Овальный Кассини

редактировать

Три овала Кассини, различающиеся диапазоном, в который попадает параметр e: 0 < e < 1 (green); e = 1 (red); 1 < e <

2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}

{\ sqrt {2}}

(синий). Не показано: e ≥

2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}

{\ sqrt {2}}

(выпуклый).

A Cassini oval - это квартика плоская кривая, определяемая как набор (или геометрическое место ) точек в плоскости, так что произведение расстояний до двух фиксированных точек является постоянным. Это можно сравнить с эллипсом , для которого сумма расстояний постоянна, а не произведение. Овалы Кассини являются частным случаем полиномиальных лемнискат, когда используемый полином имеет степень 2.

Овалы Кассини названы в честь астронома Джованни Доменико Кассини, изучавшего их в 1680 году. Кассини считал, что Солнце движется вокруг Земли по одному из этих овалов, а Земля находится в одном из фокусов овала. Другие названия включают овалы Кассини, кривые Кассини и овалы Кассини .

Содержание

1 Формальное определение
2 Уравнения
3 Форма
4 Овалы Кассини и ортогональные траектории
5 Примеры
6 Овалы Кассини на торах
7 Обобщения
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Формальное определение

Кассини овал:

| P P 1 | ⋅ | P P 2 | = b 2 {\ displaystyle | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2}}

{\ displaystyle | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2}}

для любого местоположения P на кривой

A овал Кассини равен набор точек такой, что для любой точки $P {\ displaystyle P}$ $P$ из набора произведение расстояний $| P P 1 |, | P P 2 | {\ Displaystyle | PP_ {1} |, \ | PP_ {2} |}$ ${\ displaystyle | PP_ {1} |, \ | PP_ {2} |}$ до двух фиксированных точек $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, \; P_ {2} }$ ${\ Displaystyle P_ {1}, \; P_ {2}}$ , является константой, обычно обозначается $b 2, b>0, {\ displaystyle b ^ {2}, \ b>0,}$ $b^{2},\ b>0,$ :

{P ∣ | PP 1 | ⋅ | PP 2 | = b 2}. {\ Displaystyle \ {P \ mid | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2} \} \.}

{\ displaystyle \ {P \ mid | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2} \} \.}

Как и в случае с эллипсом фиксированные точки $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ $P_ {1}, P_ {2}$ называются фокусами овала Кассини.

Уравнения

Если фокусы - (a, 0) и (−a, 0), то уравнение кривой будет

((x - a) 2 + y 2) ((x + a) 2 + y 2) знак равно б 4. {\ Displaystyle ((xa) ^ {2} + y ^ {2}) ((x + a) ^ {2} + y ^ {2}) = b ^ {4}. \, }

((xa) ^ {2 } + y ^ {2}) ((x + a) ^ {2} + y ^ {2}) = b ^ {4}. \,

В развернутом виде это становится

(x 2 + y 2) 2 - 2 a 2 (x 2 - y 2) + a 4 = b 4. {\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ { 2}) ^ {2} -2a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) + a ^ {4} = b ^ {4}. \,}

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ { 2} -2a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) + a ^ {4} = b ^ {4}. \,

Эквивалентное полярное уравнение Значение равно

r 4 - 2 a 2 r 2 cos ⁡ 2 θ = b 4 - a 4. {\ displaystyle r ^ {4} -2a ^ {2} r ^ {2} \ cos 2 \ theta = b ^ {4} -a ^ {4}. \,}

r ^ {4 } -2a ^ {2} r ^ {2} \ cos 2 \ theta = b ^ {4} -a ^ {4}. \,

Форма

Некоторые овалы Кассини. (b = 0.6a, 0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a )

Кривая зависит с точностью до подобия от e = b / a. Когда e < 1, the curve consists of two disconnected loops, each of which contains a focus. When e = 1, the curve is the лемниската Бернулли имеющий форму сбоку восьмерки с двойной точкой (в частности, crunode ) в начале координат. Когда e>1, кривая представляет собой одиночный соединенный контур, охватывающий оба фокусы. Он имеет форму арахиса для $1 < e < 2 {\displaystyle 1$ $1 <e <{\ sqrt {2}}$ и выпуклый для $e ≥ 2 {\ displaystyle e \ geq {\ sqrt {2}}}$ $е \ geq {\ sqrt {2}}$ . Предельный случай a → 0 (отсюда e → $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ), и в этом случае фокусы совпадают друг с другом, это круг.

Кривая всегда имеет пересечения по оси x в точках ± c, где c = a + b. Когда e < 1 there are two additional real x-intercepts and when e>1 есть два действительных пересечения по оси Y, все остальные точки пересечения по осям x и y являются мнимыми.

Кривая имеет двойные точки в круговых точках на бесконечности, другими словами, кривая двукруглая. Эти точки являются бифлекными узлами, что означает, что кривая имеет две различные касательные в этих точках, и каждая ветвь кривой имеет точку i nflection есть. Из этой информации и формул Плюккера можно вывести числа Плюккера для случая e ≠ 1: степень = 4, класс = 8, количество узлов = 2, количество куспидов = 0, количество двойных касательные = 8, количество точек перегиба = 12, род = 1.

Касательные в точках окружности задаются формулой x ± iy = ± a, которые имеют действительные точки пересечения в (± a, 0). Таким образом, фокусы на самом деле являются фокусами в смысле, определенном Плюккером. Круглые точки - это точки перегиба, поэтому это тройные фокусы. Когда e 1, кривая имеет восьмой класс, что означает, что всего должно быть восемь реальных фокусов. Шесть из них были учтены в двух тройных фокусах, а оставшиеся два находятся на уровне

(± a 1 - e 4, 0) (e < 1) {\displaystyle (\pm a{\sqrt {1-e^{4}}},0)\quad (e<1)}

(\ pm a \ sqrt {1-e ^ 4}, 0) \ quad (e <1)

(0, ± ae 4 - 1) (e>1). {\ displaystyle (0, \ pm a {\ sqrt {e ^ {4} -1}}) \ quad (e>1).}

$(0, \pm a \sqrt{e^4-1})\quad(e>1).$

Таким образом, дополнительные фокусы находятся на оси x, когда кривая имеет две петли и на оси Y, когда кривая имеет одну петлю.

Овалы Кассини и ортогональные траектории

Овалы Кассини и их ортогональные траектории (гиперболы)

Ортогональные траектории заданного пучок кривых - это кривые, которые ортогонально пересекают все заданные кривые. Например, ортогональные траектории пучка софокусных эллипсов являются софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами. Для овалов Кассини одно имеет:

Ортогональные траектории кривых Кассини с фокусами $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2} }$ $P_ {1}, P_ {2}$ - равносторонние гиперболы, содержащие $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ $P_ {1}, P_ {2}$ с тем же центром, что и овалы Кассини (см. рисунок).

Доказательство: . Для простоты выбираем $P 1 = (1, 0), P 2 = (- 1, 0) {\ displaystyle P_ {1 } = (1,0), \; P_ {2} = (- 1,0)}$ ${\ displaystyle P_ {1} = (1,0), \; P_ {2} = (- 1,0)}$ .

Овалы Кассини имеют уравнение

f (x, y) = (x 2 + y 2) 2 - 2 (x 2 - y 2) + 1 - b 4 = 0. {\ displaystyle f (x, y) \; = \; (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -2 ( x ^ {2} -y ^ {2}) + 1-b ^ {4} = 0.}

{\ displaystyle f (x, y) \; = \; (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -2 (x ^ {2} -y ^ {2}) + 1-b ^ {4 } = 0.}

равносторонние гиперболы (их асимптоты прямоугольные), содержащие

(1, 0), (- 1, 0) {\ displaystyle (1,0), (- 1,0)}

{\ displaystyle (1,0), (- 1,0)}

с центром

(0, 0) {\ displaystyle (0,0)}

(0,0)

можно описать уравнением

x 2 - y 2 - λ xy - 1 = 0, λ ∈ R. {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} - \ lambda xy-1 = 0, \ quad \ lambda \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} - \ lambda xy-1 = 0, \ quad \ lambda \ in \ mathbb {R}. }

Эти конические секции не имеют точек с осью y вместе и пересекают ось x в точке $(± 1, 0) {\ displaystyle (\ pm 1,0)}$ ${\ displaystyle (\ pm 1,0)}$ . Их дискриминанты показывают, что эти кривые являются гиперболами. Более подробное исследование показывает, что гиперболы имеют прямоугольную форму. Для получения нормалей, которые не зависят от параметра $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ , более удобно следующее неявное представление:

g (x, y) = x 2 - y 2 - 1 ху - λ = ху - ух - 1 ху - λ = 0. {\ displaystyle g (x, y) \; = \; {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2} -1} {xy}} - \ lambda = {\ frac {x} {y}} - {\ frac {y} {x}} - {\ frac {1} {xy}} - \ lambda = 0 \ ;.}

{\ displaystyle g (x, y) \; = \; {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2} -1} {xy}} - \ lambda = {\ frac {x} {y}} - {\ frac {y} {x}} - {\ frac {1} {xy}} - \ lambda = 0 \ ;.}

Простой расчет показывает, что $grad grad f (x, y) ⋅ град ⁡ г (Икс, Y) знак равно 0 {\ Displaystyle \ OperatorName {Grad} F (X, Y) \ cdot \ OperatorName {grad} g (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f (x, y) \ cdot \ operatorname {grad} g (x, y) = 0}$ для всех $(x, y), x ≠ 0 ≠ y {\ displaystyle (x, y), \; x \ neq 0 \ neq y}$ ${\ displaystyle (x, y), \ ; x \ neq 0 \ neq y}$ . Следовательно, овалы Кассини и гиперболы пересекаются ортогонально.

Примечание:. Изображение, изображающее овалы Кассини и гиперболы, выглядит как эквипотенциальные кривые двух равных точечных зарядов вместе с линиями генерируемых электрических поле. Но для потенциала двух одинаковых точечных зарядов $1 | P P 1 | + 1 | P P 2 | = константа {\ displaystyle {\ frac {1} {| PP_ {1} |}} + {\ frac {1} {| PP_ {2} |}} = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {| PP_ {1} |}} + {\ frac {1} {| PP_ {2} |}} = {\ text {constant}}}$ . (См. неявная кривая.)

Примеры

Вторая лемниската множества Мандельброта представляет собой овал Кассини, определяемый уравнением $L 2 знак равно {с: абс ⁡ (с 2 + с) = ER} {\ displaystyle L_ {2} = \ {c: \ operatorname {abs} (c ^ {2} + c) = ER \} \,}$ $L_ {2} = \ {c: \ operatorname {abs} (c ^ {2} + c) = ER \} \,$ . Его фокусы находятся в точках c на комплексной плоскости, на орбитах которых каждое второе значение z равно нулю, то есть значениям 0 и -1.

Овалы Кассини на торах

Овалы Кассини как плоские сечения тора. (тор справа - это тор веретена )

овалы Кассини появляются как плоские сечения tori, но только когда

секущая плоскость параллельна оси тора и ее расстояние до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Пересечение тора с уравнением

(Икс 2 + Y 2 + Z 2 + R 2 - R 2) 2 = 4 R 2 (Икс 2 + Y 2) {\ Displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ справа)}

а плоскость $y = r {\ displaystyle y = r}$ ${\ displaystyle y = r}$ дает

(x 2 + z 2 + R 2) 2 = 4 R 2 (x 2 + r 2). { \ displaystyle \ left (x ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + r ^ {2} \ справа).}

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + r ^ {2} \ right).}

После частичного разрешения первой скобки получается уравнение

(x 2 + z 2) 2 - 2 R 2 (x 2 - z 2) = 4 R 2 r 2 - R 4, { \ Displaystyle \ влево (x ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {2} -2R ^ {2} (x ^ {2} -z ^ {2}) = 4R ^ {2} r ^ {2} -R ^ {4},}

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {2} -2R ^ {2} (x ^ {2} -z ^ {2 }) = 4R ^ {2} r ^ {2} -R ^ {4},}

что равно ция овала Кассини с параметрами $b 2 = 2 R r, a = R {\ displaystyle b ^ {2} = 2Rr, \; a = R}$ ${\ displaystyle b ^ { 2} = 2Rr, \; a = R}$ .

Обобщения

Метод Кассини легко обобщить на кривые и поверхности с произвольным набором определяющих точек:

$| P P 1 | ⋅ | P P 2 | ⋯ | P P n | = b n. {\ displaystyle | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | \ cdots | PP_ {n} | = b ^ {n} \.}$ ${\ displaystyle | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | \ cdots | PP_ {n} | = b ^ {n} \.}$

описывает в плоском случае неявную кривую и в 3-м пространстве: неявная поверхность.

кривая с 3 определяющими точками
поверхность с 6 определяющими точками

См. также

Двухцентровые биполярные координаты

Ссылки

Библиография

Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. С. 5, 153–155. ISBN 0-486-60288-5.
R. К. Йейтс (1952). Справочник по кривым и их свойствам. Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 8 и сл.
А. Б. Бассет (1901). Элементарный трактат о кубических и квартических кривых. Лондон: Deighton Bell and Co., стр. 162 и далее.
Лоуден, Д.Ф., «Семейства овалов и их ортогональные траектории», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 410– 420.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с овалом Кассини.