Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли и два ее очага F 1 и F 2 Лемниската Бернулли - это кривая педали прямоугольная гипербола Синусоидальная спираль : равносторонняя гипербола (n = −2), прямая (n = −1), парабола (n = −1 / 2), кардиоида (n = 1/2), круг (n = 1) и лемниската Бернулли (n = 2), где r = −1 cos nθ в полярных координатах и их эквиваленты в прямоугольных координатах.

В геометрии лемниската Бернулли является плоская кривая, определяемая из двух заданных точек F 1 и F 2, известных как фокусы, на расстоянии 2c друг от друга как геометрическое место указывает P так, что PF 1 · PF 2 = c. Кривая имеет форму, аналогичную цифре 8 и символу ∞. Его название происходит от lemniscatus, что на латинском означает «украшенный висячими лентами». Это частный случай овала Кассини и рациональная алгебраическая кривая степени 4.

Эта лемниската была впервые описана в 1694 году. от Якоба Бернулли как модификация эллипса, который является геометрическим местом точек, для которых сумма расстояний до каждой из две фиксированные точки фокусировки - это постоянная . А овал Кассини, напротив, представляет собой геометрическое место точек, для которых произведение этих расстояний постоянно. В случае, когда кривая проходит через точку посередине между фокусами, овал является лемнискатой Бернулли.

Эта кривая может быть получена как обратное преобразование гиперболы с инверсией окружности с центром в центре гиперболы (биссектриса двух его очагов). Его также можно нарисовать с помощью механической связи в виде связи Ватта, с длиной трех стержней связи и расстоянием между ее конечными точками, выбранными для формирования Перекрещенный параллелограмм.

• 1 Уравнения
• 2 Длина дуги и эллиптические функции
• 3 Углы
• 4 Дополнительные свойства
• 5 Приложения
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Уравнения могут быть сформулированы в терминах фокусного расстояния c или полуширины a лемнискаты. Эти параметры связаны следующим образом: $a\; =\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; c\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$

• Его декартово уравнение равно (до перевода и вращение):

  $(x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; =\; a\; 2\; (x\; 2\; -\; y\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; (х\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\}$

  $(x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; =\; 2\; c\; 2\; (x\; 2\; -\; y\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; 2c\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\}$

• В качестве параметрического уравнения :

  $x\; =\; a\; cos\; \; (t)\; 1\; +\; sin\; 2\; \; (t);\; y\; знак\; равно\; грех\; \; (t)\; соз\; \; (t)\; 1\; +\; грех\; 2\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cos\; (t)\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (t)\}\; \};\; \backslash \; qquad\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; sin\; (t)\; \backslash \; cos\; (t)\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (t)\}\}\}$

• В полярных координатах :

  $r\; 2\; =\; a\; 2\; cos\; \; 2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

• Его уравнение на комплексной плоскости :

  $|\; г\; -\; а\; |\; |\; г\; -\; а\; |\; =\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; za\; ||\; za\; |\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

• In двухцентровые биполярные координаты :

  $rr\; \prime \; =\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; rr\; \text{'}=\; a\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash ,\}$

• В рациональных полярных координатах :

  $Q\; =\; 2\; s\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; 2s-1\; \backslash ,\}$

определение длины дуги дуг лемнискаты приводит к эллиптическим интегралам, как было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 г. эллиптические функции, инвертирующие эти интегралы, были изучены С. Ф. Гаусс (в значительной степени неопубликованный в то время, но есть ссылки в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). Решетки периодов имеют особую форму, они пропорциональны целым гауссовским числам. По этой причине случай эллиптических функций с комплексным умножением на √ − 1 в некоторых источниках называется лемнискатическим случаем.

Использование эллиптического интеграла

$F\; (x)\; =\; def\; \int \; 0\; xdt\; 1\; -\; t\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; text\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{4\}\}\}\}\}$

формула длины дуги $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$можно представить как

$L\; =\; 2\; 2\; c\; \int \; -\; 1\; 1\; dt\; 1\; -\; t\; 4\; =\; 4\; 2\; c\; F\; (1)\; =\; \Gamma \; (1/4)\; 2\; \pi \; c\; \approx \; 7.\; 416\; \cdot \; с\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; с\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{4\}\}\}\}\; =\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; cF\; (1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1/4)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; c\; \backslash \; приблизительно\; 7\; \{.\}\; 416\; \backslash \; cdot\; c\}$.

соотношение между углами у лемнискаты Бернулли

Следующая теорема об углах, встречающихся в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Фехтманну, который описал это в 1843 году в своей диссертации о лемнискатах.

F1и F 2 - фокусы лемнискаты, O - середина отрезка F 1F2и P - любая точка на лемнискате за пределами линии, соединяющей F 1 и F 2. Нормаль n лемнискаты в P пересекает линию, соединяющую F 1 и F 2 в R. Теперь внутренний угол треугольника OPR в точке O составляет одну треть внешнего угла треугольника. в точке R. Кроме того, внутренний угол в точке P в два раза больше внутреннего угла в точке O.

Инверсия гиперболы дает лемнискату

• Лемниската симметрична линии, соединяющей ее фокусы F 1 и F 2, а также к серединному перпендикуляру отрезка F 1F2.
• Лемниската симметрична средней точке отрезка F 1F2.
• Площадь, ограниченная лемнискатой, равна 2a.
• Лемниската - это инверсия окружности гиперболы и наоборот.
• Две касательные в средней точке O ортогональны и каждая из них образует угол $\pi \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\}$с линией, соединяющей F 1 и F 2.
• . поперечное сечение стандартного тора, касающееся его внутреннего экватора, является лемнискатой.

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

• Лемниската Бута
• Лемниската Героно
• постоянная Гаусса
• Лемнискатическая эллиптическая функция
• Овальный Кассини

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. С. 4–5, 121–123, 145, 151, 184. ISBN 0-486-60288-5.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Лемнискатой Бернулли.

• Вайсштейном, Эриком У. «Лемниската». MathWorld.
• «Лемниската Бернулли» в архиве истории математики MacTutor
• «Лемниската Бернулли» в MathCurve.
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (in Французский)