Давид лжет; он тоже человек. Но если он тоже лжет, его утверждение, что «Каждый человек лжец» ", следовательно, неверно. Как бы вы ни перевернули это утверждение, вывод будет противоречивым. Поскольку Давид сам является человеком, отсюда следует, что он также лжет; но если он лжет, потому что каждый человек лжец, его ложь
Индийский грамматист-философ Бхартрахари (конец пятого века нашей эры) хорошо знал парадокс лжеца, который он сформулировал как «все, что я говорю, ложно» (сарвам митхья бравими) Он анализирует это утверждение вместе с парадоксом «несущественности» и исследует границу между утверждениями, которые не вызывают проблем в повседневной жизни, и парадоксами.
Состоялось обсуждение парадокса лжеца i В ранней исламской традиции в течение по крайней мере пяти веков, начиная с конца 9 века, и, очевидно, не находясь под влиянием какой-либо другой традиции. Натир ад-Дин аль-Хуси мог быть первым логиком, который идентифицировал парадокс лжеца как самоотнесение.
Проблема парадокса лжеца заключается в что это, кажется, показывает, что общие представления о истине и ложности на самом деле приводят к противоречию. Могут быть составлены предложения, которым нельзя последовательно присвоить значение истинности, даже если они полностью соответствуют правилам грамматики и семантики.
Простейшая версия парадокса - это предложение:
A: Это утверждение (A) неверно.Если (A) верно, то «Это утверждение является false "верно. Следовательно, (A) должно быть ложным. Гипотеза о том, что (A) истинно, приводит к заключению, что (A) ложно; противоречие.
Если (A) ложно, то «Это утверждение неверно» неверно. Следовательно, (A) должно быть истинным. Гипотеза о том, что (A) неверно, приводит к заключению, что (A) истинно, это еще одно противоречие. В любом случае (A) одновременно истинно и ложно, что является парадоксом.
Однако то, что предложение лжеца может быть доказано как истинное, если оно ложно, и ложное, если оно истинно, привело некоторых к заключению, что оно не является «ни истинным, ни ложным». Этот ответ на парадокс, по сути, является отрицанием утверждения о том, что каждое утверждение должно быть истинным или ложным, также известного как принцип двухвалентности, концепция, связанная с законом исключенная середина.
Предположение, что утверждение не является ни истинным, ни ложным, привело к следующей, усиленной версии парадокса:
Это утверждение не соответствует действительности. (B)Если (B) не является ни истинным, ни ложным, то оно не должно быть истинным . Поскольку это то, что утверждает сам (B), это означает, что (B) должно быть true . Поскольку изначально (B) не было true, а теперь верно, возникает другой парадокс.
Другая реакция на парадокс (A) состоит в том, чтобы постулировать, как это сделал Грэм Прист, что утверждение одновременно истинно и ложно. Тем не менее, даже анализ Приста восприимчив к следующей версии лжеца:
Это утверждение только ложно. (C)Если (C) одновременно истина и ложь, то (C) только ложь. Но тогда это не правда . Поскольку изначально (C) было истина, а теперь не истина, это парадокс. Однако утверждалось, что, приняв двузначную реляционную семантику (в отличие от функциональной семантики ), диалетеический подход может преодолеть эту версию лжеца.
Существуют также версии парадокса лжеца, состоящие из нескольких предложений. Ниже приводится версия из двух предложений:
Следующее утверждение верно. (D1) Предыдущее утверждение неверно. (D2)Предположим, что (D1) верно. Тогда (D2) верно. Это означало бы, что (D1) ложно. Следовательно, (D1) одновременно истинно и ложно.
Предположим, что (D1) неверно. Тогда (D2) ложно. Это означало бы, что (D1) верно. Таким образом, (D1) одновременно истинно и ложно. В любом случае (D1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и (A) выше.
Вариант парадокса лжеца, состоящий из нескольких предложений, обобщается на любую циклическую последовательность таких утверждений (где последнее утверждение утверждает истинность / ложность первого утверждения) при условии, что имеется нечетное количество утверждений, утверждающих ложность. их преемника; Ниже приводится версия из трех предложений, в которой каждое утверждение утверждает ложность своего преемника:
E2 ложно. (E1) E3 ложно. (E2) E1 ложно. (E3)Предположим, что (E1) верно. Тогда (E2) ложно, что означает, что (E3) истинно, и, следовательно, (E1) ложно, что приводит к противоречию.
Предположим, что (E1) неверно. Тогда (E2) истинно, что означает, что (E3) ложно, и, следовательно, (E1) истинно. В любом случае (E1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и для (A) и (D1).
Возможно множество других вариантов и множество дополнений. В обычном построении предложения простейшей версией дополнения является предложение:
Это утверждение верно. (F)Если предполагается, что F имеет значение истинности, тогда возникает проблема определения объекта этого значения. Но возможна и более простая версия, если предположить, что единственное слово «истина» имеет значение истинности. Аналог парадокса заключается в предположении, что единственное слово «ложь» также имеет значение истинности, а именно, что оно ложно. Это показывает, что парадокс можно свести к мысленному акту предположения, что сама идея заблуждения имеет истинное значение, а именно, что сама идея заблуждения ложна: акт искажения. Итак, симметричная версия парадокса будет выглядеть так:
Следующее утверждение неверно. (G1) Предыдущее утверждение неверно. (G2)Альфред Тарский диагностировал парадокс как возникающий только в языках, которые «семантически закрыты», под которым он имел в виду язык, в котором одно предложение может предикатировать истинность (или ложность) другого предложения на том же языке (или даже самого себя). Чтобы избежать внутреннего противоречия, при обсуждении значений истинности необходимо представить себе уровни языков, каждый из которых может предикатировать истину (или ложь) только языков на более низком уровне. Итак, когда одно предложение ссылается на истинностное значение другого, оно семантически выше. Упомянутое предложение является частью «объектного языка», в то время как относящееся предложение считается частью «метаязыка» по отношению к объектному языку. Для предложений на «языках» выше по семантической иерархии законно относиться к предложениям ниже в «языковой» иерархии, но не наоборот. Это предотвращает превращение системы в самореферентную.
Однако эта система неполная. Хотелось бы иметь возможность делать такие утверждения, как «Для каждого утверждения на уровне α иерархии существует утверждение на уровне α + 1, которое утверждает, что первое утверждение ложно». Это истинное, значимое утверждение об иерархии, которую определяет Тарский, но оно относится к утверждениям на каждом уровне иерархии, поэтому оно должно быть выше каждого уровня иерархии и, следовательно, невозможно внутри иерархии (хотя и ограниченные версии
Артур Прайор утверждает, что в парадоксе лжеца нет ничего парадоксального. Его утверждение (которое он приписывает Чарльзу Сандерсу Пирсу и Джону Буридану ) состоит в том, что каждое утверждение включает в себя неявное утверждение своей собственной истинности. Так, например, утверждение «Верно, что два плюс два равно четырем» не содержит больше информации, чем утверждение «два плюс два равно четырем», потому что фраза «верно, что...» всегда присутствует неявно. И в самореференциальном духе Парадокса лжецов фраза «это правда, что...» эквивалентна «все это утверждение верно и...».
Таким образом, следующие два утверждения эквивалентны:
Это утверждение неверно. Это утверждение истинно, а это утверждение ложно.Последнее утверждение простое противоречие в форме «А, а не А» и, следовательно, неверно. Следовательно, нет никакого парадокса, потому что утверждение, что этот двусвязный лжец ложен, не ведет к противоречию. Юджин Миллс дает аналогичный ответ.
Саул Крипке утверждал, что вопрос о том, является ли предложение парадоксальным, может зависеть от случайных фактов. Если единственное, что Смит говорит о Джонсе, это
Большая часть того, что Джонс говорит обо мне, ложно.и Джонс говорит о Смите только три вещи:
Смит - это Смит не любит преступления. Все, что Смит говорит обо мне, - правда.Если Смит действительно является крупным спонсором, но не любит преступления, тогда и замечание Смита о Джонсе, и последнее замечание Джонса о Смите парадоксальны.
Крипке предлагает следующее решение. Если истинность утверждения в конечном итоге связана с каким-то поддающимся оценке фактом о мире, это утверждение «обосновано». Если нет, то это утверждение «необоснованно». Необоснованные утверждения не имеют истинной ценности. Заявления лжеца и утверждения, похожие на лжецы, необоснованны и, следовательно, не имеют ценности.
Джон Барвайз и Джон Этчменди предполагают, что фраза лжеца (которую они интерпретируют как синоним «Усиленного лжеца») неоднозначна. Они основывают свой вывод на различии, которое они проводят между «отрицанием» и «отрицанием». Если лжец имеет в виду: «Это утверждение не верно», то он отрицает само себя. Если это означает: «Это утверждение не соответствует действительности», то оно отрицает само себя. Они продолжают аргументировать, основываясь на семантике ситуаций, что «отрицание лжеца» может быть истинным без противоречий, в то время как «отрицание лжецом» может быть ложным без противоречия. В их книге 1987 года широко используется необоснованная теория множеств.
Грэм Прист и другие логики, в том числе Джей Си Билл и Брэдли Армор-Гарб, предложили, чтобы приговор лжеца был следующим: Эта точка зрения, которая считается истинной и ложной, известна как диалетеизм. Диалетеизм - это взгляд на истинные противоречия. Диалетеизм поднимает собственные проблемы. Главный из них состоит в том, что, поскольку диалетеизм признает истинным парадокс лжеца, внутреннее противоречие, он должен отказаться от давно признанного принципа взрыва, который утверждает, что любое утверждение может быть выведено из противоречия, если только Диалетеист готов принять тривиализм - точку зрения, согласно которой все утверждения верны. Поскольку тривиализм - это интуитивно ложная точка зрения, диалетеисты почти всегда отвергают принцип взрыва. Логика, которая его отвергает, называется паранепротиворечивым.
Эндрю Ирвин выступает в пользу некогнитивистского решения парадокса, предполагая, что некоторые явно правильно сформированные предложения окажутся быть ни истинным, ни ложным, и что «одних формальных критериев неизбежно окажется недостаточно» для разрешения парадокса.
Индийский грамматист-философ Бхартрахари (конец пятого век н.э.) имел дело с парадоксами, такими как лжец в разделе одной из глав своего magnum opus the Vākyapadīya. Хотя в хронологическом порядке он предшествует всем современным трактовкам проблемы парадокса лжеца, только совсем недавно для тех, кто не умеет читать оригинальные санскритские источники, стало возможным сопоставить его взгляды и анализ с взглядами современных логиков и философов, потому что достаточно надежные издания и переводы. его работы стали доступны только со второй половины 20 века. Решение Бхартхари вписывается в его общий подход к языку, мысли и реальности, который некоторые охарактеризовали как «релятивистский», «ни к чему не обязывающий» или «перспективистский». Что касается парадокса лжеца (сарвам митхйа бхавами «все, что я говорю - ложь»), Бхартхари определяет скрытый параметр, который может превратить беспроблемные ситуации в повседневном общении в упорный парадокс. Решение Бхартхари можно понять в терминах решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: «Парадоксы поглощают сами себя. Но мы можем отделить враждующие стороны противоречия с помощью простого средства временной контекстуализации: что« истинно »по отношению к одному момент времени не обязательно должен быть таким в другом... Общая сила аргумента «Остиниан» заключается не только в том, что «вещи меняются», но и в том, что рациональность по сути является временной, поскольку нам нужно время, чтобы примирить и управлять тем, что в противном случае быть взаимно деструктивными состояниями ". Согласно предложению Роберта, именно фактор «время» позволяет нам примирить отдельные «части мира», которые играют решающую роль в решении Барвайса и Эчеменди. Способность времени предотвратить прямую конфронтацию двух «частей света» здесь является внешней по отношению к «лжецу». Однако в свете анализа Бхартхари протяженность во времени, которая разделяет две точки зрения на мир или две «части мира» - часть до и часть после того, как функция выполняет свою задачу, - присуще любой «функции»: также функция для обозначения, которая лежит в основе каждого утверждения, включая «лжеца». Неразрешимый парадокс - ситуация, в которой мы имеем либо противоречие (виродха), либо бесконечный регресс (анавастха), - возникает в случае лжеца и других парадоксов, таких как парадокс малозначащейся (парадокс Бхартхари ), когда абстракция создается из этой функции (vyāpāra) и ее расширения во времени, путем принятия одновременной противоположной функции (apara vyāpāra), отменяющей предыдущую.
Для лучшего понимания парадокса лжеца полезно записать его более формальным образом. Если "это утверждение ложно" обозначается A и его значение истинности ищется, необходимо найти условие, которое ограничивает выбор возможных значений истинности A. Поскольку A самореферентный он можно задать условие уравнением.
Если какое-то утверждение B считается ложным, пишется «B = false». Утверждение (C) о том, что утверждение B ложно, будет записано как «C = 'B = false'». Теперь парадокс лжеца может быть выражен как утверждение A, что A ложно:
A = "A = false"Это уравнение, из которого истинное значение A = " это утверждение ложно "можно надеяться получить. В логической области «A = false» эквивалентно «not A», и поэтому уравнение не разрешимо. Это мотивация для переосмысления А. Простейшим логическим подходом к решению уравнения является диалетеистический подход, и в этом случае решение состоит в том, что А одновременно «истинно» и «ложно». Другие разрешения в основном включают некоторые модификации уравнения; Артур Прайор утверждает, что уравнение должно быть «A = 'A = false и A = true'», и поэтому A ложно. В вычислительной глагольной логике парадокс лжеца распространяется на такие утверждения, как «Я слышу, что он говорит; он говорит то, что я не слышу», где для разрешения парадокса необходимо использовать логику глаголов.
Теоремы Гёделя о неполноте - это две фундаментальные теоремы математической логики, которые устанавливают ограничения, присущие достаточно мощным аксиоматическим системам для математики. Эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1931 году и имеют важное значение в философии математики. Грубо говоря, при доказательстве первой теоремы о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив «это предложение ложно» на «это предложение недоказуемо», названное «предложение Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T G истинна, но не доказуема в T. Анализ истинности и доказуемости G является формализованной версией анализа истинности лживого предложения.
Чтобы доказать первую теорему о неполноте, Гёдель представил утверждения числами. Затем имеющаяся теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представлены как вопросы о свойствах чисел, которые были бы разрешены теорией, если бы она была полной. Таким образом, предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа с некоторым странным свойством. Число с этим свойством закодировало бы доказательство несостоятельности теории. Если бы было такое число, то теория была бы противоречивой, вопреки гипотезе согласованности. Итак, если предположить, что теория непротиворечива, такого числа не существует.
Невозможно заменить «недоказуемое» на «ложное» в предложении Гёделя, потому что предикат «Q - гёделевское число ложной формулы» не может быть представлен как формула арифметики. Этот результат, известный как теорема Тарского о неопределенности, был открыт независимо Геделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфредом Тарским.
Джорджем Булосом с тех пор. набросал альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, которое использует парадокс Берри вместо парадокса лжеца для построения истинной, но недоказуемой формулы.
Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе, чтобы отключить искусственный интеллект, который представлен как неспособный обработать приговор. В эпизоде Star Trek: The Original Series "I, Mudd " парадокс лжеца используется капитаном Кирком и Гарри Маддом, чтобы запутать и в конечном итоге отключить андроида, удерживающего их в плену. В 1973 году Доктор Кто сериал Зеленая смерть Доктор временно ставит в тупик безумного компьютерного БОССА, спрашивая его: «Если бы я сказал вам, что следующее, что я скажу, было бы правдой, но последнее, что я сказал, было ложью, вы мне поверите? " Однако БОСС в конце концов решает, что вопрос не имеет значения, и вызывает охрану.
В видеоигре 2011 года Portal 2, GLaDOS пытается использовать парадокс «это предложение ложно», чтобы победить наивный искусственный интеллект Уитли, но, не имея ума, чтобы понять это утверждение как парадокс, он просто отвечает: «Гм, правда. Я согласен с истиной. Вот, это было легко». и на него это не влияет, хотя франкенкубы вокруг него действительно вспыхивают и отключаются.
В седьмом эпизоде Minecraft: Story Mode под названием «Доступ запрещен» главный герой Джесси и его друзья захвачены суперкомпьютером по имени PAMA. После того, как PAMA контролирует двух друзей Джесси, Джесси узнает, что PAMA останавливается при обработке и использует парадокс, чтобы сбить его с толку и сбежать со своим последним другом. Один из парадоксов, который игрок может заставить его сказать, - парадокс лжеца.
В Дуглас Адамс Автостопом по Галактике, глава 21 он описывает одинокого старика, населяющего небольшой астероид в пространственных координатах, где он должен был быть вся планета посвящена формам жизни Биро (шариковая ручка ). Этот старик неоднократно утверждал, что все было неправдой, хотя позже выяснилось, что он лжет.
Песня Роллинза Бэнда 1994 года «Лжец » намекает на парадокс, когда рассказчик заканчивает песню заявив: «Я буду лгать снова и снова, я буду лгать, обещаю».
Песня Роберта Эрла Кина «Дорога продолжается и продолжается» намекает на парадокс. Считается, что песня была написана как часть вражды Кина с Тоби Кейтом, который предположительно является «лжецом», о котором говорит Кин.
